Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Ta có: AB = BC nên ΔABC cân tại B

Suy ra: ∠A = ∠C

Vì BC > AC nên ∠A > ∠B (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Vậy ∠A = ∠C > ∠B .

Ta có: ∠A + ∠B + ∠C = 180o (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: ∠B = 180o - (∠A + ∠C )

= 180o - (80o + 40o) = 60o

Trong ΔABC, ta có: ∠A > ∠B > ∠C

Suy ra: BC > AC > AB (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Trong ∆ABD ta có: ∠B > 90o

⇒ ∠B > ∠D1 ( trong 1 tam giác, góc tù là góc lớn nhất- chú ý tổng ba góc trong một tam giác bằng 180º) ⇒ AD > AB (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) (1)

Trong ΔABD ta có: ∠D2 là góc ngoài tại đỉnh D nên ∠D2 = ∠B + ∠BAD. Suy ra: ∠D2 > ∠B > 90o

Trong ΔADC ta có: ∠D2 > 90o

⇒ ∠D2 > ∠C ⇒ AC > AD (cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB < AD < AC

Trong ΔABK, ta có ∠BKC là góc ngoài tại đỉnh K nên ∠BKC = ∠A + ∠ABK

Suy ra: ∠BKC > ∠A = 90o (tính chất góc ngoài)

Trong ΔBKC ta có ∠BKC là góc tù, BC là cạnh đối diện với ∠BKC

Suy ra BC là cạnh lớn nhất

Do đó BC > BK.

Kẻ DH ⊥ BC.

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD, ta có:

∠B1 = ∠B2 ( vì BD là tia phân giác của góc ABC).

Cạnh huyền BD chung

∠BAD = ∠BHD = 90º

Suy ra: ΔABD = ΔHBD (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AD = HD (2 cạnh tương ứng) (1)

Trong tam giác vuông DHC có ∠DHC = 90o

⇒ DH < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD < DC

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có:

MA = MD (theo cách vẽ)

∠(AMB) = ∠(DMC) (đối đỉnh)

MB = MC (gt)

Suy ra: ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)

Suy ra: AB = CD (2 cạnh tương ứng)

và ∠D = ∠A1(2 góc tương ứng) (1)

Mà AB < AC (gt)

nên: CD < AC

Trong ΔADC, ta có: CD < AC

Suy ra: ∠D > ∠A2(đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠A1 > ∠A2hay ∠(BAM) > ∠(MAC) .

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

Ta có: AB < AC nên AE < AC

Suy ra E nằm giữa A và C.

Xét ΔABD và ΔAED, ta có:

AB = AE (theo cách vẽ)

∠(BAD) = ∠(EAD) (gt)

AD cạnh chung

Suy ra: ΔABD = ΔAED (c.g.c)

Suy ra: BD = DE (2 cạnh tương ứng)

và ∠(ABD) = ∠(AED) (2 góc tương ứng)

Mà: ∠(ABD) + ∠B1= 180o (2 góc kề bù)

∠(AED) + ∠E1= 180o (2 góc kề bù)

Suy ra: ∠B1= ∠E1

Trong ΔABC ta có ∠B1là góc ngoài tại đỉnh B

Ta có: ∠B1 > ∠C (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra: ∠E1> ∠C

Suy ra: DC > DE (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Vậy BD < DC.

Xét ΔABC, ta có: ∠A= 90o; ∠B= 30o

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC

Ta có: ΔACD cân tại C

Mà ∠C + ∠B = 90o (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: ∠C = 90o - ∠B = 90o - 30o = 60o

Suy ra: ΔACD đều

Suy ra: AC = AD = DC và ∠A1= 60o

Ta có: ∠A1+ ∠A2 = ∠BAC = 90o

⇒ ∠A2 = 90o - ∠A1 = 90o - 60o = 30o

Trong ΔADB, ta có: ∠A2 = ∠B= 30o

Suy ra: ΔADB cân tại D (vì có 2 góc kề cạnh AB bằng nhau)

Hay AD = DB

Suy ra: AC = CD = DB mà CD + DB = BC

Vậy AC = 1/2 BC.

Nếu AB > AC thì ∠C > ∠B (góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Điều này trái với giả thiết ∠B > ∠C nên không xảy ra.

Nếu AB = AC thì ΔABC cân tại A

⇒ ∠B = ∠C(tính chất tam giác cân)

Điều này trái với giả thiết ∠B > ∠C nên không xảy ra.

Vậy nếu ∠B > ∠C thì AC > AB.

Do ∠A là góc tù nên ∠A lớn nhất. Vậy có ∠A> ∠B > ∠C. Từ đó suy ra BC > AC > AB. Chọn (D) BC > AC > AB.

Chọn C

Theo giả thiết, tam giác cân này có một góc ngoài bằng 40o nên nó có một góc trong bằng 180o - 40o = 140o. Góc trong này không thể là góc ở đáy của tam giác cân mà phải là góc ở đỉnh. Vậy cạnh đáy của tam giác cân lớn hơn hai cạnh bên của nó.

ΔABC có AB ≤ AC ⇒ ∠C ≤ ∠B.

ΔABM có ∠M1 là góc ngoài nên ∠M1 > ∠B

⇒ ∠M1 > ∠C

ΔAMC có ∠M1 > ∠C ⇒ AC > AM.

Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được

MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.

Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M ≠ B, M ≠ C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.

+ ΔADE có ∠E1 là góc ngoài ⇒ ∠E1 > ∠A

Mà ∠A > 90o ⇒ ∠E1 > 90o

ΔCDE có ∠E1 tù ⇒ CD là cạnh lớn nhất ⇒ CD > DE (1)

+ Tương tự xét ΔADC có ∠D1 là góc ngoài

⇒ ∠D1 > ∠A ⇒ ∠D1 > 90o (vì ∠A > 90º)

ΔBDC có ∠D1 tù ⇒ BC là cạnh lớn nhất ⇒ BC > CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC > DE.