35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 3)
50 câu hỏi
Cho tập hợp A gồm 12 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của tập hợp A là
A128.
C124
4!
A124
Số cách chọn 4 phần tử từ 12 phần tử bằng: C124.
Chọn đáp án B.
Cho cấp số cộng un, có u1=−2,u4=4. Số hạng u6 là
8
6
10
12
Áp dụng công thức của cấp số cộng un=u1+n−1d, ta có
u4=u1+3d⇔4=−2+3d⇔d=2.
Vậy u6=u1+5d=−2+52=8.
Chọn đáp án A.
Cho hàm số fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hàm số đồng biến trên khoảng −∞;0.
Hàm số đồng biến trên khoảng −∞;1.
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1.
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;+∞.
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng −∞;0 và 1;+∞, hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1.
Chọn đáp án B.
Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝ. Hàm số y=f'x có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đồ thị hàm số y=fx có hai điểm cực trị.
Đồ thị hàm số y=fx có ba điểm cực trị
Đồ thị hàm số y=fx có bốn điểm cực trị.
Đồ thị hàm số y=fx có một điểm cực trị.
Vì phương trình f'x=0 có 3 nghiệm và khi qua 3 nghiệm f'x đều đổi dấu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị
Chọn đáp án B.
Cho hàm số y=fx có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Có ba điểm.
Có bốn điểm.
Có một điểm.
Có hai điểm.
Theo định nghĩa về cực trị, nhìn trên bảng biến thiên ta thấy chỉ có x=−1 và x=1 là thỏa mãn đồng thời của hai điều kiện. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.
Chọn đáp án D.
Phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=1−2x−x+2 lần lượt là
x=−2;y=−2.
x=2;y=−2.
x=−2;y=2
x=2;y=2
Dễ thấy đồ thị hàm số y=1−2x−x+2 có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là x=2;y=2.
Chọn đáp án D.
Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?
y=−x33+x2+1.
y=−x3−3x2+1.
y=2x3−6x2+1.
y=x3−3x2+1.
Từ hình vẽ ta thấy hệ số a>0 nên loại A và B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm 2;−3 chỉ có đáp án D thỏa.
Chọn đáp án D.
Tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số y=x3+3x−4 và đường thẳng y=2x−4.
M0;−4
M−3;0
M−1;−6
M1;0
Từ phương trình hoành độ giao điểm x3+3x−4=2x−4⇒x=0.
Thay x=0 vào phương trình đường thẳng y=2x−4, ta được y=−4.
Vậy M0;−4.
Chọn đáp án A.
Với các số thực dương x,y. Ta có 8x,44,2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và các số log245,log2y,log2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó y bằng
225
15
105
105.
Từ 8x,44,2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội q=244=127
Mặt khác log245,log2y,log2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra
log2y=log245+log2x:2⇔log2y=log245+log25:2⇔log2y=log2225⇔y=15.
Chọn đáp án B.
Đạo hàm bậc nhất của hàm số y=e2x+3 là
y'=2.e2x.
y'=e2x.
y'=2e2x+3.
y'=e2x+3.
Ta có y=e2x+3 nên y'=e2x.2x'=2.e2x.
Chọn đáp án A.
Cho đẳng thức a2a3a3=aα,0<a≠1. Khi đó α thuộc khoảng nào?
−1;0
0;1
−2;−1
−3;−2
Ta thấy aα=a2a3a3=a56a3=a−136⇒α=−136∈−3;−2.
Chọn đáp án D.
Nghiệm của phương trình log23x−8=2 là
x=4.
x=−4
x=−43.
x=12
Ta có log23x−8=2⇔3x−8=4⇔x=4.
Chọn đáp án A.
Tìm nghiệm của phương trình 3x−1=27.
x=9
x=3.
x=4.
x=10.
Ta có 3x−1=27⇔3x−1=33⇔x−1=3⇔x=4
Chọn đáp án C.
Họ nguyên hàm của hàm số fx=sin2x là
Fx=−12cos2x+C.
Fx=cos2x+C
Fx=12cos2x+C
Fx=−cos2x+C
Ta có ∫sin2xdx=−cos2x2+C.
Chọn đáp án A.
Tính nguyên hàm A=∫1xlnxdx bằng cách đặt t=lnx. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A=∫dt
∫1t2dt
∫tdt.
∫1tdt
Đặt t=lnx⇒dt=1xdx.
A=∫1tdt
Chọn đáp án D.
Biết fxlà hàm số liên tục trên ℝ,alà số thực thỏa mãn 0<a<πvà ∫0afxdx=∫aπfxdx=1.Tính ∫0πfxdx.
0
2
12
1
Ta có I=∫0πfxdx=∫0afxdx+∫aπfxdx=2.
