Bài 1: Tổng ba góc của một tam giác

- Trong ΔABC ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180o (tổng ba góc trong tam giác)

hay x + 30o + 110o = 180o

⇒ x = 180o – 30o – 110o = 40o.

- Trong ΔDEF có:

∠D + ∠E + ∠F = 180o (tổng ba góc trong tam giác)

hay x + x + 40o = 180o

Trong ΔABC ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180o(tổng ba góc trong tam giác)

⇒∠B = 180o - (∠A +∠C )

⇒x = 180o - (60o + 50o) = 70o

(∠B1) =(∠B2 ) = (1/2 )∠B (vì BD là tia phân giác)

⇒ ∠B1 = ∠B2 = 70o : 2 = 35o

Trong ΔBCD ta có ∠(ADB) là góc ngoài tại đỉnh D

⇒ ∠(ADB) = ∠(B1 ) + ∠C (tính chất góc ngoài tam giác)

Nên ∠(ADB) = 35º + 50º = 85º

+) Do ∠(ADB) + ∠(BDC) = 180o(hai góc kề bù)

⇒∠(BDC) = 180o-∠(ADB) = 180o - 85o = 95o

Trong ΔAMB ta có góc AMK là góc ngoài tại đỉnh M.

⇒ ∠(AMK) > ∠(ABK) (tính chất góc ngoài tam giác) (1)

Trong ΔCBM ta có góc KMC là góc ngoài tại đỉnh M

⇒∠(KMC) > ∠(MBC) (tính chất góc ngoài tam giác) (2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có: ∠(AMK) +∠(KMC) > ∠(ABM) +∠(MBC)

Suy ra: ∠(AMC) > ∠(ABC)

Ta có: IK //EF suy ra ∠IKF + ∠F = 180o(hai góc trong cùng phía)

Do đó ∠ F = 180o - ∠(IKF) =180o - 140o = 40o

Trong ΔOEF ta có góc ngoài tại đỉnh E bằng 130o nên: ∠ E = ∠ O + ∠ F

suy ra: ∠O = ∠ O + ∠F = 130o-∠F = 130o-40o = 90o

Vậy chọn đáp án D

Tam giác ABH vuông tại H

⇒ ∠(ABH) +∠A =90o (tính chất tam giác vuông)

⇒∠(ABH) =90o - ∠A (1)

Tam giác ACK vuông tại K

⇒∠(ACK) +∠A =90o(tính chất tam giác vuông)

⇒∠(ACK) =90o-∠A (2)

từ (1) và (2) suy ra: ∠(ACK) =∠(ABH)

Trong Δ ABC có ∠(CAD ) là góc ngoài đỉnh A

⇒∠(CAD ) =∠B +∠C =50o+50o=100o

(tính chất góc ngoài tam giác)

∠(A1 ) =∠(A2 ) =1/2 ∠(CAD) =50o (vì tia Am là tia phân giác của ∠(CAD)

Suy ra: ∠(A1) =∠C =50o

⇒ Am // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Vì eke là một tam giác vuông , nên:

Một góc nhọn của eke bằng 30o thì góc nhọn còn lại bằng:

90o- 30o= 60o

Vì eke là một tam giác vuông , nên:

Một góc nhọn của eke bằng 45o thì góc nhọn còn lại bằng:

90o - 45o= 45o

Trong ΔABC, ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180o (tổng ba góc trong tam giác)

⇒ ∠B + ∠C = 180o - ∠A = 180o – 100o = 80o (1).

Theo giả thiết ta có: ∠B -∠C = 20o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2∠B = 100o ⇒ ∠B = 50o

Vậy: ∠C = 80o - 50o = 30o

Có thể tìm góc B bằng hai cách:

Cách 1

Ta có: ∠(A1 ) + ∠(A2 ) = ∠(BAC) = 90o(1)

Vì ΔAHB vuông tại H nên:

∠B + ∠(A1) = 90o(tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠B = ∠(A2 )

Cách 2

Vì ΔABC vuông tại A nên:

∠B +∠C = 90o (theo tính chất tam giác vuông) (1)

Vì ΔAHC vuông tại H nên:

∠(A2 ) + ∠C = 90o (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠B = ∠(A2)

Có 5 tam giác vuông trong hình:

ΔABC vuông tại B

Δ CDB vuông tại B

Δ EDA vuông tại D

Δ DCA vuông tại C

Δ DCE vuông tại C

ΔABC vuông tại B suy ra:

