26 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

a. Thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào phương trình, ta có \(2.1 - 1 - 1 = 0\). Vậy \((1\,;1)\) là nghiệm của phương trình.

b. Thay \(x = 0,5\) và \(y = 3\) vào phương trình, ta có \(2.0,5 - 3 - 1 =  - 3 \ne 0\). Vậy \((0,5\,;3)\) không là nghiệm của phương trình.

Với \((2\,;1\,)\), ta có \(2 + 2 \cdot 1 - 4 = 0\) \( \Rightarrow (\,2\,;\,1\,)\)là nghiệm.

Với \((\,3\,; - 1)\), ta có \(3 + 2 \cdot ( - 1) - 4 =  - 3 \ne 0\)\( \Rightarrow (3; - 1)\) không là nghiệm.

Với \((\,0\,;\,5\,)\), ta có \(0 + 2 \cdot 5 - 4 = 6 \ne 0\)\( \Rightarrow (\,0\,;\,5\,)\) không là nghiệm.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}y =  - 2x + 6\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}y =  - 3x + 2\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

e) \(\left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

a) \(3x - y - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow y = 3x - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 3x - 2\end{array} \right.\); b) \(0x + 2y = 3\)\( \Leftrightarrow y = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

a) \((x;\, - 2x),\,x \in \mathbb{Z}\) b) \(( - 3y;\,y),\,y \in \mathbb{Z}\)

c) Từ \(3x - 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{{3x - 1}}{2} = x + \frac{{x - 1}}{2}\)

Vì \(y \in \mathbb{Z}\)nên \(\frac{{x - 1}}{2} = t \in \mathbb{Z} \Rightarrow \,x = 2t + 1\)

Khi đó: \(y = 3t + 1\,\).Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t + 1\\y = 3t + 1\end{array} \right.;\,t \in \mathbb{Z}\)

a) i) \(a = 1\);

ii) Không tồn tại;

iii) \(a =  - 1.\)

b) \(A\left( {1;\,\frac{1}{2}} \right)\).

a) \(A( - 1;\,1);\,B(3;1);\,C(3;\, - 3);\,D( - 1;\, - 3)\)

b) \(BD:y = x - 2\); \(AC:y =  - x\,\)

c) \(S = 2\).

1. Thay \(x = 1,y = 2\) vào phương trình ta có \(m.1 + 2 - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 3\).

2. Thay \(x = 0,y = 3\) vào đường thẳng, ta có \(4.0 + m.3 = 6\)\( \Leftrightarrow m = 2\).

a) Cặp số \(\left( {1;2} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình (1) vì:

\(3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 7 \ne 4\)

Cặp số \(\left( {2; - 1} \right)\) là nghiệm của phương trình (1) vì:

\(3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 4\)

b) Vì cặp số \(\left( {4;{y_0}} \right)\) là nghiệm của phương trình (1) nên:

\(3 \cdot 4 + 2{y_0} = 4\)

\(12 + 2{y_0} = 4\)

\(2{y_0} =  - 8\)

\({y_0} =  - 4\)

Vậy \({y_0} =  - 4\).

c) Cặp số \(\left( {0;2} \right)\) là nghiệm của phương trình (1) vì: \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4\)

Cặp số \(\left( { - 2;5} \right)\) là nghiệm của phương trình (1) vì: \(3 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 5 = 4\)

a) Ta có:

Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là: \(\left( { - 2;\frac{7}{2}} \right),\left( { - 1;3} \right),\left( {0;\frac{5}{2}} \right),\left( {3;1} \right),\left( {1;2} \right)\).

b) Ta có: \(y = \frac{{5 - x}}{2}\). Với mỗi giá trị \(x\) tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị \(y\) tương ứng. Do đó phương trình đã cho vô số nghiệm.

Gọi \(x\) (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất là 8% mỗi năm (\(x > 0\)). Khi đó, tiền lãi thu

được mỗi năm từ khoản đầu tư này là:

\(8\%  \cdot x = \frac{{2x}}{{25}}\) (triệu đồng)

Gọi \(y\) (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất là 10% mỗi năm (\(y > 0\)). Khi đó, tiền lãi

thu được mỗi năm từ khoản đầu tư này là:

\(10\%  \cdot y = \frac{y}{{10}}\) (triệu đồng)

Ta có phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) cho hai khoản đầu tư của cô Hạnh là:

\(\frac{{2x}}{{25}} + \frac{y}{{10}} = 160\) hay \(4x + 5y = 8000\)

Ba nghiệm của phương trình trên là \(\left( {100;1520} \right),\,\left( {5000;1200} \right),\,\left( {1000;800} \right)\)

a) Hai phương trình tương ứng là: \(5x + 3y = 39000\) và \(6x + 2y = 42000\)

b) Vì \(x,y\) đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình nói trên nên ta nói cặp