Chọn đáp án B.
Tích phân I=∫0π3sinxdx bằng
32
−32
12
−12
Ta có I=∫0π3sinxdx=−cosxπ30=12.
Chọn đáp án C.
Cho số phức z=2−3i. Số phức liên hợp của z là
z¯=−2−3i.
z¯=−2+3i.
z¯=2+3i.
z¯=2−3i.
Số phức liên hợp của số phức 2−3i là 2+3i.
Chọn đáp án C.
Số nào trong các số phức sau là số thực?
1+2i+−1+2i
3+2i+3−2i
5+2i−5−2i
3−2i−3+2i.
Số phức có phần ảo bằng 0 là số thực. Do đó 3+2i+3−2i=6 là số thực.
Chọn đáp án B.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho điểm M−2;1. Hỏi điểm M là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
z=2−i.
z=−2+i
z=−1+2i
z=1−2i.
M−2;1⇒z=−2+i.
Chọn đáp án B.
Thể tích của khối chóp có diện tích mặt đáy bằng B, chiều cao bằng h được tính bởi công thức
V=13Bh.
V=Bh
V=12Bh
V=3Bh
Công thức tính thể tích chóp.
Chọn đáp án A.
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là
V=43Bh.
V=13Bh.
V=Bh.
V=12Bh.
Theo công thức tính thể tích khối chóp ta có V=13Bh.
Chọn đáp án B.
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
V=πr2h.
V=πrh.
V=13πr2h.
V=13πrh2.
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là V=13πr2h.
Chọn đáp án C.
Cho khối nón xoay có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng a. Khi đó thể tích khối nón là
23πa3
πa3
13πa3
43πa3
Theo bài ra h=r=a.
Thể tích khối nón là V=13πr2h=13πa3.
Chọn đáp án C.
Cho các véc-tơ a→=1;2;3,b→=−2;4;1,c→=−1;3;4. Véc-tơ v→=2a→−3b→+5c→ có tọa độ là
v→=23;7;3.
v→=7;23;3.
v→=3;7;23.
v→=7;3;23.
Ta có: 2a→=2;4;6;−3b→=6;−12;−3;5c→=−5;15;20
⇒v→=2a→−3b→+5c→=3;7;23.
Chọn đáp án C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình x2+y2+z2−2x+4y−6z+9=0. Tìm tọa độ tâm I và độ dài bán kính R của mặt cầu.
I−1;2;−3 và R=5.
I1;−2;3 và R=5
I1;−2;3 và R=5.
I−1;2;−3 và R=5.
Tâm I1;−2;3;R=1+4+9−9=5.
Chọn đáp án B.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng Oxz có phương trình là
x=0.
z=0.
y=0.
x+z=0.
Phương trình mặt phẳng Oxz qua O0;0;0 và có véc-tơ pháp tuyến k→=0;1;0 nên có phương trình y=0.
Chọn đáp án C.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x−12=y+23=z−3. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d?
u→=2;3;1
u→=2;3;0
u→=1;2;3
u→=1;−2;3
Theo định nghĩa về phương trình chính tắc ta có u→=2;3;1 là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d:x−12=y+23=x−31.
Chọn đáp án A.
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt chẵn.
12
16.
14.
13
Không gian mẫu Ω=1;2;3;4;5;6⇒nΩ=6.
Gọi A là biến cố “con xúc sắc xuất hiện mặt chẵn” ⇒nA=3.
Xác suất tìm được là: PA=36=12.
Chọn đáp án A.
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
y=x4−2x2.
y=−x4+2x2.
y=−x3+3x2.
y=x3−2x.
Ta thấy đường cong là đồ thị của hàm trùng phương có dạng y=ax4+bx2+c với a>0.
Chọn đáp án A.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+11−x trên đoạn 2;3 là:
34.
−5.
−72.
−3.
Ta có y'=31−x2>0,∀x≠1, suy ra hàm số đồng biến trên 2;3. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 2;3 là f2=−5.
Chọn đáp án B.
Tập nghiệm của bất phương trình 234x≤322−x là
−∞;−23
−∞;25
25;+∞
−23;+∞
234x≤322−x⇔32−4x≤322−x⇔−4x≤2−x⇔x≥−23.
Chọn đáp án D.
Tích phân ∫02aax+3adx,a>0 bằng
16a225
alog53.
ln53.
2a15.
Ta có ∫02aax+3adx=∫021x+3dx=lnx+320=ln5−ln3=ln53.
Chọn đáp án C.
Cho số phức w=2+i2−32−i. Giá trị của w là
54
58
210
43
Ta có w=−3+7i nên w=58.
Chọn đáp án B.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA=a2. Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD.
