25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 14)
50 câu hỏi
Cho khối cầu có bán kính R=2. Thể tích của khối cầu đã cho là
32π3
256π
64π
16π
Chọn A
Tập xác định D của hàm số y=fx2−3−3 là
D=ℝ\3
D=ℝ\3;−3
D=R
D=−∞;−3∩3;+∞
Chọn B
∫1xdx bằng
lnx+C
lnx+C
−1x2+C
1x2+C
Chọn A
Với a, b là các số thực dương tùy ý,loga5b10 bằng
5loga+10logb
12loga+logb
5logab
10logab
Chọn A
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:2x−3y+4z+2=0. Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của (P)?
n1→=2;3;4
n2→=2;2;1
n3→=2;−3;4
n4→=−2;3;4
Chọn C
Hàm số nào trong các hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình bên?
y=x−12x−1
y=x+12x+1
y=x−12x+1
y=x+12x−1
Chọn D
Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳngx=a,x=b a<b , xung quanh trục Ox là
V=π∫abf2xdx
V=∫abf2xdx
V=π∫abfxdx
V∫abfxdx
Chọn A
Tập nghiệm của bất phương trình log3x−1<1là
−∞;4
1;4
−∞;4
1;4
Chọn B
Cho hàm số y=−1+xx+2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên −∞;−2∪−2;+∞.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số đồng biến trên ℝ\−2.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
Tập xác định D=ℝ\−2.
Ta có y'=3x+22>0,∀x∈D nên hàm số y=−1+xx+2 đồng biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của M-m bằng
![Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/05/blobid1-1652583324.png)
4
0
5
1
Chọn C
Môđun của số phức 3+i bằng
1
4
2
3
Chọn C
Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số đạt cực đại tại 3.
Đồ thị hàm số có cực đại là 3.
Hàm số có cực đại là 3.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (-1;1).
Chọn C
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1;2;3,B−1;0;1. Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là
0;1;1
0;23;43
0;2;4
−2;−2;−2
Chọn B
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x+32+y+12+z−12=2. Tâm của (S) có tọa độ là
3;−1;1
−3;−1;1
−3;1;−1
3;1;−1
Chọn B
Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
15
7
9
12
Chọn C
Cho hàm số y(x) có bảng biến thiên như sau
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng
0
3
2
1
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=f(x). Từ bảng biến thiên ta có:
limx→+∞fx=0⇒y=0 là tiệm cận ngang của (C).
limx→−2+fx=−∞⇒x=−2 là tiệm cận đứng của (C).
limx→0−fx=+∞⇒x=0 là tiệm cận đứng của (C).
Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là
A107
103
A103
C103
Chọn D
Cho dãy số un xác định bởi un=2n−32 . Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề
Dãy số unbị chặn.
Dãy số unbị chặn dưới.
Dãy số unlập thành cấp số cộng.
Dãy số unlà dãy số tăng.
Dãy số un không bị chặn vì nó chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Hàm số y=x2+3x+3x+2 có bao nhiêu điểm cực trị?
Có 1 điểm cực trị.
Có 2 điểm cực trị.
Không có cực trị.
Có 3 điểm cực trị.
Ta có y'=2x+3x+2−x2+3x+3x+22=x2+4x+3x+22
Xét y'=0⇔x=−3x=−1. đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có hai cực trị
Hàm số y=lnx2+mx+1 xác định với mọi giá trị của x khi
m<−2m>2
m> 2
−2<m<2
m < 2
Yêu cầu bài toán tương đương với x2+mx+1>0,∀x∈ℝ⇔m2−4<0⇔−2<m<2.
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
log2x<0⇔x<1,∀x>0
log15a>log15b⇔a>b;∀a,b>0
log12a=log12b⇔a=b;∀a,b>0
lnx>0⇔x>1,∀x>0
Vì 0<15<1 nên log15a>log15b⇔a<b;∀a,b>0.
Cho đa thức bậc bốn y=f(x) đồ thị đạo hàm y=f'(x) như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số y=fxcó ba cực trị.
Hàm số y=fxđạt cực đại tại x= 0.
Hàm số y=fxcó một cực tiểu.
Hàm số y=fxcó một cực đại.
Qua hai điểm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu.
Qua điểm x=0 thì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, suy ra hàm số đạt cực đại tại x =0.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi N là trung điểm của cạnh CC'. Mặt phẳng (NAB0 cắt hình hộp theo thiết diện là hình chữ nhật có chu vi là
22a+a5
2a+25
2(a+a5)
Cả A, B, C đều sai.
Trong (DCC'D') qua N kẻ NN' song song với DC.
