35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 3)

Ta có $y=e^{2x}+3$ nên $y\text{'}=e^{2x}.\left(2x\right)\text{'}=2.e^{2x}.$

Chọn đáp án A.

Ta thấy $a^{\alpha }=\frac{\sqrt[3]{a^2\sqrt{a}}}{a^3}=\frac{a^{\frac{5}{6}}}{a^3}=a^{-\frac{13}{6}}\Rightarrow \alpha =-\frac{13}{6}\in \left(-3;-2\right).$

Chọn đáp án D.

Ta có ${\log }_2\left(3x-8\right)=2\iff 3x-8=4\iff x=4.$

Chọn đáp án A.

Ta có $3^{x-1}=27\iff 3^{x-1}=3^3\iff x-1=3\iff x=4$

Chọn đáp án C.

Ta có $\underset{}{\overset{}{\int }}\sin 2xdx=-\frac{\cos 2x}{2}+C.$

Chọn đáp án A.

Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx.$

$A=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{1}{t}dt$

Chọn đáp án D.

Ta có $I=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx=2.$

Chọn đáp án B.

Ta có $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin xdx=-\cos x\left|\begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{2}.$

Chọn đáp án C.

Số phức liên hợp của số phức $2-3i$ là $2+3i$.

Chọn đáp án C.

Số phức có phần ảo bằng 0 là số thực. Do đó $\left(3+2i\right)+\left(3-2i\right)=6$ là số thực.

Chọn đáp án B.

$M\left(-2;1\right)\Rightarrow z=-2+i.$

Chọn đáp án B.

Công thức tính thể tích chóp.

Chọn đáp án A.

Theo công thức tính thể tích khối chóp ta có $V=\frac{1}{3}Bh.$

Chọn đáp án B.

Thể tích của khối nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Chọn đáp án C.

Theo bài ra $h=r=a.$

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi a^3.$

Chọn đáp án C.

Ta có:  $2\overrightarrow{a}=\left(2;4;6\right);-3\overrightarrow{b}=\left(6;-12;-3\right);5\overrightarrow{c}=\left(-5;15;20\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\left(3;7;23\right).$

Chọn đáp án C.

Tâm $I\left(1;-2;3\right);R=\sqrt{1+4+9-9}=\sqrt{5}.$

Chọn đáp án B.

Phương trình mặt phẳng $Oxz$ qua $O\left(0;0;0\right)$ và có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left(0;1;0\right)$ nên có phương trình $y=0.$

Chọn đáp án C.

Theo định nghĩa về phương trình chính tắc ta có $\overrightarrow{u}=\left(2;3;1\right)$ là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{x-3}{1}.$

Chọn đáp án A.

Không gian mẫu $\Omega =\left\{1;2;3;4;5;6\right\}\Rightarrow n\left(\Omega \right)=6.$

Gọi A là biến cố “con xúc sắc xuất hiện mặt chẵn” $\Rightarrow n\left(A\right)=3.$

Xác suất tìm được là: $P\left(A\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

Chọn đáp án A.

Ta thấy đường cong là đồ thị của hàm trùng phương có dạng $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với $a>0.$

Chọn đáp án A.

Ta có $y\text{'}=\frac{3}{{\left(1-x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne \mathrm{1,}$ suy ra hàm số đồng biến trên $\left[2;3\right].$ Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[2;3\right]$ là $f\left(2\right)=-5.$

Chọn đáp án B.

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2-x}\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-4x}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2-x}\iff -4x\le 2-x\iff x\ge -\frac{2}{3}.$

Chọn đáp án D.

Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{a}{ax+3a}dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{x+3}dx=\ln \left(x+3\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.=\ln 5-\ln 3=\ln \frac{5}{3}.$

Chọn đáp án C.

* Theo giả thiết: $\left\{\begin{array}{l}SA\perp \left(ABCD\right)\\ AC=a\sqrt{2}\end{array}\right.\Rightarrow \alpha =\left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SCA}$.

* Vì $\Delta SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\alpha ={45}^0.$

Chọn đáp án B.

Gọi $E$ là trung điểm $AB,$ suy ra $CE\perp AB.$

Kẻ $HI//CE,I\in AB.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}HI\perp AB\\ AB\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SHI\right)$.

Trong mặt phẳng $\left(SHI\right),$kẻ $HK\perp SI$ tại $K,$ suy ra $HK\perp \left(SAB\right)$.

Ta có $HI=\frac{2}{3}CE=a\sqrt{3}.$

Ta có $\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{H{S}^2}+\frac{1}{H{I}^2}\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.$

Ta có $d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(H;\left(SAB\right)\right)=\frac{3}{2}HK=\frac{3a\sqrt{21}}{7}.$

Chọn đáp án D.

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(1;2;2\right).$ Mặt phẳng $\left(P\right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)$ tại điểm $A\left(3;4;3\right)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{IA}=\left(2;2;1\right).$

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ là $2\left(x-3\right)+2\left(y-4\right)+z-3=0$ hay $2x+2y+z-17=0.$

Chọn đáp án B.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;3;-2\right)$ là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $AB.$

Từ đó ta có phương trình đường thẳng $AB:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{-2}.$

Chọn đáp án B.

