25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 15)
50 câu hỏi
Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
loga xác địn khi 0<a<1
lna>0⇔a>1
log12a>log12b⇔a>b>0
log15a=log15b⇔a=b>0
Chọn C
Có bao nhiêu cách chọn 5 quyển sách từ 20 quyển sách?
C205
P5
A205
5
Chọn A
Tập xác định của hàm số y=lnx là
0;+∞
1;+∞
0;+∞
R
Tập xác định của hàm số y = lnx khi x > 0
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=0;+∞.
Một cấp số cộng un với u1=−12, d=12 có dạng khai triển nào sau đây?
−12;0;1;12;1;...
−12;0;12;0;−12...
12;1;32;2;52;...
−12;0;12;1;32;...
Chọn D
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A0;−1;−2 và B2;2;2. Độ dài vectơ AB→ bằng
29
29
9
3
Chọn A
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Góc giữa hai đường thẳng A'C'và BD bằng
60°.
30°.
45°.
90°.
Chọn D
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : x2+y2+z2−2x+2y−4z−3=0. Tâm của (S) có tọa độ là
1;−1;2
−1;1;−2
−2;2;−4
2;−2;4
Chọn A
Cho hàm số y=fx=2x4−x2+1 có đồ thị (C). Đồ thị hàm số C' y=f'x với trục hoành có bao nhiêu điểm chung?
4
1
0
3
Đáp án D
Xét phương trình hoành độ giao điểm f'x=0⇔8x3−2x=0⇔x=0x=±12
Đồ thị hàm số (C') y=f'x: với trục hoành có 3 điểm chung.
Nếu log7x=log7ab2−log7a3b thì x nhận giá trị bằng
a2b
ab2
a2b2
a-2b
Đáp án D
log7x=log7ab2−log7a3b=log7ab2a3b=log7ba2=log7a−2b
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn −2;4 và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 2019fx−2020=0 trên đoạn −2;4 là
1
2
2
0
Đáp án C
Ta có 2019fx−2020=0⇔fx=20202019
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y=20202019 cắt đồ thị y=fx tại 3 điểm phân biệt
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a3. Thể tích của khối chóp S.ABC là
2a333
2a33
a33
a333
Đáp án D
Ta có V=13SABC.SA=13a23a=a333
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y=5x−31−x với trục tung là
−3;0
32;0
0;−3
0;32
Chọn C
Nghiệm của phương trình 15−x+2=25 là
x= 0
x = -4
x = 2
x = 4
Chọn D
Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng
-1
1
2
-2
Chọn C
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y=fx+1?
Vẽ đồ thị y=f(x)+1 bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y=f(x) lên trên 1 đơn vị
Chọn A
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=e2x;y=0 ;x=0 ;x=2 bằng
2e4−e
e42−e
e42−1
e4−12
Đáp án D
S=∫02e2xdx=e2x220=e4−12
Họ nguyên hàm của hàm số fx=5x+1 là
5xlnx+x+C
5x+x+C
5xln5+x+C
5x+x+C
Chọn C
Cho các số phức u=2−i, w=5+3i. Tìm môđun của số phức u−w.
u−w=7
u−w=5
u−w=5
u−w=51
Chọn B
Biết hàm số f(x) thoả mãn các điều kiện f'(x)=2x+3 và f(0)=1. Giá trị f(2) là
f2=11
f2=8
f2=10
f2=7
Đáp án A
Ta có fx=∫f'x=x2+3x+C. Mà f(0)=1 nên C=1. Vậy f(2)=11 .
Cho số phức z thỏa mãn z+4z¯=7+iz−7. Khi đó môđun của z là
z=5
z=3
z=5
z=3
Đáp án C
Đặt z=a+bi với a,b∈ℝ. Khi đóz¯=a−bi .
Ta có: z+4z¯=7+iz−7⇔a+bi+4a−bi=7+ia+bi−7
⇔a+bi+4a−4bi=7+ai−b−7i⇔5a+b−a+3bi=7−7i⇔5a+b=7a+3b=7⇔a=1b=2
Do đó z=1+2i. Vậy z=5.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AB= 4a. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Thể tích của khối nón được tạo thành là
64πa33
8πa23
4πa33
4πa23
Đáp án A
Khối nón tạo thành có bán kính AC=a và chiều cao B=4a.