Thiết diện là hình chữ nhật ABNN' có: AB=a,BN=a25
Suy ra chu vi ABNN' là 2a+a5.
Cho hàm số fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tính tổngS=a+b+c+d .
S= 0
S = 6
S= -4
S = 2
Ta có f'x=3ax2+2bx+c. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số đi qua các điểm 0;2, 2;−2. Đồng thời đây cũng là hai điểm cực trị của hàm số. Do đó ta có hệ phương trìnhf2=−2f'2=0f0=2f'0=0⇔8a+4b+2c+d=−212a+4b+c=0d=2c=0⇔a=1b=−3c=0d=2.
VậyS=a+b+c+d=1+−3+0+2=0 .
Tìm đạo hàm của hàm số y=log4x2+2.
y'=2xln4x2+2
y'=1x2+2ln4
y'=xx2+2ln2
y'=2xx2+2
y'=1x2+2ln4.x2+2'=2xx2+2ln4=2xx2+22ln2=xx2+2ln2
Tập nghiệm của phương trình 4x2=2x+1 là
S=0;1
S=1−52;1+52
S=−1;12
S=−12;1
4x2=2x+1⇔22x2=2x+1⇔2x2=x+1⇔2x2−x−1=0⇔2x+1x−1=0
⇔2x+1=0x−1=0⇔x=−12x=1
Hàm số F(x) nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số fx=sin2x?
Fx=−cos2x
Fx=sin2x
Fx=−12cos2x
Fx=−cos2x
Vì −cos2x'=2sin2x nên Fx=−cos2x không phải là một nguyên hàm của hàm sốfx=sin2x .
Tính môđun của số phức z thỏa mãnz2+3i+i=z .
110
3
10
3
z2+3i+i=z⇔z2+3i−1=−i⇔z=−i1+3i=−i1−3i1−9i2=−3−i10=−310−i10
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AC=2 BC=1;AA'=1 . Góc giữa AB' và (BCC'B') bằng
45°
90°
30°
60°
Ta có:AB⊥BCAB⊥BB'⇒AB⊥BCC'B'
=>BB' là hình chiếu vuông góc của AB' lên BCC'B'.
Suy ra góc giữa AB' và BCC'B' là góc AB'B^.
Ta có:tanAB'B^=ABBB'=AC2−CB2AA'=3⇒AB'B^=60° .
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2z2−2z+13=0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phứcw=iz0 ?
M54;14
Q52;12
N54;−14
P52;−12
Phương trình 2z2−2z+13=0⇔z=12±52i, suy ra z0=12−52i.
Do đó,w=iz0=i12−52i=52+12i . Vậy điểm biểu diễn số phức w=iz0 là Q52;12
Nếu các số hữu tỉ a, b thỏa mãn ∫01aex+bdx=e+2 thì giá trị của biểu thức bằng
4
5
6
3
Ta có .∫01aex+bdx=aex+bx01=ae+b−a; ∫01aex+bdx=e+2
Suy ra: a=1b−a=2⇔a=1b=3.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;2) và mặt phẳng P:x+y−2z−1=0. Tọa độ hình chiều vuông góc của M lên (P) là
2;−1;0
−1;0;1
1;2;1
0;−3;4
Phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là x=1+ty=−2+tz=2−2t.
Tọa độ hình chiếu của M trên (P) là nghiệm của hệ x=1+ty=−2+tz=2−2tx+y−2z−1=0⇔t=1x=2y=−1z=0.
Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên (P) là2;−1;0 .
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3vàACB^=30°. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích toàn phần của hình nón đó bằng
9π
3π
33π
3π
Quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối nón có:
Đường sinh l=BC=ABsin30°=23.
Bán kính đáy r=AB=3.
Diện tích toàn phần của hình nón:
.Stp=Sxq+Sd=πrl+πr2=πrl+r=π323+3=9π
Giá trị của tổng 1+1i+1i2+...+1i2019 (ở đó i2=−1) bằng
0
1
-1
i
Gọi S là tổng cần tính. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có
S=1−1i20201−1i=i2020−1i2020−i2019=−11010−1i2020−i2019=0.
Tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=x+m2x−1 trên đoạn [2;4] bằng 2 là
m=0
m=−2
m=2
m=−4
Ta có y'=−1−m2x−12=−1−m2x−12<0,∀x≠1. Do đó trên [2;4] hàm số đã cho nghịch biến.