∠A +∠(ACB) =90o (theo tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠(ACB) =90o-∠A =90o-40o=50o

∠(ACB) +∠(BCD) =∠(ACD) =90o

⇒∠(BCD) =90o-∠(ACB) =90o-50o=40o

ΔACD vuông tại C suy ra:

∠A +∠(CDA) =90o (theo tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠(CDA) =90o-∠A =90o-40o=50o

∠(CDA) +∠(CDE) =∠(ADE) =90o

⇒∠(CDE) =90o-∠(CDA) =90o-50o=40o

ΔDAE vuông tại D suy ra:

∠A +∠E =90o (theo tính chất tam giác vuông)

⇒∠ E =90o-∠A =90o-40o=50o

Trong ΔABC có:

∠(BAC) + ∠B + ∠C = 180o (tổng ba góc trong tam giác)

Mà ∠(BAC) + 70o + 30o = 180

Vậy ∠(BAC) = 180o-70o - 30o = 80o

Ta có: ∠(A1 ) =(1/2 )∠(BAC) = (1/2).80o = 40o

(vì AD tia phân giác của góc BAC)

Trong ΔADC ta có ∠(ADH) là góc ngoài tại đỉnh D

Do đó: ∠(ADH) = ∠(A1) + ∠C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Vậy ∠(ADH ) = 40o + 30o = 70o

ΔADH vuông tại H nên:

∠(HAD) + ∠(ADH) = 90o (tính chất tam giác vuông)

⇒∠ (HAD) = 90o-∠(ADH)o = 90o - 70o = 20o

∠B = 80o, ∠C = 40o

Ta có:

∠(B1) = (1/2)∠(ABC) = (1/2).80o = 40o (vì BD là tia phân giác ∠(ABC))

∠(C1) = (1/2)∠(ACB) = (1/2).40o = 20o (vì CE là tia phân giác ∠(ACB))

Trong ΔIBC, ta có: ∠(BIC) + ∠(B1) + ∠(C1) = 180o(tổng 3 góc trong tam giác)

Vậy: ∠(BIC) = 180o - (∠(B1) + ∠(C1)) = 180o - (40o + 20o) = 120o

Ta có:

+ Trong ΔBIC có ∠BIC = 180o - (∠B1 + ∠C1) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ABC và ∠BCA nên:

∠B1 = 1/2. ∠ABC; ∠C1 = 1/2. ∠ACB

⇒ ∠B1 + ∠C1 = 1/2. (∠ABC + ∠ACB) (2)

⇒ ∠ABC + ∠ACB = 180 - ∠A (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠BIC = 180o - 1/2.(180 - ∠A) = 90o + 1/2.∠A

+) Nếu ∠A = 80o ⇒ ∠BIC = 90º + 1/2.80o = 130o.

+) Nếu ∠A = mo ⇒ ∠BIC = 90o + 1/2.mo.

Kéo dài AC cắt By tại D

Vì By // Ax suy ra ∠(D1) = ∠A (hai góc so le trong)

Mà ∠A = 50o(gt) nên ∠(D1) = 50o

TrongΔBCD ta có ∠(ACB) là góc ngoài tại đỉnh C

⇒∠(ACB) = ∠B + ∠(D1) (tính chất góc ngoài của tam giác)

⇒∠(ACB) = 40o + 50o = 90o

Ta có: ∠(A1 ) +∠(A2 ) =180o(hai góc kề bù)

∠(B1 ) +∠(B2 ) =180o(hai góc kề bù)

∠(C1 ) +∠(C2 )=180o(hai góc kề bù)

Suy ra: ∠(A1 ) +∠(A2 ) +∠(B1) +∠(B2 ) +∠(C1 ) +∠(C2 ) = 180º + 180º + 180º =540o

⇒∠(A2 ) + ∠( B2 ) +∠(C2 ) =540o-(∠(A1 ) +∠(B1 ) +∠(C1 ) ) (1)

Trong ΔABC, ta có:

∠(A1 ) +∠(B1 ) +∠(C1 ) =180o (tổng ba góc trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠(A2 ) +∠(B2 ) +∠(C2 ) =540o-180o=360o

Kéo dài AE cắt BC tại D

Trong ∆ABE ta có ∠E1 là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠E1 > ∠A1 (tính chất góc ngoài tam giác)(1)

Trong ∆AEC ta có ∠E2 là góc ngoài tại đỉnh E

Suy ra: ∠E2 > ∠A2 (tính chất góc ngoài tam giác)(2)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

∠E1 + ∠E2 > ∠A1 +∠A2

Hay ∠ (BEC) > ∠ (BAC) = 90º

Vậy góc (BEC) là góc tù.

