35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 7)
50 câu hỏi
Thể tích của khối cầu bán kính a bằng
4πa33.
4πa3.
πa33.
2πa3.
Đáp án A
Thể tích khối cầu bán kính alà V=43πa3.
Với a và b là hai số thực dương tùy ý, logab2 bằng
2loga+logb.
loga+2logb.
2loga+logb.
loga+12logb.
Đáp án B
Có logab2=loga+logb2=loga+2logb.
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A2;3;4 và B3;0;1. Khi đó độ dài vectơ AB→là:
19
19
13
13
Đáp án B
AB→=1;−3;−3⇒AB→=12+−32+−32=19.
Cho ∫12fxdx=2 và ∫122gxdx=8. Khi đó ∫12fx+gxdx bằng:
6
10
18
0
Đáp án A
∫12fxdx=2 và ∫12gxdx=4⇒∫12fx+gxdx=6
Cho hàm số fx có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
1;3
−1;1
−2;0
1;2
Đáp án B
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng =−1;1.
Tìm nghiệm của phương trình log2x−1=3.
x=9
x=7
x=8
x=10
Đáp án A
Điều kiện: x>1.
Phương trình tương đương vớix−1=8⇔x=9
Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Hàm số y=fx là hàm số nào trong các hàm số sau:
y=x3−3x2+2
y=−x3+3x2+2
y=−x3−3x2+2
y=x3+3x2+2
Đáp án A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy limx→+∞y=+∞⇒ Hệ số a>0 do đó loại B và C.
Mặt khác hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0, x=2 nên chỉ đáp án A thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:x−12=y1=z3 đi qua điểm nào dưới đây?
3;1;3
2;1;3
3;1;2
3;2;3
Đáp án A
Thử trực tiếp.
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a, góc giữa đường sinh và đáy bằng 60°. Thể tích của khối nón đã cho là:
πa333
πa333
πa323
πa33
Đáp án A
V=13.h.Sđ=13.h.π.R2=13.a3.π.a2=πa333 (đvtt)
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng Oxy có phương trình là:
x+y=0
x=0
y=0
z=0
Đáp án D
Oxy:z=0
Cho ∫abf'(x)dx=7 và f(b)=5. Khi đó f(a)bằng
12
0
2
-2
Chọn D
∫abf'(x)dx=7⇔f(b)-f(a)=7⇔f(a)=f(b)-7=-2
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và độ dài cạnh bên bằng 2a là:
a323
a32
a334
a332
Đáp án D
Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
Diện tích đáy S=a234, chiều cao h=2a⇒V=a332.
Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P:y=x2 và đường thẳng d:y=2x quay xung quanh trục Ox.
π∫02x2−2x2dx
π∫024x2dx−π∫02x4dx
π∫024x2dx+π∫02x4dx
π∫022x−x2dx
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm: x2−2x=0⇔x=0x=2.
Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: V=π∫02x2−2x2dx.
Tập nghiệm S của bất phương trình 5x+2<125−x là:
S=−∞;2
S=−∞;1
S=1;+∞
S=2;+∞
Đáp án D
Biến đổi về 5x+2<52x⇒x>2.
Cho cấp số cộng un, biết u2=3 và u4=7. Giá trị của u2019 bằng:
4040
4400
4038
4037
Đáp án D
Ta có: u1+d=3u1+3d=7⇔d=2u1=1.
Do đó: u2019=u1+2018d=4037.
Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức z=52+i?
2;1
1;2
52;5
2;−1
Đáp án D
Ta có z=52+i=2−i⇒M2;−1 là điểm biểu diễn hình học của z.
Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình vẽ:
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
2
3
4
5
Đáp án D
Dựa vào đồ thị hàm số ta chọn được đáp án D.
Họ nguyên hàm của hàm số fx=e2x+x2 là:
Fx=e2x+x3+C
Fx=e2x2+x33+C
Fx=2e2x+2x+C
Fx=e2x+x33+C
Đáp án B
Fx=∫e2x+x2dx=e2x2+x33+C
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=−x3+3x−2 tại điểm có hoành độ x0=2 có phương trình là
y=−9x+22
y=9x+22
y=9x+14
y=−9x+14
Đáp án D
Ta có y'=−3x2+3
Với x0=2⇒y0=y2=−4
Hệ số góc của tiếp tuyến tại hai điểm có hoành độ x0=2 là k=y'2=−9.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0=2 là y=−9x−2−4=−9x+14.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số fx=x3−3x2−9x+10 trên −2; 2 .
max[−2; 2]fx=5
max[−2; 2]fx=17
max[−2; 2]fx=−15
max[−2; 2]fx=15
Chọn D
Hàm số liên tục và xác định trên −2; 2.