\(\left( {x;y} \right) = \left( {6000;3000} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 39000\\6x + 2y = 42000\end{array} \right.\)

a) Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

\(3{x_0} + m\left( {{y_0} - 1} \right) - 2 = 0\) với mọi \(m\)

\(\left\{ \begin{array}{l}3{x_0} - 2 = 0\\{y_0} - 1 = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{2}{3}\\{y_0} = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {\frac{2}{3};2} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi \(m\) thay đổi.

b) Giả sử Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua. Khi đó ta có:

\(m{x_0} + \left( {m - 2} \right){y_0} = m\) với mọi \(m\)

\(\left( {{x_0} + {y_0} - 1} \right)m - 2{y_0} = 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} - 1 = 0\\ - 2{y_0} = 0\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {1;0} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua khi \(m\) thay đổi.

* Ta thấy khi \(x = 10\) và \(y = 7\) thì:

\(10x + 3y = 10 \cdot 10 + 3 \cdot 7 = 121 \ne 100\) nên \(\left( {10;7} \right)\) không là nghiệm của phương trình thứ hai.

Vậy \(\left( {10;7} \right)\) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Ta thấy khi \(x = 7\) và \(y = 10\) thì:

\(x + y = 7 + 10 = 17\) nên \(\left( {7;10} \right)\) là nghiệm của phương trình thứ nhất.

\(10x + 3y = 10 \cdot 7 + 3 \cdot 10 = 100\) nên \(\left( {7;10} \right)\) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Vậy \(\left( {7;10} \right)\) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là \(\left( {7;10} \right)\) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. Vậy nen chia 7 quả cam mỗi quả thành 10 phần bằng nhau và chia 10 quả quýt mỗi quả thành 3 phần bằng nhau thì thỏa mãn yêu cầu Câu toán.

Gọi \(x\) là số em nhỏ, \(y\) là số quả hồng.

Vì mỗi người 5 quả thì thừa 5 quả nên ta có: \(5x + 5 = y\) (1)

Vì mỗi người 6 quả thì một người không có nên ta có: \(6\left( {x - 1} \right) = y\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 5 = y\\6\left( {x - 1} \right) = y\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 5\\6x - y = 6\end{array} \right.\)

a) Với \(m = 1\), ta có phương trình \(2x + 3y = 3\)

i) Thay \(x = 3;\,y = 2\) vào phương trình, ta có: \(2 \cdot 3 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 6 \ne 3\)

nên \(\left( {3; - 2} \right)\) không là nghiệm của phương trình

ii) Thay \(x = 0;\,y = 1\) vào phương trình ta có: \(2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3\) nên \(\left( {0;1} \right)\) là nghiệm của phương trình đã cho

iii) Thay \(x =  - 1;y = 0\) vào phương trình ta có: \(2 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 0 =  - 2 \ne 3\) nên \(\left( { - 1;0} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

b) Tìm nghiệm tổng quát

i. Với \(m =  - 1\) ta có phương trình \( - 1 \cdot x + \left( { - 1 + 1} \right)y = 3 \Leftrightarrow x =  - 3\)

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

ii. Với \(m = 2\) ta có phương trình \(2x + 3y = 3 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 2}}{3}x + 1\)

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - \frac{2}{3}x + 1\end{array} \right.\)

Hoặc \(2x + 3y = 3 \Leftrightarrow x =  - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}\)

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2}y + \frac{3}{2}\\y \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

c) Tìm giá trị \(m\) tương ứng khi phương trình nhận các cặp số sau làm nghiệm

i) Thay \(x = 3;y = 1\) vào phương trình ta có \(3m + \left( {m + 1} \right) \cdot 1 = 3 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

ii) Thay \(x = 2;y = 3\) vào phương trình ta có \(2m + \left( {m + 1} \right) \cdot 3 = 3 \Leftrightarrow m = 0\)

a) Cặp số \(\left( {0;2} \right)\) là nghiệm của phương trình (1) vì \(5 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8\)

Cặp số \(\left( {4; - 3} \right)\) là nghiệm của phương trình (1) vì \(5 \cdot 4 + 4 \cdot \left( { - 3} \right) = 8\)

b) Cặp số \(\left( {4; - 3} \right)\) là nghiệm của phương trình (2) vì \(3 \cdot 4 + 5 \cdot \left( { - 3} \right) =  - 3\)

Do đó cặp số \(\left( {4; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2).

c) Để vẽ đường thẳng \(5x + 4y = 8\), ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( { - 4;7} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Để vẽ đường thẳng \(3x + 5y =  - 3\), ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn \(C\left( {4; - 3} \right)\) và \(D\left( { - 1;0} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Thay \(x = y =  - 1\) vào phương trình \(\left( {m - 1} \right)x - \left( {2m - 1} \right)y =  - 1 - m\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) - \left( {2m - 1} \right)\left( { - 1} \right) =  - 1 - m\\ - m + 1 + 2m - 1 =  - 1 - m\\2m =  - 1\\m =  - \frac{1}{2}\end{array}\)

a) Tập nghiệm của phương trình \(3x + 2y = 6\) được biểu diễn bởi hình vẽ bên

b) Diện tích tam giác tạo bởi \(\left( d \right)\) với trục \(Ox\) và \(Oy\) là:

\(S = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\) (đvdt).