Vậymax2;4y=y2=2+m22−1=2⇔m=0
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 8. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và ABCD là hình bình hành. Biết diện tích của tứ giác AMND bằng 2. Tính khoảng cách h từ đỉnh S tới mặt phẳng(AMND) .
h=32
h=83
h=3
h=92
Ta có:VS.ADNMVS.ABCD=VS.ADN+VS.AMNVS.ABCD=VS.ADNVS.ABCD+VS.AMNVS.ABCD=VS.ADN2VS.ACD+VS.AMN2VS.ABC
=SN2SC+SN.SM2SC.SB=38
⇒VS.AMND=3⇒h=3VS.AMNDSAMND=92
.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−11=y−22=z−3−2. Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với trục Ox. Khi đó, mặt phẳng (P) có phương trình là
2y−2z−5=0
y+z−4=0
y+z−5=0
y+z=0
Đường thẳng d:x−11=y−22=z−3−2 đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là u1→1;2;−2.
Xét trục Ox có véctơ chỉ phương là u2→1;0;0 và đi qua điểm O0;0;0.
Ta có: u1→,u2→=0;−2;−2.
Gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), khi đó n→⊥u1→n→⊥u2→⇒n→ cùng phương với u1→,u2→.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và nhận véctơ n→=0;1;1 làm véctơ pháp tuyến có phương trình là 0.x−1+1.y−2+1.z−3=0⇔y+z−5=0.
Thay tọa độ điểm O vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là y+z−5=0.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a,BDC^=30°. Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là
Sxq=πa2
Sxq=2πa23
Sxq=23a2
Sxq=3πa2
Từ giả thiết, ta có bán kính đáy của hình trụ r=AB=CD=a, đường sinh l=BC.
Xét tam giác BDC vuông tại C và BDC^=30° suy ra
tan30°=BCDC⇒BC=tan30°.CD=13a=a3⇒l=a3
Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là
.Sxq=2πrl=2πaa3=2πa23
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=−13x3−mx2+2m−3x−m+2nghịch biến trên . Số phần tử của S là
5
4
7
8
Ta cóy'=−x2−2mx+2m−3
Hàm số đã cho nghịch biến trên ℝ⇔Δ'=m2+2m−3≤0a=−1<0⇔−3≤m≤1.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;4;1,B−1;1;3và mặt phẳng α:x−3y+2z−5=0. Mặt phẳng β đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng α có dạngax+by+cz−11=0. Giá trị a−b+c bằng
4
-4
1
-6
Ta có AB→=−3;−3;2. Mặt phẳng α có véctơ pháp tuyến n→=1;−3;2.
Khi đóAB→,n→=0;8;12
Do mặt phẳng β đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng α nên β nhận
n'→=14AB→,n→=0;2;3 làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng β:2y−4+3z−1=0⇔2y+3z−11=0.
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−x2+x+1 song song với đường thẳng y=6x+4?
1
2
3
4
Đầu tháng một người gửi ngân hàng 400.000.000 đồng (400 triệu đồng) với lãi suất gửi là 0,6% mỗi tháng theo hình thức lãi suất kép. Cuối mỗi tháng người đó đều đặn gửi vào ngân hàng số tiền là 10.000.000 (10 triệu đồng). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (kể từ lúc người này ra ngân hàng gửi tiền) thì số tiền người đó tích lũy được lớn hơn 700.000.000 (bảy trăm triệu đồng)?
22 tháng
23 tháng
25 tháng
24 tháng
Gọi T0 là số tiền người đó gửi ban đầu.
r% là lãi suất mỗi tháng.
a là số tiền người đó gửi vào thêm mỗi tháng.
Snlà số tiền người đó nhận được sau n tháng.
Đầu tháng 1, số tiền người đó gửi vào là .
Cuối tháng 1, S1=T0+T0.r%+a=T01+r%+a.
Cuối tháng 2, S2=S1+S1.r%+a=S11+r%+a=T01+r%2+a1+r%+a.
Cuối tháng 3, .S3=T01+r%+a1+r%+a1+r%+a
…
Cuối tháng n, Sn=T01+r%+a1+r%n−1+1+r%n−2+...+1+r%1+1
=T01+r%n+a1+r%n−1r%.
Theo yêu cầu bài toán:
T01+r%n+a1+r%n−1r%≥700.000.000
⇔401+0,6%n+1+0,6%n−10,6%≥70
⇔1+0,6%n≥1,14515129⇔n≥log1+0,6%1,14515129≈22,65
Vậy phải sau ít nhất 23 tháng thì người đó mới tích lũy được lớn hơn 700.000.000 (bảy trăm triệu đồng).