Ta có f'x=3x2−6x−9. Do đó f'x=0⇔3x2−6x−9=0⇔x=−1∈−2; 2x=3∉−2; 2.
Khi đó f−1=15; f−2=8; f2=−12. Vậy max[−2; 2]fx=15.
Tập nghiệm của bất phương trình 2log2x−1≤log25−x+1 là:
3;5
1;3
1;3
1;5
Đáp án B
Điều kiện: 1<x<5.
2log2x−1≤log25−x+1⇔log2x−12≤log210−2x⇔x−12≤10−2x⇔−3≤x≤3.
Vậy S=1;3.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 45°. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
a323
a326
a3
a33
Đáp án D
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2.
Do SA⊥ABCD⇒SB;ABCD^=SBA^=45°.
Suy ra SA=atan45°=a.
Thể tích khối chóp là: V=13.SA.SABCD=a33.
Biết z1 và z2 là 2 nghiệm của phương trình z2−4z+10=0. Tính giá trị của biểu thức T=z1z2+z2z1.
T=−2
T=−25
T=−15
T=5
Đáp án B
Ta có: T=z1z2+z2z1=z12+z22z1z2=z1+z22−2z1z2z1z2.
Theo Viet ta có z1+z2=4z1z2=10 nên T=42−2010=−25.
Đạo hàm của hàm số y=x.ex+1 là:
y'=1−xex+1
y'=1+xex+1
y'=ex+1
y'=xex
Đáp án B
y'=ex+1+xex+1=x+1ex+1
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=−x4+2x2−1 trên đoạn −2;1. Tính M+m?
0
-9
-10
-1
Đáp án B
y'=−4x3+4x=0⇒x=0; x=±1.
Khi đó f−2=−9; f1=1; f0=−1; f1=0⇒M+m=−9.
Phương trình mặt cầu S có tâm I1;−2;3 và tiếp xúc với mặt phẳng P:x−2y+2=0 là:
x−12+y+22+z−32=1219
x+12+y−22+z+32=113
x−12+y+22+z−32=495
x+12+y−22+z+32=495
Đáp án C
Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng P.
Do đó: R=dI,P=1+2.2+212+−22=75.
Phương trình mặt cầu là: S:x−12+y+22+z−32=495.
Cho hàm số y=fx có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình 4f2x−1=0 là:
2
3
4
1
Phương trình ⇔f2x=14⇔fx=12fx=−12
Phương trình fx=12 có 1 nghiệm và phương trình fx=−12 có 3 nghiệm nên phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A có AB=a3, AC=a, tam giác SBC đều và mặt trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Góc giữa SA và mặt phẳng đáy là
30°
45°
60°
90°
Đáp án C
Kẻ SH⊥BC⇒SH⊥(ABC)⇒SA;(AB^C)=SAH^.
Cạnh AH=12BC=12AB2+AC2=a và
SH=BC32=2a.32=a3
tanSAH^=SHAH=3⇒SAH^=60°.
Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' với O' là tâm hình vuông A'B'C'D'. Biết rằng tứ diện O'BCDcó thể tích bằng 6a3. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A'B'C'D'.
V=12a3
V=36a3
V=54a3
V=18a3
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z−3i+1=4 là:
Đường tròn x−32+y+12=4.
Đường tròn x+12+y−32=4.
Đường tròn x+12+y−32=16.
Đường thẳng x−3y=3.
Đáp án C
Gọi z=x+yix,y∈ℝ⇒z−3i+1=x+1+y−3i⇒z−3i+1=4⇔x+12+y−32=4
⇔x+12+y−32=16 là đường tròn biểu diễn số phức z.
Cho hàm số y=fx là hàm số xác định trên ℝ\−1;1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
1
3
4
2
Đáp án D
Do limx→−1y=∞,limx→1−y=−∞ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x=±1.
Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ, diện tích hai phần S1,S2 lần lượt bằng 12 và 3. Giá trị của I=∫−23fxdx bằng:
15
9
36
27
Đáp án B
I=∫−23fxdx=S1−S2=9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai điểm A1;3;2,B3;5;−4. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là:
x+y−3z+9=0
x+y−3z+2=0
x−31=y−51=z+4−3
x+y−3z−9=0
Đáp án D
AB→=2;2;−6 và I2;4;−1 là trung điểm AB.
Phương trình mặt phẳng trung trực của AB nhận vectơ n→=1;1;−3 và đi qua điểm I là 1x−2+1y−4−3z+1=0⇔x+y−3z−9=0.