Ta có: \(500\)kg = \(500\,000\)g

Lượng đường để doanh nghiệp sản xuất \(x\) cái bánh nướng là \(60x\) (g)

Lượng đường để doanh nghiệp sản xuất \(y\) cái bánh nướng là \(50y\) (g)

Lượng đường để doanh nghiệp sản xuất cả hai bánh là \(500\,\,000\) (g)

Do đó ta có phương trình:

\(60x + 50y = 500\,\,000\) hay \(6x + 5y = 50\,\,000\) (1)

+ Thay \(x = 5\,\,000,y = 4\,\,000\) vào phương trình (1) ta có: \(6 \cdot 5\,\,000 + 5 \cdot 4\,\,000 = 50\,\,000\)

\( \Rightarrow \left( {5000;4000} \right)\) là một nghiệm của phương trình (1).

+ Thay \(x = 4\,\,000,y = 5\,\,200\) vào phương trình (1) ta có: \[6 \cdot 4\,\,000 + 5 \cdot 5\,\,200 = 50\,\,000\]

\( \Rightarrow \left( {4000;5000} \right)\) là một nghiệm của phương trình (1).

+ Thay \(x = 2\,\,500,y = 7\,\,000\) vào phương trình (1) ta có: \(6 \cdot 2\,\,500 + 5 \cdot 7\,\,000 = 50\,\,000\)

\( \Rightarrow \left( {2\,\,500;\,7\,\,000} \right)\) là một nghiệm của phương trình (1).

a) Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số sticker loại I và loại II mà năm bạn đã mua

Do đó ta có phương trình \(x + y = 5\) (1)

Số tiền trả cho sticker loại I là \(2x\) nghìn đồng

Số tiền trả cho sticker loại II là \(3y\) nghìn đồng

Do tổng số tiền mà năm bạn phải trả là 12 nghìn đồng nên ta có phương trình: \(2x + 3y = 12\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x + 3y = 12\end{array} \right.\)

b) Thay giá trị \(x = 3;y = 2\) vào hai phương trình trong hệ, ta có:

+ \(3 + 2 = 5\)

+ \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12\)

Suy ra cặp số \(\left( {3;2} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ

Do đó cặp số \(\left( {3;2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình trên.

a) Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilôgam thịt lợn và cá chép mà bác Ngọc đã mua

Do bán Ngọc mua \(3,5\)kg cả hai loại thịt lợn và cá chép nên ta có:

\(x + y = 3,5\) (1)

Số tiền để mua \(x\)kg thịt lợn là \(130x\) nghìn đồng

Số tiền để mua \(y\)kg thịt lợn là \(50y\) nghìn đồng

Bác Ngọc đã chi \(295\) nghìn đồng để mua hai loại thực phẩm trên nên ta có:

\(130x + 50y = 295\) hay \(26x + 10y = 59\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3,5\\26x + 10y = 59\end{array} \right.\)

b) Thay giá trị \(x = 1,5\); \(y = 2\) vào hai phương tình trong hệ, ta có:

+ \(1,5 + 2 = 3,5\)

+ \(26 \cdot 1,5 + 10 \cdot 2 = 59\)

Suy ra cặp số \(\left( {1,5;2} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ

Do đó cặp số \(\left( {1,5;2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình trên.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số sản phẩm loại A và số sản phẩm loại B được sơn.

Sơn \(x\) sản phẩm loại A cần \(0,6x\)kg sơn màu xanh và \(0,3x\)kg sơn màu vàng

Sơn \(y\) sản phẩm loại B cần \(0,5y\)kg sơn màu xanh và \(0,4y\)kg sơn màu vàng

Cần sử dụng \(85\)kg sơn xanh để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại nên ta có:

\(0,6x + 0,5y = 85\) hay \(6x + 5y = 850\) (1)

Cần sử dụng \(50\)kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại nên ta có:

\(0,3x + 0,4y = 50\) hay \(3x + 4y = 500\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 5y = 850\\3x + 4y = 500\end{array} \right.\)

b) Thay giá trị \(x = 100,y = 50\) vào hai phương trình trong hệ ta có:

+ \(6 \cdot 100 + 5 \cdot 50 = 850\)

+ \(3 \cdot 100 + 4 \cdot 50 = 500\)

Suy ra cặp số \(\left( {100;50} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Do đó cặp số \(\left( {100;50} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình trên.