Thể tích khối nón cần tìm làV=13π4a2.4a=64πa33 .
Đạo hàm của hàm số y=1−3x53 là
y'=−51−3x43
y'=531−3x23
y'=531−3x43
y'=−51−3x23
Đáp án D
Ta có y=1−3x53=1−3x53. Ta suy ra y'=531−3x23.1−3x'=−51−3x23.
Phương trình 9x−3.3x+2=0 có hai nghiệm x1,x2 x1<x2 . Giá trị biểu thức A=2x1+3x2 là
4log32
1
3log32
2log23
Đáp án C
Ta có 9x−3.3x+2=0⇔3x=13x=2⇔x=0x=log32.
Do 0<log32⇒x1=0, x2=log32⇒A=2x1+3x2=2.0+3.log32=3log32.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa x0,f'x0=0, f(x) và có đạo hàm cấp hai tại x0. Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu f''x0<0thì f(x)đạt cực đại tại x0
Nếu f''x0>0thì fxđạt cực tiểu tại x0
Nếu f''x0≠0thì fxđạt cực trị tại x0.
Nếu f''x0=0thì fxkhông đạt cực trị tại x0.
Đáp án D
Khẳng định D sai. Ví dụ hàm số ;fx=x4⇒f'x=4x3 .
f'x=0⇔x=0 và x = 0 qua x= 0 thì f'x đổi dấu nên là điểm cực trị của hàm số. Mặt khác f''0=0.
Phương trình logx2−3=0 có bao nhiêu nghiệm dương?
2
1
4
3
Đáp án A
Ta có logx2−3=0⇔x2−3=1⇔x2−3=1x2−3=−1⇔x=±2x=±2
Một vật chuyển động với vận tốc vt=3t2+4m/s, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 10 là?
945m.
994m.
471m.
1001m.
Đáp án D
Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 10 là S=∫3103t2+4dt=t3+4t103=1001 m
Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm sốfx=−x3+22m−1x2−m2−8x+2 đạt cực tiểu tại điểm là
m = -9
m =1
m = -2
m = 3
Đáp án B
Xét hàm số fx=−x3+22m−1x2−m2−8x+2.
Ta có ; f'x=−3x2+42m−1x−m2+8.
Để x=-1 là điểm cực tiểu của hàm số thì f'−1=0
Với m=1 ta có f''−1>0.
Với m=-9 ta có f''−1<0.
Vậy x=-1 là điểm cực tiểu của hàm số fx=−x3+22m−1x2−m2−8x+2 khi và chỉ khi m=1.
Tìm nguyên hàm Fx=∫sin22xdx
Fx=12x−18cos4x+C
Fx=12x−18sin4x+C
Fx=12x−18sin4x+C
Fx=12x+18sin4x+C
Đáp án B
Ta có Fx=∫sin22xdx=∫1−cos4x2dx=12∫1dx−12∫cos4xdx=12x−18sin4x+C
Cho tứ diện ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AB và BC, N là điểm thuộc đoạn CD sao cho . Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng . Tính tỉ số PAPD.
PAPD=12
PAPD=23
PAPD=32
PAPD=2
Đáp án D
Giả sử LN∩BD=1. Nối K với I cắt AD tại P.
Suy ra KLN∩AD=P.
Ta có KL//AC⇒AC//KLNP
Ta cóAC⊂ACDACD∩KLNP=PN⇒PN=AC
Khi đó: PAPD=NCND=2
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2) ;B(2;-2;1) ;C(-2;0;1) và mặt phẳng : 2x+2y+z−3=0. Gọi M(a,b,c) là điểm thuộc (P) sao cho a2+b2+c2.
39
63
62
38
Đáp án C
Ta có MA2=MB2MB2=MC2⇔x2+y−12+z−22=x−22+y+22+z−12x−22+y+22+z−12=x+22+y2+z−12 ⇔4x−6y−2z=4−8x+4y=−4⇔8x−2y=10−8x+4y=−4⇔x=2y=3⇒M2;3;−7.
