30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải - Đề 20
50 câu hỏi
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng 0; +∞?
y=log3ex.
y=logeπx.
y=log2πx.
y=log22πx.
Chọn A
Ta có 3e>1 nên hàm số y=log3ex đồng biến trên 0; +∞.
Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x−(m+1).2x+1+3m−4=0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+x= 3 ?
m=3.
m=4.
m=12.
m=73.
Chọn B
Đặt t=2x, ĐK t > 0.
Phương trình trở thành t2−2(m+1)t+3m−4=0(*), có Δ'=m2−m+5>0, ∀m.
Phương trình (*) có hai nghiệm dương t1+t2>0t1t2>0⇔m+1>03m−4>0⇔m>34.
Khi đó
x1=log2t1, x2=log2t2⇒x1+x2=3⇔log2t1+log2t2=3⇔log2t1t2=3⇔t1t2=23⇔3m−4=8⇔m=4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC^=60°, SB=SD=SA, H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và AB.
a77.
a37.
a32.
a34.
Chọn C
Ta có SB=SD=SA nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bán kính R= AH.
Tam giác ABH cân tại A nên H thuộc AC.
AH=R=BD2sinBAD^=a32sin120°=a32sin120°=a.
Gọi M là hình chiếu vuông góc của H trên AB, vì SH⊥AB, suy ra:
dSH;AB=HM=AH.sinHAB^=a.sin60°=a32.
Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y= −5x+2 theo trục Oy lên trên 2 đơn vị và theo Ox sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y=gx. Có bao nhiêu điểm trên đồ thị y=gx có các tọa độ đều là số nguyên?
4.
2.
1.
0.
Chọn A
Tịnh tiến lên trên 2 đơn vị và sang trái 3 đơn vị ta được hàm số
y=gx=−5x+2+3+2=2x+5x+5.
Để tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên, ta tiếp tục biến đổi
y=gx=2x+5x+5=2−5x+5.
Do đó những điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số y=gx là những điểm có hoành độ
nguyên và thỏa mãn x+ 5 là ước của 5. Vì 5 chia hết cho 1;−1;5;−5 nên ta sẽ có 4 điểm như
thế.
Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có đường kính đáy là 2a và đường cao là a3.
πa23.
2πa23.
2πa2.
4πa23.
Chọn B
Hình trụ có đường kính đáy bằng 2a suy ra bán kính đáy bằng a
Ssq=2πrl=2πa.a3=2πa23.
Cho mặt cầu có diện tích bằng 16π(cm2). Đường kính mặt cầu đó là
23cm.
43cm.
4cm.
2cm.
Chọn C
Diện tích mặt cầu là 4πR2=16π(cm2)⇔R=2cm.
Vậy đường kính của mặt cầu là 4cm.
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1=2, công sai d=3. Tính u3.
10.
18.
8.
5.
Chọn C
Ta có
u3=u1+2d=8.
Có bao nhiêu số nguyên không âm m để hàm số f(x)=x2+5x+m+6x+2 đồng biến trên 1 ; +∞?
10.
9.
1.
5.
Chọn A
Hàm số đã cho xác định trên khoảng đã cho, ta có
f'(x)=x2+4x+4−mx+22.
Để hàm số đồng biến trên 1;+∞ thì x2+4x+4−m≥0 , ∀x≥1⇔m≤minx≥1x2+4x+4.
Xét hàm số gx=x2+4x+4,x≥1.
Đạo hàm g'x=2x+4>0,x≥1⇒minx≥1gx=9.
Vậy suy ra m≤9, theo yêu cầu bài toán thì có 10 giá trị của tham số cần tìm.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, AB=a,SA=2a và SA tạo với mặt đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
a38.
a34.
a3312.
a316.
Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+2 trên −2;−1. Tính m + n.
8.
5.
7.
6.
Tập xác định của hàm số y=3x−x2e là
−∞; 0∪3; +∞.
0; 13.
0; 3.
0; 3.
Chọn C
Hàm số xác định ⇔3x−x2>0⇔0<x<3.
Vậy tập xác định: D=0;3.
Tìm tổng các nghiệm của phương trình log12x+log12x−1=1.
3.
-1.
1.
4.
Chọn D
ĐKXĐ: x > 1 Khi đó phương trình đã cho tương đương
log12xx−1=1⇔xx−1=12 ⇔x2−x−12=0 ⇔x=−3x=4
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm x = 4.
Vậy phương trình có tổng các nghiệm là 4
Với a>0,a≠1, chọn mệnh đề đúng.
ax'=ax.
ax'=axloga.
ax'=axlna.
ax'=ax.lna.
Chọn D
Theo bảng công thức đạo hàm, chọn D
Cho hàm số y=x3−x có đồ thị (C). Gọi M,N là hai điểm phân biệt trên (C) và các tiếp tuyến tại M,N song song với nhau. Tính xM+xN.
1.
2.
0.
-2.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số có dạng y=ax3+bx2+cx+da≠0
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
−3 ;1.
−1 ;1.
1 ;+∞.
-1 ;+∞.
Chọn B
Nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng −1 ;1.
Tìm m để hàm số y=x−mx+1 đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
m∈−1 ;+∞.
m∈−∞ ;−1.
m∈−1 ;+∞.
m∈−∞ ;−1.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔACD và M là điểm trên cạnh AC sao cho AMAC=45.
Tính VABMGVABCD.
13
25
15
415
Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số y=13x3−12x2−4x−10. Tính x12+x22.
8.
9.
7.
6.
Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y=x4+2x2?
Hình 4.
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Chọn D
a > 0 nên loại đáp án A và B.
x=1⇒y=3 đồ thị hàm số đi qua điểm (1;3) nên loại đáp án C, chọn D.
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang. Tính xác suất để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ.
512.
217.
1237.
584.
Chọn D
nΩ=9!
Gọi A là biến cố: “Có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ.
Xếp 6 học sinh nam có 6! cách. Mỗi cách xếp này tạo ra 7 khoảng trống.
Xếp 3 bạn nữ vào 3 khoảng trống liên tiếp có 5 cách, hoán vị 3 bạn nữ có 3!cách.
Xác suất của biến cố PA=nAnΩ=6!5.3!9!=584.
Trong các hàm số sau, hàm số nào có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.
y=1−x−x2.
y=1+x−x2.
y=x+1x.
y=x3−20x+21.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log22x−m+2log2x+3m−1=0 có hai nghiệm x1;x2 sao cho x1;x2=8.
m=6.
m=1.
m=3.
m=43.
Chọn B
log22x−m+2log2x+3m−1=0 (1).
Điều kiện x > 0.
Đặt t=log2x;t∈ℝ.Phương trình (1) trở thành:
t2−m+2t+3m−1=0 (2).
Phương trình (1) có hai nghiệm x1;x2 khi và chỉ (2) khi có 2 nghiệm t1;t2.
Khi đó x1.x2=8⇔2t1.2t2=8⇔t1+t2=3.
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1;t2sao cho t1+t2=3
⇔Δ≥0S=3⇔m+22−43m−1≥0m+2=3⇔m2−8m+8≥0m=1⇔m=1.
Vậy m=1.
Cho các hàm số y=ax;y=logbx ; y=logcx có đồ thị như hình vẽ
Chọn mệnh đề đúng?
b<c<a.
a<c<b.
c<b<a.
c<a<b.
Hàm số y=sinx đồng biến trên khoảng nào?
−π2;0.
π2;π.
π;3π2.
0;π.
Chọn A
Ta có đồ thị hàm y = sin x
Từ đồ thị hàm số y= sin x ta thấy đồ thị hàm số có đường cong đi lên khi x∈−π2;0, nên hàm số đồng biến trên khoảng −π2;0.
Đồ thị hàm số f(x)=xx−2 có tiệm cận đứng là đường thẳng
y=1.
x=2.
x=-2.
y=2.
Chọn B
Ta có limxx→2+=2limx→2+x−2=0x−2>0x>2nên limx→2+xx−2=+∞.
Ta có limxx→2−=2limx→2−x−2=0x−2<0x<2nên limx→2−xx−2=−∞.
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng x =2 .
Cho hình nón đỉnh S đáy là đường tròn tâm O bán kính R= 5, góc ở đỉnh bằng
3134.
15714.
151326.
153434.
Chọn B
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi đó IA=IB=4 và OI⊥AB.
Trong (SOI) kẻ OH⊥SI.
Ta có OI⊥ABSO⊥AB⇒AB⊥SOI⇒AB⊥OH.
Ta có OH⊥SIOH⊥AB⇒OH⊥SAB⇒dOH,SAB=OH.
Trong tam giác vuông SOI với đường cao OH, ta có
1OH2=1SO2+1OI2⇔OH=SO.OISO2+OI2
Áp dụng định lý pytago vào tam giác OAI vuông tại I ta có:
OA2=OI2+IA2⇔OI2=OA2−IA2=52−42=9⇔OI=3.
Hình nón có góc ở đỉnh bằng 60onên OSA^=30o. Trong ΔSOAvuông tại O ta có:
tan30o=OASO⇔SO=OAtan30o=533=53.
Vậy OH=53.3532+32=15714.
Đồ thị hàm số f(x)=x2−3x+1x2−3x có bao nhiêu đường tiệm cận?
1.
3.
4.
2.
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên R và f'(x)=x−19x+202x−213. Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
3.
1.
4.
2.
Chọn D
Ta có f'(x)=0⇔x=19x=−20x=21
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số f(x) có hai điểm cực trị.
Cho đồ thị hàm bậc ba y= f(x) như hình vẽ bên.
Phương trình fx=3−22 có bao nhiêu nghiệm?
2 nghiệm.
3 nghiệm.
0 nghiệm.
1 nghiệm.
Chọn D
Ta có fx=3−22 *.
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng y=3−22.
Dựa vào hình vẽ, hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.
Vậy phương trình fx=3−22 có 1 nghiệm.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−2x+3 tại điểm có hoành độ x= 2 là
y=7x−7.
y=x+5.
y=10x−27.
y=10x−13.
Chọn D
TXĐ: D=ℝ.
Ta có y(2) = 7 và y'=3x2−2. Suy ra y'2=10.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là
y=10x−2+7⇔y=10x−13.
Biết f(x) là tam thức bậc hai có các nghiệm là 2, −1. Tính tổng các nghiệm của fx−2.
3.
-3.
5.
1.
Chọn C
Ta có: fx=ax−2x+1
⇒fx−2=ax−4x−1.
Khi đó fx−2=0 có 2 nghiệm là x=4;x=1.
Vậy tổng các nghiệm của fx−2=4+1=5.
Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác?
1.
2.
4.
3.
Chọn C
Có 4 mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác.
Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 và AD=2. Gọi M và N lần lược là trung điểm của AD và BC. Cho hình chữ nhật và phần trong của nó quay quanh trục MN. Tính thể tích khối trụ tạo thành.
π2.
2π.
π3.
π.
Chọn D
Khối trụ tạo thành có bán kính R=NC=1, chiều cao h=AB=1.
Thể tích khối trụ là V=πR2.h=π.
Cho khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong khối cầu có bán kính bằng R=9. Tính chiều cao h của khối chóp để thể tích khối chóp lớn nhất.
h=12.
h=9.
h=10.
h=14.
Chọn A
Đặt SO=h, AB=y⇒BO=y22⇒SB=h2+y22
Khi đó R=SB22SO⇔9=h2+y222h⇔h2+y22=18h⇔y2=36h−2h2⇒0<h<18
Thể tích khối chóp V=13y2.h=1336h−2h2.h=1336h2−2h3
Xét fh=36h2−2h3⇒f'h=72h−6h2
f'h=0⇔h=0h=12
Bảng xét dấu
Vậy thể tích lớn nhất khi h = 12.
Giải bất phương trình log34x−1<1.
x>14.
x<1.
14<x<2.
14<x<1.
Chọn D
Ta có: log34x−1<1⇔4x−1>04x−1<3⇔x>14x<1⇔14<x<1.
Cho a,b,c là các số dương khác 1. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
alogbc=clogab.
alogbc=clogba.
alogbc=blogac.
alogbc=blogca.
Chọn B
Ta có: logbc=logba.logac⇔logaalogbc=logaclogba⇔alogbc=clogba.
Tìm m để phương trình mcosx+sinx=1−m có nghiệm.
m≥0.
m≤0.
m>0.
m<0.
Chọn A
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔m2+12≥1−m2⇔m2+12≥1−2m+m2⇔m≥0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi m≥0.
Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB= a, AC=a2, AD=a3. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là
d=a63.
d=a32.
d=a305.
d=a6611.
Chọn D
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AM⊥BC với M∈BC.
Trong mặt phẳng (ADM) kẻ AH⊥DM 1 với H∈DM.
Ta có AM⊥BCAD⊥BC⇒BC⊥DAM⇒BC⊥AH 2.
Từ (1) và (2) suy ra AH⊥BCD
Vậy khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là AH.
Trong tam giác ΔABC vuông tại A ta có:
1AM2=1AB2+1AC2⇔1AM2=1a2+12a2⇔1AM2=32a2⇔AM=a63.
Trong tam giác ΔADM vuông tại A ta có:
1AH2=1AD2+9AM2⇔1AH2=13a2+96a2⇔1AH2=116a2⇔AH=a6611.
Tìm tập nghiệm S của phương trình 9x+1=27.
12.
0.
1.
2.
Chọn A
Ta có: 9x+1=27⇔32x+1=33⇔2x+1=3⇔2x+2=3⇔x=12.
Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập. Biết xác xuất trúng của xạ thủ thứ nhất và xạ thủ thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,7 .Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trùng bia là
0,26.
0,97.
0,85.
0,72.
Chọn C
Gọi A là biến cố: “ có ít nhất một xạ thủ bắn trùng bia.”
A¯ là biến cố: “Không có xạ thủ bắn trùng bia.”
⇒PA¯=1−0,9.1−0,7=0,03.
Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trùng bia là
⇒PA=1−PA¯=1−0,03=0,97.
Hàm số y=−x4+2x2+1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
−∞ ; 0.
0 ; +∞.
1 ; +∞.
−∞ ; −1.
Chọn D
Tập xác định D = R.
y'=−4x3+4x
y'=0⇔x=0x=1x=−1.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta chọn đáp án D.
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức x+17 là
7.
21.
42.
35.
Chọn B
Ta có x+17=∑k=07C7kx7−k.
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển trên là C7k, với k thỏa mãn 7−k=5⇔k=2.
Vậy hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển trên là C72=21.
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD=3 và các cạnh còn lại bằng 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
AD và CB vuông góc.
Đoạn nối 2 trung điểm 2 cạnh AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB, CD.
AB và CD vuông góc.
AB và BD vuông góc.
Chọn C
Ta có:
AB→.CD→=AC→+CB→.CD→=AC→.CD→+CB→.CD→=AC.CD.cos1200+CB.CD.cos600=0⇒AB→.CD→=0⇒AB⊥CD.
Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón là:
Sxq=πrl.
Sxq=πrh.
Sxq=2πrl.
Sxq=13πr2h.
Chọn A
Theo công thức tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón ta có: Sxq=πrl.
Đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị của hàm số y=x2−x+2x+2 có phương trình là
y=2x−1.
y=2x+1.
y=x−2.
y=−2x−1.
Cho 2 số thực x,y với x>0,0<y<2. Biết biểu thức S=2yx2x−yx2+2x+2yx2yx có giá trị nhỏ nhất là ab với a,b là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản. Tính P=a+b.
P=11.
P=15.
P=17.
P=13.
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=8cotx+(m−3)2cotx+3m−2 nghịch biến trên π4;π
−9≤m<3.
m>3.
m≥3.
m≤−9.
Chọn D
Đặt: t=cotx (t∈R).
Với x∈π4;π thì t∈0;2.
Ta được:y=t3+(m−3)t+3m−2⇒y'=3t2+m−3.
Để hàm số y=8cotx+(m−3)2cotx+3m−2 nghịch biến trên π4;πthì hàm số y=f(t)=t3+(m−3)t+3m−2 nghịch biến trên
0;2⇔f'(t)=3t2+m−3≤0, ∀x∈0;2⇔m≤−3t2+3=g(t)⇔m≤min0;2g(t).
Ta có: g'(t)=−6t=0⇔t=0.
Bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của g(t)là: −9.
Vậy: m≤−9.
Gọi a là số thực, a > 1 sao cho phương trình ax=logax có nghiệm duy nhất. Chọn mệnh đề đúng.
a∈(1,4;1,5)
a∈(1,2;1,3)
a∈(1,3;1,4)
a∈(1,5;1,6)
Chọn A
Ta có: ax=logax⇔ax+logaax=logax+x.
Xét hàm số:
f(t)=logat+t, t∈(0;+∞)⇒f'(t)=1tlna+1>0, t∈(0;+∞),a>1.
Suy ra hàm số f(t)=logat+t đồng biến trên khoảng 0;+∞.
Do đó: ax+logaax=logax+x⇔f(ax)=f(x)⇒ax=x⇔ax−x=0.
Xét hàm số: g(x)=ax−x
g'(x)=axlna−1=0⇔x=loga(1lna).
Bảng biến thiên
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình ax−x=0có nghiệm duy nhất
⇔g(loga(1lna)=0⇔aloga(1lna)=loga(1lna)⇔a≈1,445(Casio).
Vậy ta có: a∈(1,4;1,5).
Cho hàm số y= f(x) có đồ thị y=f'(x−1)như hình vẽ.
Khi đó hàm số y=efx + 2x đạt cực đại tại điểm x0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
x0∈−1;0.
x0∈−4;-2.
x0∈0;1.
x0∈−2;−1.
Chọn B
y=efx + 2x⇒y'=f'x+2efx + 2x.
Do đó
y'=0⇔f'x+2=0⇔f'x=−2.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
f'x=−2⇔f'x+1−1=−2⇔x+1=0x+1=α<−1⇔x=−1x=α−1<−2.
Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật ABCD.FEGH, mặt trên EFGH không có nắp (xem hình bên).
Có một con kiến ở đỉnh A bên ngoài hộp và một miếng mồi của kiến tại điểm O là tâm đáy ABCD ở bên trong hộp. Tính quãng đường ngắn nhất mà con kiến tìm đến miếng mồi (làm tròn đến một chữ số thập phân).
12.3.
12.4.
12.2
12.8.
Chọn C.
( Hình 1)
( Hình 2)
Đầu tiên kiến bò đến điểm M trên miệng hộp ( M thuộc đoạn EK với K là trung điểm EF )
( cạnh EF và EH là như nhau – với mỗi điểm M thuộc đoạn EK, có điểm M* thuộc đoạn KF sao cho MO = M*O ). Tiếp tục kiến thực hiện quãng đường ngắn nhất ( bên trong hộp ) từ M đến O- lúc này ta trải hai hình chữ nhật EFBA và ABCD lên mặt phẳng.
Gọi EM =x, 0 ≤ x ≤ 2 và S là quãng đường ( ngắn nhất) mà kiến thực hiện.
S = AM +MO
Trên hình 1 thì AM=AE2+EM2, trên hình 2 ( hình khai triển) thì MO = OK2+KM2
Ta có:
S=AE2+EM2+OK2+KM2=52+x2+72+(2−x)2≥(5+7)2+(x+2−x)2=12,17
( chú ý 52+x2+72+(2−x)2≥(5+7)2+(x+2−x)2 là bất đẳng thức |a→|+|b→| ≥ |a→+b→|
Dấu = xảy ra khi 57=x2−x⇒x=56.