Đường thẳng Δ là giao của hai mặt phẳng P:x+y−z=0 và Q:x−2y+3=0 thì có phương trình là:
x+21=y+13=z−1
x+21=y+12=z−1
x−21=y−11=z−3−1
x+12=y−11=z3
Đáp án D
Ta có: nP→=1;1;−1,nQ→=1;−2;0.
Khi đó uΔ→=nP→;nQ→=−2;1;3.
Chọn z=0 ta được x=−1, y=1.
Vậy điểm M−1;1;0 thuộc giao tuyến.
Phương trình đường thẳng giao tuyến là: x+12=y−11=z3 .
Cho hàm số y=fx có đạo hàm là f'x=x−24x−1x+3x2+3. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=fx:
6
3
1
2
Cho hàm số y=f'x liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số C:y=fx−12x2−1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Hàm số C đồng biến trên khoảng 0;2.
Hàm số C đồng biến trên khoảng −∞;−2 .
Hàm số C nghịch biến trên khoảng 2;4.
Hàm số C nghịch biến trên khoảng −4;−3.
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.
542
3742
27
121
Đáp án C
Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách suy ra nΩ=C93 .
Gọi A: “biến cố lấy được 3 quyển sách thuộc 3 môn khác nhau”
Ta có: nA=C41.C31.C21=24.
Vậy PA=24C93=27
Một khối đồ chơi gồm một khối nón N xếp chồng lên một khối trụ T. Khối trụ T có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là r1,h1. Khối nón N có bán kính đáy và chiều cao lần lượt là r2,h2 thỏa mãn r2=23r1 và h2=h1 (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 124cm3, thể tíchkhối nón N bằng:
62cm3
15cm3
108cm3
16cm3
Đáp án A
Ta có: 124=π.r12.h1+13π.r22.h2⇔124=π32r22h2+13π.r22.h2⇔124=3112π.r22.h2⇒13π.r22.h2=16⇒VN=16cm3
Cho ∫01xdx2x+12=a+bln2+cln3 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a+b+c bằng:
14
512
−13
112
Đáp án D
Đặt t=2x+1⇒x=t−12, dx=12dt, I=∫13t−14t2=14lnt+14t13=14ln3−16.
Khi đó: a+b+c=112.
Cho hàm số fa=a23a−23−a3a18a38−a−18 với a>0, a≠1. Giá trị của M=f20192018 là
20191009
20191009+1
−20191009+1
−20191009−1
Đáp án D
Ta có: fa=a23a−23−a3a18a38−a−18=a23a−23−a13a18a38−a18=1−aa12−1=−a12−1a12+1a12−1=−a12−1
Khi đó . M=f20192018=−2019201812−1=−20191009−1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SD⊥ABCD,AD=a và AOD^=60°. Biết SC tạo với đáy một góc 45°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
2a2121
a64
a155
2a3
Cho hàm số y=fx thỏa mãn điều kiện ∫02f'xdxx+2=3 và f2−2f0=4. Tính tích phân I=∫01f2xdxx+12.
I=−12
I=0
I=−2
I=4
Đáp án D
Đặt u=1x+2dv=f'xdx⇒du=−1x+22v=fx.
Khi đó ∫02f'xdxx+2=fxx+202+∫02fxdxx+22=f24−f02+∫02fxdxx+22=1+∫02fxdxx+22.
Suy ra K=∫02fxdxx+22=2→x=2tK=∫01f2td2t2t+22=∫01f2tdt2t+12=2.
Vậy ∫01f2tdtt+12=4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng d:x=−2ty=tz=−1−2t trên mặt phẳng P:x+y−z+1=0.
x=4+7ty=−2−2tz=3+5t
x=4+7ty=−2+2tz=3+5t
x=−4+7ty=−2−2tz=3+5t
x=4+7ty=−2−2tz=−3+5t
Đáp án B
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi A là giao điểm của d và P.
Gọi A−2t;t;−1−2t∈d, cho A∈P⇒−2t+t+1+2t+1=0⇔t=−2⇒A4;−2;3∈Δ.
Áp dụng công thức nhanh ta có: uΔ→=nP→;ud→;nP→=7;−2;5.
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là: x=4+7ty=−2+2tz=3+5t.
Cho phương trình 2log33x−3log3x=m−1 (với m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình trên có nghiệm?
3
4
5
Vô số
Đáp án B
Ta có phương trình ⇔21+log3x−3log3x+1=m.
Đặt t=1+log3x⇒log3x=t2−1 t≥0.
Khi đó ta có: 2t−3t2−1+1=m⇔−3t2+2t+4=m.
Xét hàm số ft=−3t2+2t+4 với t≥0 ta có f't=−6t+2=0⇔t=13.
Mặt khác f0=4, f13=133, limx→+∞fx=−∞.
Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m≤4.
