4 bài tập Nhận dạng đa giác đều (có lời giải)

Các đa giác trong hình \({\rm{a}},{\rm{c}}\), e là các đa giác lồi vì đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác.

Đa giác ở hình \(b\) không phải là đa giác lồi vì không cùng nằm về một phía so với đường thẳng \(AD\)hoặc \(BC\).

Ở hình d cũng không phải là đa giác lồi vì không cùng nằm về một phía so với đường thẳng \(BC\) hoặc \(DC\).

Hình phẳng có dạng đa giác đều là hình b và d.

Ta có sdAB⏜=sdBC⏜=sd CD⏜=sd DE⏜=sdEF⏜=sd FA⏜=360°6=60°.

Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có AOB^=60° (vì sdAB⏜=60°)

 đều nên \(AB = R\) và \(\widehat {ABO} = {60^^\circ }\) (1)

Tương tự với tam giác BOC đều ⇒OBC^=60° và \({\rm{BC}} = {\rm{R}}\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ABC^=ABO^+OBC^=60°+60°=120° và \(AB = BC = R\).

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác \(ABCD\) có:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.\)

Và các góc \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{CDE}}} = \widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {{\rm{EFA}}} = \widehat {{\rm{FAB}}} = 120^\circ \). Do đó \[ABCDEF\] là một đa giác đều.

Ta có: \(AB = BC = CD = DE = EA\) (gt) (*).

Xét tam giác \(ABE\) có \({\rm{AB}} = {\rm{AE}}\) (gt) nên cân tại \(A\) cóA^=108° (gt)

⇒B1^=E1^=180°−A^2=180°−108°2=36°

Tương tự với tam giác BCD , ta có: \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{D_1}}\].

Lại có ABC^=B1^+B2^+B3^=108° ⇒ B2^=108°−B1^+B3^⇒B2^=108°−36°+36°=36°

Dễ thấy \( \Rightarrow BE = BD\) hay tam giác \(EBD\) cân tại \(B\) có B2^=36°

⇒E2^=D2^=180°−B2^2=180°−36°2=72°. Khi đó AED^=E^1+E^2=36°+72°=108°

Tương tự  CDE^=108°. Vậy A^=B^=C^=D^=E^=108°

Từ \(^{(*)}\) và \(\left( {^{(*)}} \right) \Rightarrow \) Ngũ giác \[ABCDE\]là ngũ giác đều (Các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau).