3 bài tập Đường tròn liên quan đến tứ giác nội tiếp đường tròn, chứng minh hệ thức, trung điểm, tỉ lệ cạnh (có lời giải)

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, các đường cao \(AE\), \(BF\) và \(CN\) cắt nhau tại \(H\) (\(E \in BC\), \(F \in AC\), \(N \in AB\)).

a) Chứng minh tứ giác \(CEHF\) nội tiếp.

b) Kéo dài \(FE\) cắt đường tròn đường kính \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(BM = BN\).

c) Biết \(AH = BC\). Tính số đo góc \[A\] của tam giác \[ABC\].

Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\), dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\). Gọi \(M\) là một điểm thuộc cung nhỏ \(BC\) (\(M\) khác \(B\), \(M\) khác \(C\)), hai đường thẳng \(AM\) và \(CD\) cắt nhau tại \(E\)

a) Chứng minh tứ giác \(BMEF\) nội tiếp

b) Chứng minh tia \(MA\) là phân giác của góc \(CMD\)

c) Chứng minh \(A{C^2} = AE.AM\)

d) Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MD\) và \(AB\), \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM\) và \(BC\). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEN\) nằm trên đường thẳng \(CI\)

Cho hai đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] và O';r tiếp xúc ngài tại \[A\] \[\left( {R > r} \right)\]. Gọi \[BC\] là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này (với \[B \in \left( O \right)\]và C∈O'. Tiếp tuyến chung tại\[A\] của hai đường tròn \[\left( O \right)\]và O' cắt đoạn thẳng \[BC\] tại \[M\].

a) Chứng minh \[OM\] vuông góc với O'M.

b) Gọi \[E\] là giao điểm của \[AB\] với \[OM\] và \[F\] là giao điểm của\[AC\]với O'M. Chứng minh tứ giác OEFO' nội tiếp một đường tròn.

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO', \[K\] là trung điểm của \[AM\]. Chứng minh OO'=2IK.