Kết hợp điều kiện bài toán suy ra m=1;2;3;4.
Đồ thị hàm số y=x4−4x2+2 cắt đường thẳng d:y=m tại 4 điểm phân biệt và tạo ra các hình phẳng có diện tích S1,S2,S3 thỏa mãn S1+S2=S3 (như hình vẽ). Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây?
−32;−1
−1;−12
−12;−13
−13;0
Đáp án D
Giả sử đồ thị hàm số y=x4−4x2+2 cắt đường thẳng y=m tại 4 điểm có hoành độ −b, −a, a, b thì b4−4b2+2=m.
Để S1+S2=S3⇔∫0bx4−4x2+2−m=0⇔b55−4b33+2b−mb=0⇒b45−4b23+2=m⇔b45−4b23+2=b4−4b2+2⇔45b4=83b2⇒b2=103
Khi đó m=b4−4b2+2=−29.
Cho hàm số fx có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số điểm cực trị của hàm số gx=fx22−3fx2+1 là:
4
5
6
3
Đáp án B
Ta có: g'x=2fx2.2x.f'x2−6xf'x2=4xf'x2.fx2−32.
Phương trình f'x2=0⇔x2=1x2=3→ có 4 nghiệm.
Phương trình fx=32 có nghiệm x âm nên phương trình fx2=32 vô nghiệm.
Do đó phương trình g'x=0 có 5 nghiệm.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y+12+z2=56, mặt phẳng P:x+y+z−1=0 và điểm A1;1;1. Điểm M thay đổi trên đường tròn giao tuyến của P và S. Giá trị lớn nhất của P=AM là:
2
322
233
356
Đáp án D
Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên P.
Ta có: uAI→=nP→1;1;1⇒AE:x−11=y−11=z−11, giao điểm của AI và P là E13;13;13.
Mặt cầu S có tâm I1;−1;0 và bán kính R=56, bán kính đường tròn giao tuyến là r=R2−dI,P2=22. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên P⇒IK:x=1+ty=−1+tz=t.
Giải 1+t−1+t+t−1=0⇔t=13⇒K43;−23;13.
Ta có AM2=AE2+EM2 lớn nhất khi EMmax.
Mặt khác EMmax=EK+r=2+22=322⇒Pmax=EMmax2+AE2=2106.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình m≥fx2+1+x2−4x có nghiệm trên đoạn [-1;4] là
![Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình có nghiệm trên đoạn [-1;4] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/23-1650268850.png)
4
5
6
7
Đáp án B
Điều kiện để bất phương trình m≥fx2+1+x2−4x có nghiệm trên đoạn [-1;4] là m≥Min−1;4g(x)
Xét hàm số g(x)=fx2+1+x2−4x với x∈−1;4
Ta có: g'(x)=12f'x2+1+2(x−2).Đặt t=x2+1
Ta thấy x∈(2;4)⇒t∈2;3⇒f't>0⇒g'x=12f'x2+1+2x−2>0
Với x∈−1;4⇒t∈12;2⇒f'(t)<0⇒g'(t)<0
Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau
![Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình có nghiệm trên đoạn [-1;4] là (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/00-1650269053.png)
Mặt khác g(2)=f(2)+22−4.2=−5
Suy ra m≥−5là giá trị cần tìm. Kết hợp m∈ℤ−⇒m=−5;−4;−3;−2;−1
Xét các số phức z thỏa mãn z=1. Đặt w=2z−i2+iz, giá trị lớn nhất của biểu thức P=w+3i là
Pmax=2
Pmax=3
Pmax=4
Pmax=5
Đáp án C
Ta có: w=2z−i2+iz⇔w(2+iz)=2z−i⇔2w+wiz=2z−i
w=2z−i2+iz
Đặt w=x+yi⇔4x2+(2y+1)2=(y+2)2+x2⇔3x2+3y2=3⇔x2+y2=1.
Vậy w thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính R=1⇒Pmax=3+1=4.
Cho các số thực x, y thỏa mãn 5+16.4x2−2y=(5+16x2−2y).72y−x2+2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P=10x+6y+262x+2y+5. Khi đó T=M+m bằng:
T=10
T=212
T=192
T=15
Đáp án C
x2−2y=t⇒5+16.4t=(5+16t).72−t⇒5+4t+27t+2=5+42t72t
⇒t+2=2t⇒t=2⇒x2−2y=2⇒2y=x2−2
Khi đó P=3x2+10x+20x2+2x+3⇒(3−P)x2+2(5−P)x+20−3P=0.
Phương trình bậc hai ẩn x, x tồn tại khi Δ≥0⇒2P2−19P+35≤0⇒52≤P≤7.
Vậy M+m=9,5.