Ta có: AH⊥BC (gt) ⇒ ΔAHB vuông tại H

Trong tam giác vuông AHB ta có: ∠BHA = 90o

⇒ ∠B + ∠BAH = 90o (1)

Trong tam giác vuông ABC ta có: ∠BAC = 90o

⇒ ∠B + ∠C = 90o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠BAH = ∠C (3)

+) Vì AI là tia phân giác của góc BAC nên:

∠(BAI) = ∠(IAH) = 1/2.∠BAH (4)

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên:

∠(ACI) = ∠(ICB) = 1/2.∠C (5)

+) Từ (3); (4) và (5) suy ra:

∠(BAI) = ∠(IAH) = ∠(ACI) = ∠(ICB)

+) Lại có:

∠BAI + ∠IAC = 90º

Suy ra: ∠ICA + ∠IAC = 90º

Trong ΔAIC có: ∠ICA+ ∠IAC = 90º

Vậy: ∠AIC = 90º.

Giả sử đường thẳng AB // CD cắt đường thẳng EF tại E và F

Ta có: ∠BEF + ∠EFD = 180o (hai góc trong cùng phía)

+) Do EK là tia phân giác của góc ∠ BEF nên:

∠E1 = 1/2 .∠ (BEF) (1)

+) Do FK là tia phân giác của góc EFD nên :

∠F1 = 1/2 .∠EFD (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

∠E1 +∠F1 =1/2 .(∠BEF + ∠EFD ) = 1/2 . 180º = 90º ( ∠BEF + ∠EFD = 180º hai góc trong cùng phía)

Trong ΔEKF,ta có:

∠EKF = 180o-(∠E1 + ∠F1) = 180o-90o=90o

Vậy EK ⊥FK

Trong ΔABD ta có ∠D1 là góc ngoài tại đỉnh D

∠D1 = ̂B + ∠A1 (tính chất góc ngoài của tam giác)

Trong ΔADC ta có ∠D2 là góc ngoài tại đỉnh D

∠D2 = ̂C + ∠A2 (tính chất góc ngoài của tam giác)

Ta có: ∠B > ∠C (gt); ∠A1 = ∠A2 (gt)

⇒∠D1 - ∠D2 = (B + ∠A1) - (C + ∠A2) = ∠B - ∠C = 20o

Lại có: ∠D1 + ∠D2 = 180o (hai góc kề bù)

⇒∠D1 = (180o + 20o):2 = 100o

⇒∠D1 = (100o - 20o) = 80o

Ta có:

+ Trong ΔBIC có ∠BIC = 180º - (∠B1 + ∠C1) (1)

+ BI, CI là phân giác của ∠ABC và ∠BCA nên:

∠B1 = 1/2. ∠BAC; ∠C1 = 1/2. ∠ACB

⇒ ∠B1 + ∠C1 = 1/2. (∠BAC + ∠BCA) (2)

+ Trong ΔABC có: ∠BAC + ∠BCA = 180 - ∠A =140º (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∠BIC = 180º - 1/2.140º = 110º

Chọn đáp án C

+) Hai góc ∠ABK và ∠ABC là hai góc kề bù nên:

∠ABK = 180° - ∠ABC = 180° - 110° = 70° (1)

+) Góc Bax là góc ngoài tam giác tại đỉnh A của tam giác ACK nên:

∠BAx = 110° + 30° = 140° ( tính chất góc ngoài tam giác).

+) Do AK là tia phân giác của góc BAx nên:

∠BAK = ∠BAx : 2 = 140° : 2 = 70°. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác KAB có hai góc bằng nhau.

+) Ta có BD là tia phân giác của góc ABC nên: ∠(ABD) = ∠(DBC) (1)

+ Lại có: ∠(ADB)= ∠(CDE) ( hai góc đối đỉnh) (2)

+) Tam giác ABD vuông tại A nên:

∠ (ABD) + ∠(ADB) = 90° (tính chất tam giác vuông) (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: ∠ (DBC) + ∠(CDE) = 90° (4)

+) Tam giác BCE vuông tại C nên:

∠ (DBC) + ∠(BEC) = 90° (tính chất tam giác vuông) (5)

Từ (4) và (5) suy ra : ∠ (CDE) = ∠(BEC)

Vậy tam giác CDE có hai góc bằng nhau.