Trên $\left[-4;3\right]$, ta có: $g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right)-2\left(1-x\right).$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)=1-x\iff \left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=-1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên.

Ta có  ${\log }_4\left(x^2-x-m\right)\ge {\log }_2\left(x+2\right)\iff \frac{1}{2}{\log }_4\left(x^2-x-m\right)\ge {\log }_2\left(x+2\right)$$\iff \left\{\begin{array}{l}x+2>0\\ x^2-x-m\ge {\left(x+2\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-2\\ m\le -5x-4\end{array}\right.$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)=-5x-4$ với $x>-2$ sau đây

$a+x^2\ne 0$ với mọi $x\in \left[0;1\right]\Rightarrow a>0$ hoặc $a<-1.$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{a+x^2}dx=1\iff \frac{1}{2}\ln \left|a+x^2\right|\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{a+1}{a}\right|=1\iff \left[\begin{array}{l}a=\frac{1}{e^2-1}\\ a=-\frac{1}{e^2+1}\left(loai\right)\end{array}\right.$

Chọn đáp án B.

Ta có

                                       $z\left(2+i\right)\left(1-2i\right)=\left(a+bi\right)\left(4-3i\right)=4a+3b+\left(-3a+4b\right)i.\left(1\right)$

Do $z\left(2+i\right)\left(1-2i\right)$ là một số thực nên từ $\left(1\right)$ suy ra $-3a+4b=0\iff b=\frac{3}{4}a.\left(2\right)$

Mặt khác

                                           $\left|z\right|=5\iff a^2+b^2=25.\left(3\right)$

Thế $\left(2\right)$vào $\left(3\right)$ ta được phương trình

                                                   $a^2+{\left(\frac{3}{4}a\right)}^2=25\iff a^2=16\iff a=\pm 4.$

Với $a=4\Rightarrow b=3$ và $a=-4\Rightarrow b=-3.$

Vậy $P=\left|a\right|+\left|b\right|=3+4=7.$

Chọn đáp án D.

Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $AB.$

Ta có $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SK\perp AB.$

Mà $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)$ theo giao tuyến $AB$

$\Rightarrow SK\perp \left(ABC\right)\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SK.S_{\Delta ABC}$

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,BC=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}.$

$S_{\Delta ABC}$ đều cạnh $AB=a\Rightarrow$ đường cao $SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

Chọn đáp án C.

Gọi $l_1,l_2\mathrm{,...,}{l}_{250}$ là chiều dài phần trải ra vòng thứ nhất, thứ hai,…, thứ 250 của khối trụ.

Vì khi trải ra 250 vòng, bán kính khối trụ giảm đi 2,5 cm nên bề dày tấm đề can là $\frac{\mathrm{2,5}}{250}=\mathrm{0,01}cm.$

Khi đó $l_1,l_2\mathrm{,...,}{l}_{250}$ lần lượt là chu vi các đường tròn có các bán kính $r_1,r_2\mathrm{,...,}{r}_{\mathrm{250,}}$ với $r_1,r_2\mathrm{,...,}{r}_{250}$ lập thành một cấp số cộng có công sai $d=-\mathrm{0,01}$ và số hạng đầu bằng 25.

Nên $r_1+r_2+\mathrm{...}+r_{250}=25.250+\frac{250.249}{2}.\left(-\mathrm{0,01}\right)=\mathrm{5938,75.}$

Vậy chiều dài phần trải ra là $l_1+l_2+\mathrm{...}+l_{250}=2\pi \mathrm{.5938,75}\approx 37314cm\approx 373m.$

Chọn đáp án A.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$ Khi đó

                                                   $AB=2\sqrt{I{B}^2-I{H}^2}=2\sqrt{R^2-d^2\left(I;d\right)}$

$d$ đi qua điểm $M\left(3;2;0\right)$ và $\overrightarrow{u_d}=\left(2;3;6\right).$ Vậy

                                        $d\left(I;d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM};\overrightarrow{u_d}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u_d}\right|}$

Ta có $\overrightarrow{IM}=\left(2;1;0\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{IM};\overrightarrow{u_d}\right]=\left(6;-12;4\right).$ Vậy $\left|\left[\overrightarrow{IM};\overrightarrow{u_d}\right]\right|=14.$

Mà $\left|\overrightarrow{u_d}\right|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\Rightarrow d\left(I,d\right)=2.$

Vậy $AB=2\sqrt{3^2-2^2}=2\sqrt{5}$.

Chọn đáp án A.

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=2xf\text{'}\left(x^2-3\right)$

                        $\left\{\begin{array}{l}{2}^{\sqrt[3]{x^2}}{.4}^{\sqrt[3]{y^2}}{.16}^{\sqrt[3]{z^2}}=128\\ {\left(x{y}^2+z^4\right)}^2-{\left(x{y}^2-z^4\right)}^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}=7\\ x{y}^2{z}^4=1\end{array}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có

$7=\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}$

$=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}$