25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 13)
50 câu hỏi
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(-2;2)
(0;2)
(-1;1)
(1;2)
Chọn D
Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
aman=am−n
amn=amn
amn=am+n
aman=an−m
Chọn A
Phần ảo của số phức z=2−3i là
3
-3
3i
-3i
Chọn B
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số y=fx trên đoạn bằng [1;2]
3
0
2
Không tồn tại max1;2fx
Chọn B
Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a2 và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng
6a3
2a3
3a3
a3
Chọn B
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y=f(x). Khẳng định nào sau đây đúng?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -6.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=-6.
Hàm số đạt cực đại tại x=2.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
Chọn A
Với a là số thực dương tùy ý, log81a3 bằng
34log3a
112log3a
43log3a
127log3a
Chọn B
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng α:x+y+z−6=0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng α?
Q3;3;0
N2;2;2
P1;2;3
M1;−1;1
Chọn D
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x+12+y−22+z−12=9. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
I−1;2;1 và R =3
I1;−2;−1 và R=3
I−1;2;1 và R= 9
I1;−2;−1 và R=9
Chọn A
Cho hàm số y=fx liên tục trên đoạn a;b. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=fx trục hoành, đường thẳng x=a và đường thẳng x=b là
y=fx
S=π∫abf2xdx
S=∫abfxdx
S=π∫abfxdx
Chọn C
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
3
0
−32
−3
Chọn C
Cho hàm số y=ax có đồ thị như hình bên. Giá trị của a bằng
a
log23
3
log32
Chọn C
Cho I=∫0π2cosx.esinxdx. Nếu đặt t=sinx thì
I=−∫01etdt
I=−∫0π2etdx
I=∫01etdt
I=∫0π2etdx
Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Đổi cận: x=π2⇒t=1;x=0⇒t=0. Vậy ∫01etdt.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1;−3, B4;2;1. Véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B?
u1→=−2;−1;4
u2→=2;1;4
u3→=−2;1;−4
u4→=−2;1;4
Chọn B
AB→=2;1;4, nên một véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A và B là u2→=2;1;4.
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=3−5x4x+7 là
y=−54
x=35
y=−34
x=−74
limx→∞3−5x4x+7=limx→∞3x−54+7x=−54⇒y=−54
Xác định diện tích toàn phần hình trụ có chiều cao h=4 và bán kính đáy r =2.
16π
20π
24π
8π
Chọn C
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
C72
27
72
A72
Chọn D
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1=3 và công sai d=2. Tổng của 2019 số hạng đầu bằng
4 080 399
4 800 399
4 399 080
8 154 741
Chọn A
Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như trong hình bên. Số nghiệm phân biệt của phương trìnhfx=2 là
4
3
5
2
Số nghiệm của phương trình fx=2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx và đường thẳng y=2. Đồ thị của hàm số y=fx và đường thẳng như sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị giao nhau tại 5 điểm.
Vậy phương trình fx=2 có 5 nghiệm phân biệt.
Hàm số nào sau đây có tập xác định là R ?
y=lnx
y=1ex
y=x13
y=21x
Đáp án A, tập xác định ℝ\0, loại.
Đáp án B, tập xác định D=R, thỏa mãn.
Đáp án C, tập xác định D=0;+∞, loại.
Đáp án D, tập xác định D=ℝ\0, loại.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
y=1x2+1
y=1x−1
y=x2−3x+2x−1
y=x2−1x−1
Chọn B
Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x2−1+yi=−1+2i. Giá trị của 2x+y là
5
4
2
2
Ta có: x2−1+yi=−1+2i⇔x2−1=−1y=2⇔x=0y=2. Suy ra 2x+y=2.
Biết rằng log34=a và T=log1218. Phát biểu nào sau đây đúng?
T=a+22a+2
T=a+42a+2
T=a+2a+1
T=a−2a+1
Ta có: log34=a=2log32⇒log32=a2⇒log23=a2
T=log1218=log218log212=log22+log29log24+log23=1+2log232+log23=1+2.2a2+2a=a+42a+a .