Để chuẩn bị cho hội trại 26/3 sắp tới, cần chia một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ, thành ba nhóm, mỗi nhóm 4 người để đi làm ba công việc khác nhau. Xác suất để khi chia ngẫu nhiên, ta được mỗi nhóm có đúng một học sinh nữ bằng
1655
1245
2465
8165
Số phần tử của không gian mẫu: nΩ=C124.C84.C44
Gọi A: “mỗi nhóm có đúng một học sinh nữ”.
+) Số cách xếp 3 học sinh nữ vào 3 nhóm là 3! cách.
+) Chọn 3 học sinh nam cho nhóm thứ nhất cóC63 cách.
+) Chọn 3 học sinh nam cho nhóm thứ hai cóC93 cách.
+) Chọn 3 học sinh nam cho nhóm thứ ba có 1 cách.
Vậy PA=nAnΩ=3!.C93.C63C124.C84.C44=1655.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn fx>0,∀x∈ℝ. Biết f0=1 và f'x=2−3xfx, khi đó giá trị của f(1) bằng
2
e12
e2
12
Ta có f'x=2−3xfx⇔f'xfx=2−3x. Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
.∫f'xfxdx=∫2−3xdx⇔lnfx=2x−32x2+C
Thay x=0 ta có: lnf0=C⇔ln1=C=0⇒lnfx=2x−32x2.
Mà fx>0,∀x∈ℝ⇔lnfx=2x−32x2. Thay ta có .f1=12⇒f1=e12
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA'và BB' . Đường thẳng CM cắt đường thẳng tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A'MPQB'N bằng
1
13
12
23
Ta có A' là trung điểm PC'; B' là trung điểm QC'.
Do đó VC.C'PQ=SC'PQSC'A'B'.VC.A'B'C'=4VC.A'B'C'=413VABC.A'B'C'=43
Mặt khácVA'B'C'.MNC=A'MA'A+B'NB'B+C'CC'C3.VABC.A'B'C'=12+12+13.VABC.A'B'C'=23
Do đó .VA'MB'NQ=VC.C'PQ−VA'B'C'.MNC=43−23=23
Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết z1=w+2i và z2=2w−3 là hai nghiệm phức của phương trình z2+az+b=0. Tìm giá trị T=z1+z2.
T=2973
T=2853
T=213
T=413
Đặt w=m+ni m,n∈ℝ suy raz1=w+2i=m+n+2iz2=2w−3=2m−3+2ni
Ta có: z1+z2=3m−3+3n+2i=−a là số thực⇒3n+2=03m−3≠0⇔n=−23⇒z1=m+43iz2=2m−3+43i .
Lại có z1z2=m+43i2m−3+43i=2m2−3m+163+43m−4=b là số thực
Cho hàm số y=f(x) xác định trên R\{-1;5} và có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −2019;2019 để phương trình ff(x)−m+5=0 có nghiệm?
2021
2022
2030
2010
Đặt fx=t khi đó phương trình trở thành ft=m−5.
Để phương trình ff(x)−m+5=0 có nghiệm thì phương trình ft=m−5có nghiệm
t∈−∞;3∪3;5. Do đó m−5∈−∞;1∪3;5⇔m<13<m≤5.
Mà m∈−2019;2019m∈ℤ nên có 2022 giá trị của m thỏa mãn
Cho hàm số f(x) liên tục trên R có ∫03fxdx=8 và ∫05fxdx=4. Giá trị của ∫−11f4x−1dx bằng
3
6
94
114
Ta có: I=∫−11f4x−1dx=∫−114f−4x+1dx+∫141f4x−1dx.
Xét I1=∫−114f−4x+1dx. Đặt −4x+1=t⇒dt=−4dx. Đổi cận: x=−1⇒t=5x=14⇒t=0
.I1=−14∫50ftdt=14∫05ftdt=14.4=1
Xét .I2=∫141f4x−1dx Đặt .4x−1=t⇒dt=4dx Đổi cận:x=1⇒t=3x=14⇒t=0
.I2=14∫03ftdt=14∫03ftdt=14∫03fxdx=14.8=2
Vậy .I=I1+I2=1+2=3
Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a>1,b>1 và ax−1=by=ab3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+4y thuộc tập hợp nào dưới đây?
11;13
1;2
7;9
5;7
Từ giả thiết ta cóax−1=ab3by=ab3⇒x−1=131+logaby=131+logba⇒x=43+13logaby=13+13logba
Vì a>1,b>1 nên logab>0; logba>0. Khi đó ta có:
P=3x+4y=163+logab+43logba≥163+2logab.43.logba=163+433≈7,64∈7;9
Cho hàm số y=fx=2x3−3x2+m+4. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m đểmin−1;2fx+max−1;2fx=11 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng
11
-7
-11
7
