Bài 1: Nguyên hàm

Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\ln \left(\mathrm{x}+\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}\right)$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}$

Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}} \mathrm{cosx}$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}$

Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\sin }^2\frac{1}{\mathrm{x}}$ và $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\sin \frac{2}{\mathrm{x}}$

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số: $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+1}{2\mathrm{x}-3}$ và $\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2+10}{2\mathrm{x}-3}$

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số: $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}$ và $\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)=10+{\cot }^2\mathrm{x}$

f(x) = ${\left(\mathrm{x}-9\right)}^4$

f(x) = $\frac{1}{{\left(2-\mathrm{x}\right)}^2}$

f(x) = $\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1-x^2}}$

f(x) = $\frac{1}{\sqrt{\mathit{2}x\mathit{+}\mathit{1}}}$

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}dx$ với x > -1 (đặt t = 1 + ${\mathrm{x}}^3$)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int x\mathit{.}{e}^{\mathit{-}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}}dx$ (đặt t = ${\mathrm{x}}^2$)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int \frac{x}{{\left(1+x^2\right)}^2}dx$ (đặt t = 1 + ${\mathrm{x}}^2$)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int \frac{\mathit{1}}{\left(1-x\right)\sqrt{x}}dx$ (đặt t = $\sqrt{\mathrm{x}}$)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int \sin \frac{1}{x}.\frac{1}{x^2}dx$ (đặt t = $\frac{1}{x}$)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}dx$ (đặt t = lnx)

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: $\int \frac{\sin x}{\sqrt[3]{co{s}^{2}x}}dx$ (đặt t = cosx)

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int \left(1-2x\right)e^{x}dx$

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int x{e}^{\mathit{-}x}dx$

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int x\mathit{ln}(1-x)dx$

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int x{\mathit{sin}}^{\mathit{2}}xdx$

$\int x{\left(3-x\right)}^{5}dx$

$\int {\left(2^x-3^x\right)}^{2}dx$

$\int x\sqrt{2-5x}dx$

$\int \frac{\ln \left(\cos x\right)}{{\cos }^{2}x}dx$

$\int \frac{x}{{\mathit{sin}}^{2}x}dx$

$\int \frac{x\mathit{+}\mathit{1}}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx$

$\int \frac{\mathit{1}}{1-\sqrt{\mathrm{x}}}dx$

$\int \sin 3x.\cos 2xdx$

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: $\int {\sin }^{4}xdx$

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: $\int \frac{1}{{\sin }^{3}x}dx$

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: $\int {\sin }^{3}x.{\cos }^{4}xdx$

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: $\int {\sin }^{4}x.{\cos }^{4}xdx$

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{1+\mathrm{sinx}}$

a) F(x) = 1 - $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$

b) G(x) = 2$\tan \frac{x}{2}$

c) H(x) = ln(1 + sinx)

d) K(x) = 2$\left(1-\frac{1}{1+\tan {\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{2}}}\right)$

Tính các nguyên hàm sau đây: $\int \left(x+\ln x\right)x^{2}dx$

Tính các nguyên hàm sau đây: $\int \left(x+{\mathit{sin}}^2\mathrm{x}\right)\sin xdx$

Tính các nguyên hàm sau đây: $\int \left(x+e^x\right)e^{2x}dx$

Tính các nguyên hàm sau đây: $\int \left(x\mathit{+}\mathit{sin}x\right)\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$

Cho F'(x) = f(x), C là hằng số dương tùy ý.

Khi đó $\int$f(x)dx bằng:

A. F(x) + C              B. F(x) - C

C. F(x) + lnC              D. F(x + C)

Hãy chỉ ra kết quả sai khi tính $\int$sinx.cosx dx

A. $\frac{{\sin }^2\mathrm{x}}{2}$ + C             B. $\frac{-{\cos }^2\mathrm{x}}{2}$ + C 

C. $\frac{-\cos 2\mathrm{x}}{2}$ + C             D. $\frac{{\cos }^2\mathrm{x}}{2}$ + C 

$\int x.e^{2x}dx$ bằng: 

A. $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}-2\right)}{2}$ + C        B. $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+1}{2}$ + C

C. $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}-1\right)}{2}$ + C        D. $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\left(2\mathrm{x}-1\right)}{4}$ + C

$\int \left(x+1\right).sinxdx$ bằng:

A. (x + 1)cosx + sinx + C              B. -(x + 1)cosx + sinx + C

C. -(x + 1)sinx + cosx + C              D. (x + 1)cosx - sinx + C

$\int x\ln \left(x+1\right)dx$ bằng:

A. $\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-1\right)\ln \left(x+1\right)+\frac{1}{4}{\left(x-1\right)}^2+C$

B. $\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-1\right)\ln \left(x+1\right)-\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2+C$

C. $\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{1}{2}\right)\ln \left(x+1\right)-\frac{1}{4}{\left(x-1\right)}^2+C$

D. $\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+1\right)\ln \left(x+1\right)-\frac{1}{4}{\left(x-1\right)}^2+C$

$\int x\sqrt{x-1}dx$ bằng:

A. ${\left(\mathrm{x}-1\right)}^{\frac{5}{2}}+{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}+C$

B. $\frac{2}{15}\left[3{\left(\mathrm{x}-1\right)}^{\frac{5}{2}}-5{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]+C$

C. $\frac{2}{15}\left[3{\left(\mathrm{x}-1\right)}^{\frac{5}{2}}+5{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]+C$

D. $\frac{1}{15}\left[3{\left(\mathrm{x}-1\right)}^{\frac{5}{2}}+5{\left(x-1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]+C$