22 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương IV (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

a) \(F'(x) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}.\)

b) \(\int\limits_1^3 {f(x)dx = } 10\) \( \Leftrightarrow \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = 10\) \( \Leftrightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = 10\).

c) \(\int\limits_{}^{} {f(x)} dx = F(x) + C\), với C là một hằng số.

d) \(\int\limits_1^3 {(x + f(x))} dx = \int\limits_1^3 x dx + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 + 10 = 4 + 10 = 14\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} =  - x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.\).

Vậy đồ thị của hai hàm số \(f(x)\)và \(g(x)\)cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \(0\)và \( - 1\).

b) Diện tích hình phẳng (H1) là \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {{x^2}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{3}\).

c) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H1) quanh trục Ox bằng

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{x^4}dx}  = \left. {\pi \frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{5}\).

d) Diện tích hình phẳng (H2) là \({S_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + x} \right|dx}  =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}  = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{6}\).

Có \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^3 = F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right)\].

b) \(F\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1\).

Vậy \(F\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} + {2^2} + 1 = \frac{{23}}{3}\).

c) \[\int\limits_0^2 {kf\left( x \right)dx}  = 2\]\[ \Leftrightarrow k\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}  = 2\]\[ \Leftrightarrow \left. {k\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^2 = 2\]\[ \Leftrightarrow \frac{{20k}}{3} = 2\]\[ \Leftrightarrow k = \frac{3}{{10}}\].

d) \[\int\limits_1^3 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2}}}dx} \]\[ = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} \]\[ = \left. {\left( {x + 2\ln x} \right)} \right|_1^3\]\[ = 2 + 2\ln 3\].

Suy ra a = 2; b = 3. Do đó \(3a - 5b =  - 9\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

a) Có \(f'\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}} = g\left( x \right)\).

Do đó f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + 5 - \frac{6}{x}} \right)dx}  = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C\).

c) Có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

d) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln x + {C_1}\;\;khi\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left( { - x} \right) + {C_2}\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.\).

Ta có \(G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Rightarrow {C_1} =  - \frac{3}{2}\).

Có \(G\left( 2 \right) + G\left( { - 1} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow 12 - 6\ln 2 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 6\ln 2 - 1\).

Khi đó \(G\left( { - 6} \right) = \frac{{36}}{2} - 30 - 6\ln 6 + 6\ln 2 - 1 =  - 13 - 6\ln 3\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

 a) \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_2^5 {xdx} \).

b) \[\int\limits_{ - 4}^{ - 2} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 4}^{ - 2} {\left( {{x^2} - x} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 4}^{ - 2} = \frac{{74}}{3}\].

c) \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)

\( = 2\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \)

\( = 2\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_0^3 {xdx} \)

\( = \left. {2\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3\)

\( = \frac{5}{3} + \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{{20}}{3}\).

d) \(\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{14}}{3} + \frac{1}{2} = \frac{{31}}{6}\).

 Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

Vì parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(A(0;3)\), \(B(2;7)\)và \(C(4;3)\)nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = c}\\{4a + 2b + c = 7}\\{16a + 4b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 3}\\{a =  - 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow (P):y =  - {x^2} + 4x + 3\)

Vì đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) đi qua các điểm \(B(2;7)\)và \(C(4;3)\)nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 7\\4a + b = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 11\end{array} \right. \Rightarrow (d):y =  - 2x + 11\)

Vậy \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x + 3,\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi\begin{array}{*{20}{c}}{}&{0 \le x \le 2}\end{array}}\end{array}\\ - 2x + 11,\begin{array}{*{20}{c}}{}&{khi\begin{array}{*{20}{c}}{}&{2 \le x \le 4}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\)

Do đó: $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}+\underset{2}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(-{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+3)\text{d}\mathrm{x}+\underset{2}{\overset{4}{\int }}(-2\mathrm{x}+11)\text{d}\mathrm{x}=\frac{64}{3}\approx 21,3$.

Trả lời: 21,3.

Gọi phương trình parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\). Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I \in Oy\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 = c,\left( {I(0;3) \in \left( P \right)} \right)}\\{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A( - \frac{3}{2};0) \in \left( P \right)} \right)}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B(\frac{3}{2};0) \in \left( P \right)} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 3}\\{a =  - \frac{4}{3}}\\{b = 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y =  - \frac{4}{3}{x^2} + 3\).

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: .

Số tiền phải trả là: \(6.1700000 = 10200000 = 10,2\) triệu đồng.

Trả lời: 10,2.

Sau khi phanh, xe chuyển động chậm dần đều và khi dừng lại thì

\(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow a - 2t = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{2}\).

Vậy sau khi phanh, xe đạp điện đi được quãng đường là:

$s={\int }_0^{\frac{a}{2}}\left(a-2t\right)\text{dt}={\left.(at-t^2)\right|}_0^{\frac{a}{2}}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}$ .

Theo đề ra ta có: \(\frac{{{a^2}}}{4} \le 9 \Rightarrow {a^2} \le 36 \Rightarrow a \le 6\). Vậy giá trị lớn nhất của \(a\)là 6.

Trả lời: 6.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, hình dạng khung trại là parabol có phương trình \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), vì đỉnh trại cao 3m và bề ngang rộng 3m nên parabol đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {\frac{3}{2};0} \right)\).

Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\3 = c\\0 = a.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a =  - \frac{4}{3}\\c = 3\end{array} \right.\]

Suy ra parabol có phương trình \(y = f\left( x \right) =  - \frac{4}{3}{x^2} + 3\).

Mỗi mặt phẳng vuông góc \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x,\,0 \le x \le h\] cắt khối chóp theo mặt cắt là hình chữ nhật có độ dài các cạnh lần lượt là \[5\] và \[\,\left| {f\left( x \right)} \right|\], có diện tích \(S\left( x \right) = 5.\left| {f\left( x \right)} \right|\) , với \( - \frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}\).

Vậy thể tích phần không gian trong trại là  \(V = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {5.\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = 5.\int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left| { - \frac{4}{3}{x^2} + 3} \right|dx = 30\,\,\,{m^3}} \).

Trả lời: 30.

\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{a}{x} + b\ln x + 2x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\]\( = a + 1 + b\ln 2\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 2\\b =  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\end{array} \right.\). Do đó \(T = a + b =  - 2\).

Trả lời: −2.