900
450
600
300
* Theo giả thiết: SA⊥ABCDAC=a2⇒α=SC;ABCD=SCA^.
* Vì ΔSAC vuông cân tại A nên α=450.
Chọn đáp án B.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC=a. Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng ABC với SH=2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB là
3a.
217a.
73a.
3217a.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra CE⊥AB.
Kẻ HI//CE,I∈AB.
Ta có HI⊥ABAB⊥SH⇒AB⊥SHI.
Trong mặt phẳng SHI,kẻ HK⊥SI tại K, suy ra HK⊥SAB.
Ta có HI=23CE=a3.
Ta có 1HK2=1HS2+1HI2⇒HK=2a217.
Ta có dC;SAB=32dH;SAB=32HK=3a217.
Chọn đáp án D.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−2x−4y−4z=0.Viết phương trình mặt phẳng Ptiếp xúc với mặt cầu Stại điểm A3;4;3.
4x+4y−2z−22=0.
2x+2y+z−17=0.
2x+4y−z−25=0.
x+y+z−10=0.
Mặt cầu S có tâm I1;2;2. Mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S tại điểm A3;4;3 có véc-tơ pháp tuyến là IA→=2;2;1.
Phương trình mặt phẳng P là 2x−3+2y−4+z−3=0 hay 2x+2y+z−17=0.
Chọn đáp án B.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A1;−2;3 và B3;1;1.
x−14=y+2−1=z−34.
x−1−2=y+2−3=z−32.
2x−1+3y+2−2z−3=0.
x−21=y−3−2=z+23.
Ta có AB→=2;3;−2 là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB:x−12=y+23=z−3−2.
Chọn đáp án B.
Cho hàm số y=fx. Biết hàm số y=f'x có đồ thị như hình bên. Trên −4;3 hàm số gx=2fx+1−x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm?
x0=−4.
x0=3.
x0=−3.
x0=−1.
Trên −4;3, ta có: g'x=2f'x−21−x.
g'x=0⇔f'x=1−x⇔x=−4x=−1x=3
Bảng biến thiên.
Hàm số gx đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0=−1.
Chọn đáp án D.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log4x2−x−m≥log2x+2 có nghiệm.
−∞;6
−∞;6
−2;+∞
−2;+∞
Ta có log4x2−x−m≥log2x+2⇔12log4x2−x−m≥log2x+2⇔x+2>0x2−x−m≥x+22⇔x>−2m≤−5x−4
Ta có bảng biến thiên của hàm số fx=−5x−4 với x>−2 sau đây
Dựa vào bảng biến thiên ta có m<6.
Chọn đáp án B.
Có bao nhiêu số thực a để ∫01xa+x2dx=1?
0
1
2
3
a+x2≠0 với mọi x∈0;1⇒a>0 hoặc a<−1.
∫01xa+x2dx=1⇔12lna+x210=12lna+1a=1⇔a=1e2−1a=−1e2+1loai
Chọn đáp án B.
Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn z=5 và z2+i1−2i là một số thực. Tính P=a+b.
P=8
P=4
P=5
P=7
Ta có
z2+i1−2i=a+bi4−3i=4a+3b+−3a+4bi. 1
Do z2+i1−2i là một số thực nên từ 1 suy ra −3a+4b=0⇔b=34a. 2
Mặt khác
z=5⇔a2+b2=25. 3
Thế 2vào 3 ta được phương trình
a2+34a2=25⇔a2=16⇔a=±4.
Với a=4⇒b=3 và a=−4⇒b=−3.
Vậy P=a+b=3+4=7.
Chọn đáp án D.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB=a,BC=a3,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC. Thể tích V của khối chóp S.ABC là
V=2a3612.
V=a366.
V=a3612.
V=a364.
Gọi K là trung điểm của đoạn AB.
Ta có ΔSAB đều ⇒SK⊥AB.
Mà SAB⊥ABC theo giao tuyến AB
⇒SK⊥ABC⇒VS.ABC=13SK.SΔABC
Ta có ΔABC vuông tại A có AB=a,BC=a3
⇒AC=BC2−AB2=3a2−a2=a2
⇒SΔABC=12AB.AC=12a.a2=a222.
SΔABC đều cạnh AB=a⇒ đường cao SK=a32.
VS.ABC=13.a32.a222=a3612.
Chọn đáp án C.
Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45 cm. Chiều dài phần trải ra gần với số nào nhất trong các số sau? (chiều dài tính bằng đơn vị mét).
373
180
275
343
Gọi l1,l2,...,l250 là chiều dài phần trải ra vòng thứ nhất, thứ hai,…, thứ 250 của khối trụ.
Vì khi trải ra 250 vòng, bán kính khối trụ giảm đi 2,5 cm nên bề dày tấm đề can là 2,5250=0,01cm.