Vậya2+b2+c2=62 .
Bất phương trình 2log34x−3+log192x+32≤2có nghiệm là
x>34
−38≤x≤3
34<x≤3
−38<x<3
Đáp án C
Điều kiện: x>34.
Ta có 2log34x−3+log192x+32≤2⇔2log34x−3+log3−22x+32≤2
⇔log34x−32−log32x+3≤2⇔log34x−322x+3≤2⇔4x−322x+3≤9
Do 2x+3>0 nên 4x−322x+3≤9⇔16x2−24x+9≤92x+3⇔−38≤x≤3
Kết hợp với điều kiện ta được 34<x≤3.
Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−2z+2=0. Tính M=z1100+z2100.
M=−251
M=251
M=251i
M=250
Đáp án A
Ta có z2−2z+2=0⇔z1=1+iz2=1−i
Suy ra M=z1100+z2100=1+i100+1−i100=1+i250+1−i250=2i50+−2i50=2.250.i225=−251.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
5a3
3a2
6a6
3a6
Đáp án B
Ta có: BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB⇒SAB⊥SBCSAB∩SBC=SB
Trong mặt phẳng (SAB) : KẻAH⊥SB⇒AH=dA,SBC
1AH2=1SA2+1AB2=1a2+13a2=43a2⇒dA,SBC=AH=3a2
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện w=5iz. Số phức w=5iz có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm A, B, C, D ở hình bên?
Điểm D.
Điểm C.
Điểm B.
Điểm A.
Đáp án D
Gọi a,b∈ℝ⇒z¯=a−bi
Ta có z−2+3iz¯=1−9i⇔a+bi−2+3ia−bi=1−9i⇔a+bi−2a+2bi−3ai−3b=1−9i
⇔−a−3b−3ai+3bi=1−9i⇔−a−3b=1−3a+3b=−9⇔a=2b=−1⇒z=2−i
Số phức w=5iz=5i2−i=1−2i.
Trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiệni.z−2i−1=3 là
đường tròn có tâm I−2;1, bán kính R=9 .
đường tròn có tâmI−2;1 , bán kính R=3.
đường tròn có tâm I−2;1, bán kính R=9 .
đường tròn có tâm I−2;1, bán kính R=3.
Đáp án B
Ta có i.z−2i−1=3⇔i.x+yi−2i−1=3⇔xi−y−2i−1=3⇔x−22+y+12=9
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện i.z−2i−1=3 là đường tròn có tâm I2;−1, bán kính R=3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : x2+y−12+z−22=9 và mặt phẳng : (P):2x−y−4=0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm H của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
H1;0;1
H−2;0;−2
H2;0;2
H−1;0;−1
Đáp án C
Tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của tâm I=0;1;2 của mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
Do đó vectơ pháp tuyến n→2;−1;0 của mặt phẳng (P) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng IH.
Suy ra phương trình đường thẳng IH là x=2ty=1−tz=2
Vì H là giao điểm của đường thẳng IH và mặt phẳng (P0 nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình x=2ty=1−tz=22x−y−4=0⇔x=2y=0z=2⇒H=2;0;2
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2my=x2, 2mx=y2, m>0. Giá trị của m để S=3 là
m=32
m=2
m = 3
m=12
Đáp án A
Ta có 2my=x2⇔y=x22m>0y2=2mx⇔y=2mx>0y=−2mx<0
Phương trình hoành độ giao điểm x22m=2mx⇔x=0x=2m
⇒S=∫02mx22m−2mxdx=4m23=3⇔m=32
Một cơ sở sản xuất có 2 bồn chứa nước hình trụ có chiều cao bằng nhau và bằng h(m), bán kính đáy lần lượt là 2 (m) và 2,5 (m). Chủ cơ sở dự tính làm bồn chứa nước mới, hình trụ, có chiều caoh1=1,5hm và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bồn nước đã có sẵn. Bán kính đáy của bồn nước mà cơ sở dự tính làm gần nhất với giá trị nào dưới đây?
2,8m.
2,2m.
