35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải (Đề 10)

Chọn A

Đạo hàm của hàm số $y=5^x$  là $y^{\text{'}}=5^x\ln 5$ .

Chọn D

Ta có  $2^{x+1}=8$$\iff 2^{x+1}=2^3$$\iff x+1=3$$\iff x=2$   .

Chọn D

${\log }_2\left(2x-2\right)=3$$\iff 2x-2=8\iff x=5$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$ .

Chọn C

Họ nguyên hàm của hàm số  là $f\left(x\right)=3x^2+\sin x$  .

Chọn D

Ta có $\int \frac{1}{5x+4}\text{d}x=\frac{1}{5}\int \frac{1}{5x+4}\text{d}\left(5x+4\right)=\frac{1}{5}\ln \left|5x+4\right|+C$ .

Chọn D

Chọn A

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]dx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-{\left.x^2\right|}_1^2=1$

$\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=4\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=1.$

Chọn B

Số phức liên hợp $\overline{z}$  của số phức $z=2-3\text{i}$ là $\overline{z}=2+3i$ .

Chọn A

Ta có $z=1-\frac{1}{3}i\Rightarrow \overline{z}=1+\frac{1}{3}i$

Chọn D

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$  có phần thực bằng $3$  là đường thẳng $x=3$ .

Chọn A

Thể tích khối lăng trụ đó là $V=a^2\sqrt{3}.a\sqrt{2}=a^3\sqrt{6}$ .

Chọn A

$V_{O.A^{\text{'}}BC}=V_{A\text{'}.OBC}=\frac{1}{6}A{A}^{\text{'}}.OB.OC=\frac{1}{6}.a.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3}{12}$

Chọn D

Thể tích $V$  của khối nón là : $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi 5.3=5\pi$ .

Chọn C

$S_{xq}=2\text{π}rl$$\Rightarrow l=\frac{S_{xq}}{2\text{π}r}$$=\frac{2\text{π}{a}^2}{2\text{π}a}$$=a$.

Chọn D

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left(3;5;-2\right)$  trên mặt phẳng $Oxy$  có tọa độ là $\left(3;5;0\right)$ .

Chọn B

Ta có: $x^2+y^2+z^2-2y+2z-7=0$$\iff x^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$ .

$\Rightarrow \left(S\right)$ có bán kính $R=\sqrt{9}=3$ .

Chọn A

Ta có mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$  đi qua điểm $I\left(4;3;-1\right)$  là trung điểm của đoạn thẳng $AB$  và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(4;4;-6\right)=2\left(2;2;-3\right)$  làm véc-tơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình là $2x+2y-3z=17\iff 2x+2y-3z-17=0$ .

Chọn B                               

Số phần tử của không gian mẫu: $15.18=270$ .

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: $4.7+5.6+6.5=88$ .

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{88}{270}=\frac{44}{135}$ .

Chọn C

Tập xác định: $D=ℝ$ ;$y^{\text{'}}=x^2-6x+5$ ;$y^{\text{'}}=0$$\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=5\end{array}\right.$ .

Bảng biến thiên:

Chọn C

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $\left[-1;2\right]$ .

Ta có $y^{\text{'}}=6x^2+6x-12$ ; $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\notin \left[-1;2\right]\end{array}\right.$ .

$y\left(-1\right)=15$; $y\left(2\right)=6$ ; $y\left(1\right)=-5$ .

Suy ra $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=15\in \left(12;20\right)$ .

Chọn B

ĐK: $2x^2-11x+15>0\iff x<\frac{5}{2}$  hoặc $x>3$ .

$\log \left(2x^2-11x+15\right)\le 1\iff$$2x^2-11x+15\le 10\iff$$2x^2-11x+5\le 0\iff$$\frac{1}{2}\le x\le 5$.

Kết hợp điều kiện ta có: $\frac{1}{2}\le x<\frac{5}{2}$ hoặc $3<x\le 5$. Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên là: $x\in \left\{1;2;4;5\right\}$.

Chọn A

Đặt  $t=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow t^3=1-x\Rightarrow 3t^{2}dt=-dx\iff dx=-3t^{2}dt$

Với  $x=0\Rightarrow t=1;x=1\Rightarrow t=0$

Chọn B

Ta có $z={\left(1+i\right)}^2-\left(3+3i\right)$$=1+2i+i^2-3-3i$$=-3-i$$\Rightarrow$ phần thực $a=-3$ , phần ảo $b=-1$ .

Vậy $a+b=-4$ .

Chọn A

Chọn C

Chọn A

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng $\left(P\right)$  nên bán kính mặt cầu là

$R=d\left(I,\left(P\right)\right)$$=\frac{\left|1+0-2\left(-2\right)+4\right|}{\sqrt{1+4+4}}$$=3$.

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+2\right)}^2=9$ .

Chọn C

Ta có $\overrightarrow{BC}=(-1;1;-1);\overrightarrow{BD}=(0;-1;-2)$ .

Gọi $\Delta$  là đường thẳng đi qua $A$  và vuông góc với mặt phẳng $\left(BCD\right)$ . Khi đó $\Delta$  có vetơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BC}\right]=(3;2;-1)$ .

$\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{array}{l}x=3t\text{'}\\ y=2t\text{'}\\ z=2-t\text{'}\end{array}\right.$. Ta có $M(3;2;1)\in \Delta$ . Nên $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=2+2t\\ z=1-t\end{array}\right.$ .

Chọn C

Ta có $\log \left(x^2-4x+m+20\right)>1\iff x^2-4x+m+20>{10}^1\iff x^2-4x+m+10>0$ .

Để tập nghiệm của phương trình là $\mathrm{ℝ}$ thì ${\Delta }^{\text{'}}=4-m-10<0\iff m>-6$ .

Do  là số nguyên âm nên $m\in \left\{-1;-2;-3;-4;-5\right\}$ .

Chọn C

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sin x+\sin 3x}{2{\sin }^{4}x.\cos x},\forall x\in \left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$  nên $f\left(x\right)$  là một nguyên hàm của $f\text{'}\left(x\right)$

$\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{\sin x+\sin 3x}{2{\sin }^{4}x.\cos x}\text{d}x=\int \frac{2\sin 2x.\cos x}{2{\sin }^{4}x.\cos x}\text{d}x=\int \frac{2\sin x.\cos x}{{\sin }^{4}x}\text{d}x=\int \frac{2\cos x}{{\sin }^{3}x}\text{d}x$$=\int \frac{2}{{\sin }^{3}x}\text{d}\left(\sin x\right)=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}+C$

Do đó $f\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}+C$  mà $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1\Rightarrow C=0$  khi đó $f\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Gọi $z=x+yi$  , với   $x,y\in ℝ;i^2=-1$$\Rightarrow iz=-y+xi$ và $z+iz=(x-y)+(x+y)i$ . Gọi $A,B,C$  lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z$  ; $iz$  và .$z+iz$

Khi đó $A(x;y)$ ,$B\left(-y;x\right)$ , $C\left(x-y;x+y\right)$ .

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}=\sqrt{2x^2+2y^2}$ , $AC=BC=\sqrt{x^2+y^2}=\left|z\right|$  .

Vì $AC=BC$  và $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$ , suy ra $\Delta ABC$  là tam giác vuông cân tại $C$ .

Do đó  $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BC$ $\frac{1}{2}{\left|z\right|}^2=18$$\iff \left|z\right|=6$ . Chọn đáp án D.