Khi đó l1,l2,...,l250 lần lượt là chu vi các đường tròn có các bán kính r1,r2,...,r250, với r1,r2,...,r250 lập thành một cấp số cộng có công sai d=−0,01 và số hạng đầu bằng 25.
Nên r1+r2+...+r250=25.250+250.2492.−0,01=5938,75.
Vậy chiều dài phần trải ra là l1+l2+...+l250=2π.5938,75≈37314cm≈373m.
Chọn đáp án A.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x−32=y−23=z6 và mặt cầu S:x−12+y−12+z2=9. Biết đường thẳng d cắt mặt cầu S theo dây cung AB. Độ dài AB là
25
42
23
4
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó
AB=2IB2−IH2=2R2−d2I;d
d đi qua điểm M3;2;0 và ud→=2;3;6. Vậy
dI;d=IM→;ud→ud→
Ta có IM→=2;1;0⇒IM→;ud→=6;−12;4. Vậy IM→;ud→=14.
Mà ud→=22+32+62=7⇒dI,d=2.
Vậy AB=232−22=25.
Chọn đáp án A.
Cho hàm số y=fx. Đồ thị hàm số y=f'xnhư hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số gx=fx2−3.
2
3
4
5
Ta có g'x=2xf'x2−3
g'x=0⇔x=0f'x2−3=0⇔x=0x2−3=−2x2−3=1nghiem kep⇔x=0x=±1x=±2nghiem kep
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án B.
Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực x;y;z thỏa mãn 2x23.4y23.16z23=128xy2+z42=4+xy2−z42.
3
4
1
2
Hệ phương trình đã cho tương đương
2x23.4y23.16z23=128xy2+z42−xy2−z42=4⇔x23+2y23+4z23=7xy2z4=1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có
7=x23+2y23+4z23
=x23+y23+y23+z23+z23+z23
≥7x23.y232.z2347
=7xy2z4221
=7.
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương
x2=y2=z2xy2z4=1.
Dễ thấy x>0 và từ phương trình thứ hai ta có x>0 hay x=1. Suy ra y=±1,z=±1.
Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là 1;1;1,1;1;−1,1;−1;−1,1;−1;1.
Chọn đáp án B.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2−4 và y=−x2−2x.
S=9
S=−99
S=3
S=9π
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x2−4=−x2−2x⇔x2+x−2=0. Phương trình này có hai nghiệm là 1 và −2. Do đó, diện tích cần tính là
S=∫−21x2−4−−x2−2xdx=∫−212x2+2x−4dx=23x3+x2−4x1−2=9.
Chọn đáp án A.
Cho hai số phức z1=12+32i,z2=−12+32i. Gọi z là số phức thỏa mãn 3z−3i=3. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T=z+z−z1+z−z2. Tính mô-đun của số phức w=M+mi.
2213.
13
433.
4
Ta có x2+y−332=12 C. Gọi K,A,B lần lượt là các điểm biểu diễn của z,z1,z2. Khi đó T=OK+KA+KB.
Ta có A,B,O thuộc đường tròn C và tam giác ABO đều. Suy ra m=2OA=2. Đẳng thức xảy ra khi K trùng với O,A,B.
Gọi K thuộc cung AB, ta có KA.KB=OA.BK+AB.OK⇔KA=KB+OK suy ra T2=≤KA≤433. Vậy w=16.39+4=2213.
Chọn đáp án A.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=a2. Biết góc giữa hai mặt phẳng AB'C' và ABC bằng 600 và hình chiếu của A lên A'B'C' là trung điểm H của đoạn thẳng A'B'. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A.HB'C' theo
a217.
3a68.
a628.
2a217.
Gọi M là trung điểm B'C' và N là hình chiếu của H trên B'C'. Ta có
* B'C'⊥HNB'C'⊥AH⇒B'C'⊥AHN⇒B'C'⊥AN.
* AB'C'∩A'B'C'=B'C'B'C'⊥HNB'C'⊥AN
⇒A'B'C',AB'C'=ANH^=600
Ta có B'C'=A'B'2+A'C'2=a3
1HN2=1HB2+1HM2⇒HN=a66 và AH=HN.tan600=a22.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O các điểm B',M,A lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz.
Ta có H0;0;0,B'a2;0;0,A0;0;a22,C'−a2;a2;0.
Gọi S:x2+y2+z2−2Ax−2By−2Cz+D=0 là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AHB'C'. Ta có
D=02Aa2=a222C.a22=a2222A.−a2+2B.a2=−a22+a22⇔A=a4B=542C=a22D=0
Bán kính R=A2+B2+C2−D=a628.
Chọn đáp án C.