2,4m
2,6m.
Đáp án D
Gọi V1,V2 , V lần lượt là thể tích của hai bồn nước có bán kính 2m; 2,5m của bồn chứa mới.
Theo bài ra ta có V=V1+V2⇔1,5h.π.R2=h.π.22+h.π.2,52
⇔R2=416⇒R=416≈2,6m.
Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x−2x+1+m=0 có hai nghiệm thực phân biệt là
m∈−∞;1
m∈0;+∞
m∈0;1m∈0;1
m∈0;1
Cho hình chóp S.ABC cỏ đáy là tam giác đều cạnh a=42 cm, cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC= 2cm. Gọi M, N là trung điểm của AB và BC. Góc giữa hai đường thẳng SN và CM bằng
30°.
60°.
45°.
90°.
Đáp án C
Gọi I là trung điểm của BM, ta có NI//CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và NI.
Xét tam giác SNI có
SN=SC2+CN2=4+8=23; CI=CM2+MI2=24+2=26⇒SI=SC2+CI2=4+26=30;
VậycosSNI^=SN2+NI2−SI22SN.NI=12+6−302.23.6=−1232.4=−22⇒SNI^=135°
Vậy góc giữa SN và CM bằng 45°.
Cho hàm số y=x2+2x+a−4. Giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đạt giá trị nhỏ nhất là
a = 3
a = 2
a = 1
a=0
Đáp án A
Ta có y=x2+2x+a−4=x+12+a−5. Đặtu=x+12 khi đó maxx∈−2;1y=maxu∈0;4fu=maxf0,f4=maxa−5;a−1
+ Trường hợp 1: a−5≥a−1⇔a≤3⇒maxu∈0;4fu=5−a≥2⇔a=3.
+ Trường hợp 2: a−5≤a−1⇔a≥3⇒maxu∈0;4fu=a−1≥2⇔a=3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của maxx∈−2;1y=2⇔a=3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy ABCD trùng với trung điểm AB. Biết AB = a,BC=2a ,BD=a10 . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và đáy là 60°. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây?
0,80a
0,85a.
0,95a.
0.98a.
Đáp án A
Kẻ HK⊥BD⇒BD⊥SHK⇒SKH^=60°
HC=a5; AD=3a; HK=12dA,BD=12.AB.ADBD=3a210
Kẻ HI⊥SK⇒HI⊥SBD⇒dA,SBD=2HI.
Ta có 1AI2=1HK2+1SH2⇒HI=3a3410
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y=fx2−2x là
3
5
2
4
Đáp án B
Ta có y'=f'x2−2x=2x−2f'x2−2x
y'=0⇔2x−2=0f'x2−2x=0⇔2x−2=0x2−2x=0x2−2x=2⇔x=1x=0x=2x=1+3x=1−3
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Hệ số lớn nhất của biểu thức Px=1+x1+2x17 sau khi khai triển và rút gọn là
25346048.
2785130.
5570260.
50692096.
Đáp án D
Khi đó Px=x+11+2x17=1+x∑k=017C17k2kxk=∑k=017C17k2kxk+∑k=017C17k2kxk+1
Suy ra hệ số của xk trong khai triển làC17k2k+C17k−12k−1
Hệ số của xk lớn nhất khi C17k2k+C17k−12k−1≥C17k+12k+1+C17k2kC17k2k+C17k−12k−1≥C17k−12k−1+C17k−22k−2
Biết rằng hàm số fx=ax2+bx+c thỏa mãn ∫01fxdx=−72, và ∫03fxdx=132 (với a, b, c∈ℝ). Giá trị của biểu thức P=a+b+c là
P=−34
P=−43
P=43
P=34
Đáp án B
Ta có∫0dfxdx=a3x3+b2x2+cxd0=a3d3+b2d2+cd
Do đó ∫01fxdx=−72⇔a3+b2+c=−72∫02fxdx=−2⇔83a+2b+2c=−2∫03fxdx=132⇔9a+92b+3c=132⇔a=1b=3c=−163
Vậy .P=a+b+c=−43
Trong không gian Oxyz, cho điểm M2;1;1; mặt phẳngα: x+y+z−4=0: và mặt cầu (s): x2+y2+z2−6x−6y−8z+18=0. Phương trình đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong cắt mặt cầu (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất là
x−21=y−1−2=z−11
x−2−1=y−1−2=z−11
x−21=y−12=z−11
x−21=y−1−2=z−1−1
Đáp án D
Mặt cầu(S) có tâm I(2;3;4) và có bán kính R=4.
