25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải)

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\) và d': \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\);

b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và d': \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}\).

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2{t^\prime }}\\{y = 2 + 5{t^\prime }}\\{z = 3 + {t^\prime }}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{5} = \frac{{z - 9}}{6}\).

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1 - t}\\{z = 2 - 3t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}\);

b) \(d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}\).

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - ta{\rm{ `}}\;}\end{array}} \right.\) \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t^\prime }}\\{y = 7 + 4{t^\prime }}\\{z = 9{t^\prime }}\end{array}} \right.\)

a) Tim vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) lần lượt của d và d'.

b) Tính tích vô hướng \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} \). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng d và d '?

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = 7 + t}\\{z = 9 - 8t}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 9}}{1}\).

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + t}\\{y = t}\\{z =  - 6 + 2t}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \({d^\prime }:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}\).

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t^{\text{'}}\\ y=3+4t^{\text{'}}\\ z=2t^{\text{'}}\end{array}\right.$ và \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 + 2t}\\{z =  - 2 + t}\end{array}} \right.\)

b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}\) và \({d^\prime }:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1;0;1)\) và song song với đường thẳng \({d^\prime }:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 11 - 6t}\\{y =  - 6 - 3t}\\{z = 10 + 3t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\).

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 - 3t,{\Delta _2}}\\{z = 2 - t}\end{array}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + s}\\{y = 1 - 2s}\\{z = 3 + 8s.}\end{array}} \right.} \right.\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Hỏi đường thẳng \(\Delta \) có vuông góc với trục Oz hay không?

Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:

${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=-1+2t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-4}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}.\right.$

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

${\Delta }_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{3}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{3}.$

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:

${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+t\\ z=-1+2t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=-6+s\\ y=5+s\\ z=5+2s.\end{array}\right.\right.$

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+5t_1\\ y=2-t_1\\ z=3+2t_1\end{array},{\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=2+10t_2\\ y=4-2t_2\\ z=1+4t_2\end{array}\right.\right.$;

b) ${\Delta }_1:\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+4}{1},{\Delta }_2:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-3}$;

c) ${\Delta }_1:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{2},{\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=6+3t\\ y=8+2t\\ z=-1-t\end{array}\right.$

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {t_1}}\\{y = 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = {t_2}}\\{z = 0.}\end{array}} \right.\)

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;

c) Ðường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);

d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz .

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=1-t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=s\\ y=1+2s\\ z=3s.\end{array}\right.\right.$

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=2+3t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{2}.\right.$

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng:

${\Delta }_1:\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{2}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-1}{3}=\frac{x+1}{1}=\frac{z}{2}\text{. }$

a) Chứng minh rằng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: 

${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1\\ z=3+2t\end{array}\text{ và }{\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2s\\ y=2+s\\ z=1+3s.\end{array}\right.\right.$

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=3-t\end{array}(t\in ℝ)\right. và d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2+2t^{\text{'}}\\ y=3+4t^{\text{'}}\left(t^{\text{'}}\in ℝ\right);\\ z=5-2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

b) $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1+3t(t\in ℝ)\text{ và }{d}^{\text{'}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+1}{2}\\ z=5+t\end{array}\right.$

c) $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2} và d^{\text{'}}:\frac{x-1}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{-2}$

Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau:

$d:\left\{\begin{array}{l}x=5-t\\ y=-3+2t\\ z=4t\end{array}(t\in ℝ)\right. và d^{\text{'}}:\frac{x-9}{2}=\frac{y-13}{3}=\frac{z-1}{-1}$

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta }_1:\frac{x+7}{5}=\frac{y-1}{-7}=\frac{z+2}{-2} và {\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=-5-3t\\ y=-10-4t\\ z=3+7t\end{array}\right. (t là tham số)$

b) ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\ y=1-t\\ z=3t\end{array}(t\right.là tham số) và {\Delta }_2:\frac{x+2}{4}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-1}{-6}$

c) ${\Delta }_1:\frac{x}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-1}{-3} và {\Delta }_2:\frac{x-1}{-6}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-1}{6}$