Biết hàm số y=−x3+3x2+6x đạt cực trị tạix1, x2. Khi đó giá trị của biểu thức x12+x22 bằng
-8
10
8
-10
y=−x3+3x2+6x⇒y'=−3x2+6x+6.
Áp dụng định lí Vi-ét vào phương trình −3x2+6x+6=0, ta có:
x12+x22=x1+x22−2x1x2=22+2.−2=8.
Cho hàm số y=cos4x có một nguyên hàm F(x). Khẳng định nào sau đây đúng?
Fπ8−F0=1
Fπ8−F0=14
Fπ8−F0=−1
Fπ8−F0=−14
Ta có: Fx=∫cos4xdx=14sin4x+C⇒Fπ8−F0=14sin4π8−14sin0=14.
Số nghiệm dương của phương trình lnx2−5=0 là
1
4
0
2
Ta có phương trình:lnx2−5=0⇔x2−5=1⇔x2−5=1x2−5=−1⇔x=±6x=±2 .
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức z1=1+i và z2=3−5i. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó M là điểm biểu diễn cho số phức nào dưới đây?
−i
1−i
2−2i
1+i
z1=1+i⇒A1;1, z2=3−5i⇒B3;−5nên tọa độ trung điểm M của AB là .
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức 2−2i.
Trong không gian, cho tam giác vuông ABC cân tại A, cạnh BC=4a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Diện tích xung quanh của hình tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI bằng
16πa2
12πa2
42πa2
82πa2
Tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC= 4a suy ra AI=BI=CI=2a.
Diện tích xung quanh của hình tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AI là diện tích xung quanh của hình nón có đường cao AI, bán kính đáy R=BI=2.
Đường sinh AB=22a, suy ra Sxq=πRl=42πa2
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bằng
−∫abfxdx−∫bcfxdx
∫abfxdx+∫bcfxdx
−∫abfxdx+∫bcfxdx
∫abfxdx−∫bcfxdx
Ta có fx≥0 trên đoạn [a;b] và fx≤0 trên đoạn [a;b]. Vậy diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình là S=∫acfxdx=∫abfxdx−∫bcfxdx.
Biết đường thẳng y=x−2 cắt đồ thị hàm số y=2x+1x−1 tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượtxA, xB . Khi đó giá trị của xA+ xB bằng
3
5
1
2
Tập xác định của hàm số y=2x+1x−1 là: D=ℝ\1.
Hoành độ hai điểm A, B là nghiệm của phương trình: x−2=2x+1x−1 (1). Điều kiện .
Ta có (1) ⇔x−2x−1=2x+1⇔x2−5x+1=0 (2). Nhận thấy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1. Theo định lí Vi-ét ta có: xA+xB=5.
Số phức z thỏa mãn z=2z¯+1+3i. Phần thực của z bằng
-1
2
-3
1
a+bi=2a−bi+1+3i⇔a−2a−1+b+2b−3i=0⇔−a−1=03b−3=0⇔a=−1b=1
Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S=A.enr, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ gia tăng dân số hằng năm, năm 2017, dân số Việt Nam là 93 671 600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất bản thống kê Tr.79). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết quả làm tròn đến chữ số hàng trăm)?
108311100
109256100
107500500
108374700
Từ năm 2017 đến năm 2035, số năm là n=2035−2017=1.
Dân số Việt Nam năm 2035 là S=93671600.e18.0,0081≈108374700 (người).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;2;−1,B2;−1;3,C−3;5;1. Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là
D−4;8;−5
D−2;2;5
D−4;8;−3
D−2;8;−3
Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔AB→=DC→⇔−3−xD=15−yD=−31−zD=4⇔xD=−4yD=8zD=−3
Cho cấp số nhân un, biết u2017=1, u2020=1000. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng
1010−19.102016
910−18.92016
1−10109.102016
1010−19.102019
Ta có: u2020u2017=u1q2019u1q2016=q3⇔q3=1000⇔q=10;u2017=u1q2016⇔1=u1.102016⇔u1=1102016.
Vậy tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:S10=u11−q101−q=11020161−10101−10=1010−19.102016
Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
5
6
3
4
Hình lăng trụ có 4 mặt đối xứng gồm:
3 mặt là mặt phẳng chứa một cạnh bên và hai trung điểm của 2 cạnh đáy không chung đỉnh với cạnh bên đó.
Mặt phẳng chứa trung điểm của 3 cạnh bên của hình lăng trụ.
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại B,AC=2a , SA vuông góc với đáy, SA=a, I là trung điểm của SB. Thể tích của khối chóp S.ACI bằng
a33
a36
a312
a39
Ta có VS.ACIVS.ABC=SISB=12 . Suy ra VS.ACI=12VS.ABC=12.13.a.12.a2.a2=a36.
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),SA=2a tam giác ABC vuông tại B, AB=a3 và BC=a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng bằng
90°
45°
30°
60°
Ta thấy hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC nên SC,(ABC)^=SCA^.
Mà AC=AB2+BC2=2a nên tanSCA^=SAAC=1.
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng(ABC) bằng 45°.
Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng P:2x−y−z+4=0 và vuông góc với đường thẳng d:x1=y−12=z+2−3. Biết Δ đi qua điểm M(0;1;3), phương trình đường thẳng Δ là
Δ:x1=y−1−1=z−31
Δ:x1=y−11=z−31
Δ:x1=y+1−1=z+31
Δ:x1=y+11=z+31
Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến là nP→=2;−1;−1 và đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud→=1;2;−3.
Vì Δ⊂PΔ⊥dnên đường thẳng d có 1 véctơ chỉ phương là: uΔ→=nP→;ud→=5;5;5=51;1;1.
Mà M0;1;3∈Δ⇒Δ:x1=y−11=z−31.
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số cực trị của hàm số y=f(|x|) là
5
4
3
6
Khi x≥0 thì fx=fx nên bảng biến thiên củay=fx trên 0;+∞ cũng chính là bảng biến thiên củay=f|x| trên 0;+∞. Do đồ thị y=f|x| nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta có bảng biến thiên của y=fx trên R như sau:
Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.
Biết ∫0ln2e2xex+1dx=a+lnbc với a,b,c∈ℕ* và bc là phân số tối giản. Giá trị bằng
2
0
4
6
Đặt t=ex+1⇒dt=exdx. Đổi cận: x=0⇒t=2x=ln2⇒t=3.
Khi đó a có ∫0ln2e2xex+1dx=∫0ln2exex+1.exdx=∫23t−1tdt=∫231−1tdt=t−lnt23=1−ln3+ln2=1+ln23
Xét các số phức z thỏa mãn z+2iz¯+2 là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là
1;−1
−1;−1
−1;1
1;1
Ta có z+2iz¯+2=z.z¯+2z+2iz¯+4i=x+yix−yi+2x+yi+2ix−yi+4i
.=x2+y2+2x+2y+2ix+y+2
Vì z+2iz¯+2 là số thuần ảo nên x2+y2+2x+2y=0⇔x+12+y+12=2.
Tập nghiệm của bất phương trình 9x+1−13.6x+4x+1<0 là
−∞;−2∪0;+∞
0;2
0;-2
−∞;0∪2;+∞
Ta có: 9x+1−13.6x+4x+1<0⇔9.9x−13.6x+4.4x<0
⇔99x4x−136x4x+4<0, (vì 4x>0,∀x∈ℝ) ⇔9322x−1332x+4<0
.⇔49<32x<1⇔−2<x<0
Một vật trang trí bằng pha lê gồm hai hình nónH1, H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1, h1, r2, h2 thỏa mãn r1=12r2, h1=12h2 (như hình vẽ). Biết thể tích toàn phần của toàn bộ khối pha lê là 100cm3. Thể tích của khối H1 bằng
1003cm3
25cm3
1009cm3
50cm3
Thể tích toàn bộ khối pha lê là
V=VH1+VH2=13πr12.h1+13π2r12.2h1=9VH1=100cm3⇒VH1=1009cm3.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y=−12x2+2x, cung tròn có phương trình y=16−x2 với 0≤x≤4, trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình D bằng
8π−163
2π−163
4π+163
4π-163
Diện tích hình phẳng D là
S=∫0416−x2−−12x2+2xdx=∫0416−x2dx−∫04−12x2+2xdx.
Xét I=∫0416−x2dx. Đặtx=4sint⇒dx=4costdt. Đổi cận:x=0⇒t=0x=4⇒t=π2
I=∫0π216−16sin2t.4costdt=16∫0π2cos2tdt=8∫0π21+cos2tdt=8t+12sin2t0π2=8π2=4π.
XétJ=∫04−12x2+2xdx=−x36+x204=163 . Vậy S=4π−163.
Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số fx=x−3x+1 trên đoạn . Giá trị của M+2N bằng
1639
25627
3
5
Hàm số xác định trên [0;4]. Ta có: fx=x−3x+1=x+1x−32.
Xét hàm số gx=x+1x−32 trên đoạn [0;4] ta có:g'x=x−32+x+1.2x−3=x−33x−1
g'x=0⇔x=3∈0;4x=13∈0;4. Ta có:g0=9,g13=25627,g3=0,f4=5 .
Vậy M=max0;4fx=g13=1639N=min0;4fx=g0=0⇒M+2N=1639.
Trong Oxyz, cho mặt phẳng P:x+2y+z−4=0 và đường thẳng d:x+12=y1=z+23. Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
x+15=y+3−1=z−13
x−15=y−12=z−13
x−15=y+1−1=z−12
x−15=y−1−1=z−1−3
Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến nP→=1;2;1. Đường thẳng d có véctơ chỉ phươngud→=2;1;3.
Vì n→.u→=7≠0nên đường thẳng d và mặt phẳng(P) cắt nhau.
Tọa độ giao điểm H của đường và mặt là nghiệm của hệ phương trình
.x+2y+z−4=0x+12=y1=z+23⇔x=1y=1z=1⇒H1;1;1
Vì đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng Δ đi qua điểm H và có véctơ chỉ phươnguΔ→=nP→;ud→=5;−1;−3 .
Vậy phương trình đường thẳng Δ là x−15=y−1−1=z−1−3.
Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng SAB,SAD cùng vuông góc với mặt phẳng , đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B, cóAD=2AB=2BC=2a, SA=AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
a32
a155
a34
a105
Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1+Cn2=78, hệ số của x4 trong khai triển biểu thức x2−x+2n bằng bao nhiêu?
532224
534248
464640
−463616
Ta có Cn1+Cn2=78⇔n!n−1!+n!2!n−2!=78⇔n+nn−12=78⇒n=12.
Xét khai triểnx2−x+212=∑k=012C12kx2−xk.212−k=∑k=012C12k.212−k∑j=0kCkjx2j−xk−j
=∑k=012∑j=0kC12kCkj−1k−j212−kxj+k.
Xét j+k=4 0≤j≤k⇒j=0;k=4j=1;k=3j=2;k=2.
Vậy hệ số x4của D=ℝ\−m là y'=m2−4x+m2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=mx+4x+m nghịch biến trên khoảng 0;+∞?
5
2
3
1
Tập xác định:D=ℝ\−m. Ta có y'=m2−4x+m2 .
Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;+∞⇔y'<0,∀x≠−m−m∉0;+∞
⇔m2−4<0−m≤0⇔−2<m<2m≥0⇔0≤m<2.
Mà m∈ℤ nên .m∈0;1
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn 0;7π2 của phương trình2fcosx+5=0 là
4
6
7
5
Ta có bảng biến thiên của hàm số y=cosx như sau:
Ta có .2fcosx+5=0⇔fcosx=−52⇔cosx=a∈−∞;−1 1cosx=b∈−1;0 2cosx=c∈0;1 3cosx=d∈1;+∞ 4
Do cosx∈−1;1 nên phương trình (1) và (4) vô nghiệm; phương trình (2) có 4 nghiệm thuộc 0;7π2; phương trình (3) có 3 nghiệm thuộc0;7π2.
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm thuộc0;7π2.