IM=3−22+3−12+4−12=14<R⇒ M nằm trong mặt cầu (S).
Để Δ cắt mặt cầu theo một đoạn thẳng có độ dài thì khoảng cách từ I đến Δ lớn nhất. Khi đó IM⊥Δ.
Gọi vectơ chỉ phương của Δ là u→ ta có Δ⊂αΔ⊥MI⇒u→⊥nα→u→⊥MI→⇒u→=nα→,MI→=1;−2;1
Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phươngu→=1;−2;1 là x−21=y−1−2=z−1−1
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3+2iz2=0?
4
3
2
6
Đáp án A
Ta có: z3+2iz2=01⇔z3=−2iz2.
Lấy môđun hai vế ta được z3=−2iz2⇔z3=2z2⇔z=0z=2. Thay vào (1) ta đượcz3=0z3+8i=0
+ Trường hợp 1: z=0, ta có z3=0⇔z=0.
+ Trường hợp 2: z=2, ta có z3+8i=0⇔z−2iz2+2iz−4=0⇔z=2iz=3−iz=−3−i.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a. Bên trong hình nón người ta đặt một khối cầu và một hình trụ sao cho hình trụ có một đáy nằm trên đáy của hình nón và một đáy tiếp xúc với các đường sinh của hình nón; còn hình cầu tiếp xúc với một mặt của hình trụ và các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Bán kính của mặt đáy hình trụ thỏa mãn tổng thể tích của khối cầu và khối trụ đạt giá trị lớn nhất là
R=3a23
R=9a23
R=a3
R=3a323
Đáp án B
Gọi bán kính của mặt đáy hình trụ là x.
Bán kính khối cầu là r=x33⇒Vc=4327πx3
Chiều cao khối trụ là h=32a−3x
⇒VT=πx232a−3x=3πax22−x3⇒V=VC+VT=3πax22−23x327
Xét hàm số y=ax22−23x327 trên 0;a2 ta có Vmax=27π31058a3 khix=9a23
Cho hàm số y=fx có đạo hàm f'x=x−12x2−2x với ∀x∈ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số fx2−8x+mcó 5 điểm cực trị?
15
17
16
18
Đáp án A
Đặt gx=fx2−8x+m
f'x=x−12x2−2x⇒g'x=2x−8x2−8x+m−12x2−8x+mx2−8x+m−2
g'x=0⇔x=4x2−8x+m−1=01x2−8x+m=02x2−8x+m−2=03
Các phương trình (1),(2) ,(3) không có nghiệm chung từng đôi một và x2−8x+m−12≥0∀x∈ℝ.Suy ra g(x) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác 4.⇔Δ2=16−m>0Δ3=16−m+2>016−32+m≠016−32+m−2≠0⇔m<16m<18m≠16m≠18⇔m<16
Vì m nguyên dương và m>16 nên có 15 giá trị m cần tìm.
Giả sử hàm f có đạo hàm cấp hai trên R thỏa mãn f1−x+x2f''x=2x và x∈ℝ với mọi . Giá trị tích phân ∫01xf'xdx bằng
1
2
0
23
Đáp án C
Từ giả thiết f1−x+x2f''x=2x⇒f1=0 (thay x=0 )
⇒∫01x2f''xdx=∫012xdx−∫01f1−xdx
Đặt u=x2dv=f''xdx⇒du=2xdxv=f'x
Khi đó ∫01x2f''xdx=x2f'x10−2∫01xf'xdx=1−2I
Mặt khác ∫012xdx−∫01f1−xdx=x210−∫01fxdx=1−∫01fxdx=1−xfx10+∫01xf'xdx=1+I
Suy ra .1−2I=1+I⇒I=0
