87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A\left(5;3;-2\right)$. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M,N$.

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=36$.

Giá trị nhỏ nhất của $AM+2MB$bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng $d:\frac{x-5}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{-1}$. Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của $2M{A}^2+3M{B}^2$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ thuộc mặt phẳng tọa độ $\left(Oxy\right)$ sao cho biểu thức $T=2\left|\overrightarrow{MA}\right|+\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $x_0-y_0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình $2x+2y-z+9=0$. Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

Cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$ và hai điểm $A\left(1;1;3\right),B\left(21;9;-13\right)$.

Điểm $M\left(a;b;c\right)$ thuộc mặt cầu $\left(S\right)$ sao cho $3M{A}^2+M{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T=a.b.c$ bằng