22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 2: Công thức lượng giác có đáp án
22 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \left( {2018a} \right) = 2018\sin a.\cos a.\)
\(\sin \left( {2018a} \right) = 2018\sin \left( {1009a} \right).\cos \left( {1009a} \right).\)
\(\sin \left( {2018a} \right) = 2\sin a\cos a.\)
\(\sin \left( {2018a} \right) = 2\sin \left( {1009a} \right).\cos \left( {1009a} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha \) ta được
\(\sin \left( {2018a} \right) = 2\sin \left( {1009a} \right).\cos \left( {1009a} \right)\).
Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}.\)
\({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.\)
\(\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}.\)
\(\cos 3x = {\cos ^3}x - {\sin ^3}x.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\).
Công thức nào sau đây đúng?
\[\cos 3a = 3\cos a - 4{\cos ^3}a.\]
\[\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a.\]
\[\cos 3a = 3{\cos ^3}a - 4\cos a.\]
\[\cos 3a = 4\cos a - 3{\cos ^3}a.\]
Đáp án đúng là: B
Cho \(0 < \alpha ,{\rm{ }}\beta < \frac{\pi }{2}\) và thỏa mãn \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\), \(\tan \beta = \frac{3}{4}\). Góc α+β có giá trị bằng
\(\frac{\pi }{3}.\)
\(\frac{\pi }{4}.\)
\(\frac{\pi }{6}.\)
\(\frac{\pi }{2}.\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha .\tan \beta }} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = 1\) suy ra \(a + b = \frac{\pi }{4}.\)
Nếu \(\tan \left( {a + b} \right) = 7,\,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = 4\) thì giá trị đúng của \(\tan 2a\) là
\( - \frac{{11}}{{27}}.\)
\(\frac{{11}}{{27}}.\)
\( - \frac{{13}}{{27}}.\)
\(\frac{{13}}{{27}}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{7 + 4}}{{1 - 7.4}} = - \frac{{11}}{{27}}.\]
Rút gọn biểu thức \(M = \tan x - \tan y\).
\(M = \tan \left( {x - y} \right).\)
\(M = \frac{{\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos x.\cos y}}.\)
\(M = \frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x.\cos y}}.\)
\(M = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x.\tan y}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có\(M = \tan x - \tan y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\sin \,y}}{{\cos \,y}} = \frac{{\sin x\cos \,y - \cos x\sin \,y}}{{\cos x\cos \,y}} = \frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x\cos \,y}}.\)
Giá trị của biểu thức \[P = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{{18}}\cos \frac{\pi }{9} - \sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{{5\pi }}{{18}}}}{{\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{{12}} - \sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{{12}}}}\] là
\(1\).
\[\frac{1}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức \[\left\{ \begin{array}{l}\sin a.\cos b - \cos a.\sin b = \sin \left( {a - b} \right)\\\cos a.\cos b - \sin a.\sin b = \cos \left( {a + b} \right)\end{array} \right..\]
Khi đó \[\sin \frac{{5\pi }}{{18}}\cos \frac{\pi }{9} - \sin \frac{\pi }{9}\cos \frac{{5\pi }}{{18}} = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{18}} - \frac{\pi }{9}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}.\]
Và \[\cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{{12}} - \sin \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{{12}}} \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}.\] Vậy \[P = \frac{1}{2}:\frac{1}{2} = 1.\]
Trong \[\Delta ABC\], nếu \[\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = 2\cos A\] thì \[\Delta ABC\] là tam giác có tính chất nào sau đây?
Cân tại \(B.\)
Cân tại \(A.\)
Cân tại \(C.\)
Vuông tại \(B.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = 2\cos A \Rightarrow \sin B = 2\sin C.\cos A. = \sin \left( {C + A} \right) + \sin \left( {C - A} \right)\]
Mặt khác \(A + B + C = \pi \Rightarrow B = \pi - \left( {A + C} \right) \Rightarrow \sin B = \sin \left( {A + C} \right)\).
Do đó, ta được \(\sin \left( {C - A} \right) = 0 \Rightarrow A = C\).
Cho góc \[\alpha \] thỏa mãn \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] và \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\]. Tính \[P = \sin 2\left( {\alpha + \pi } \right).\]
\(P = - \frac{{24}}{{25}}.\)
\(P = \frac{{24}}{{25}}.\)
\(P = - \frac{{12}}{{25}}.\)
\(P = \frac{{12}}{{25}}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \[P = \sin 2\left( {\alpha + \pi } \right) = \sin \left( {2\alpha + 2\pi } \right) = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \].
Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\], suy ra \[\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \frac{3}{5}\].
Do \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] nên ta chọn \[\cos \alpha = - \frac{3}{5}\].
Thay \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\] và \[\cos \alpha = - \frac{3}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = 2.\frac{4}{5}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}\).
Cho \[x,{\rm{ }}y\] là các góc nhọn và dương thỏa mãn \[\cot x = \frac{3}{4},\,\,\,\cot y = \frac{1}{7}.\] Tổng \[x + y\] bằng
\(\frac{\pi }{4}.\)
\(\frac{{3\pi }}{4}.\)
\(\frac{\pi }{3}.\)
\[\pi .\]
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\cot \left( {x + y} \right) = \frac{{\cot x.\cot y - 1}}{{\cot x + \cot y}} = \frac{{\frac{3}{4}.\frac{1}{7} - 1}}{{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}} = - \,1.\]
Mặt khác \[0 < x,\,\,y < \frac{\pi }{2}\] suy ra \[0 < x + y < \pi .\] Do đó \[x + y = \frac{{3\pi }}{4}.\]
Nếu \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \) là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} + px + q = 0{\rm{ }}\left( {q \ne 1} \right)\] thì \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right)\) bằng
\[\frac{p}{{q - 1}}.\]
\[ - \frac{p}{{q - 1}}.\]
\[\frac{{2p}}{{1 - q}}.\]
\[ - \frac{{2p}}{{1 - q}}.\]
Đáp án đúng là: A
Vì \[\tan \alpha ,\,\,\tan \beta \] là hai nghiệm của phương trình \[{x^2} + px + q = 0\] nên theo định lí Viet, ta có\(\left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha + \tan \beta = - \,p\\\tan \alpha .\tan \beta = q\end{array} \right..\) Khi đó \(\tan \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{p}{{q - 1}}.\)
Nếu \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2}\) và \(\cot \alpha + \cot \gamma = 2\cot \beta \) thì \(\cot \alpha .\cot \gamma \) bằng
\(\sqrt 3 .\)
\( - \,\sqrt 3 .\)
\(3.\)
\( - \,3.\)
Đáp án đúng là: C
Từ giả thiết, ta có \(\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \beta = \frac{\pi }{2} - \left( {\alpha + \gamma } \right).\)
Suy ra \(\cot \alpha + \cot \gamma = 2\cot \beta = 2.\cot \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\alpha + \gamma } \right)} \right] = 2.\tan \left( {\alpha + \gamma } \right) = 2.\frac{{\tan \alpha + \tan \gamma }}{{1 - \tan \alpha .\tan \gamma }}\)
Mặt khác \(\frac{{\tan \alpha + \tan \gamma }}{{1 - \tan \alpha .\tan \gamma }} = \frac{{\frac{1}{{\cot \alpha }} + \frac{1}{{\cot \gamma }}}}{{1 - \frac{1}{{\cot \alpha }}.\frac{1}{{\cot \gamma }}}} = \frac{{\cot \alpha + \cot \gamma }}{{\cot \alpha .\cot \gamma - 1}}\) nên suy ra
\[\cot \alpha + \cot \gamma = 2.\frac{{\cot \alpha + \cot \gamma }}{{\cot \alpha .\cot \gamma - 1}} \Leftrightarrow \cot \alpha .\cot \gamma - 1 = 2 \Leftrightarrow \cot \alpha .\cot \gamma = 3.\]
Biết \(\sin a = \frac{8}{{17}},\tan b = \frac{5}{{12}}\) và \(a\), \(b\) là các góc nhọn.
a) \(\tan a = \frac{8}{{15}}\).
b) \(\sin \left( {a - b} \right) = \frac{{21}}{{221}}\).
c) \(\cos \left( {a + b} \right) = \frac{{14}}{{22}}\).
d) \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{17}}{{14}}.\)
Vì \(a,b\) là các góc nhọn nên \(\cos a > 0,\cos b > 0\).
Ta có \(\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \frac{{15}}{{17}} \Rightarrow \tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{8}{{15}}\);
\(\cos b = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}b}}} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow \sin b = \cos b\tan b = \frac{5}{{13}}{\rm{. }}\)
Khi đó, \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b = \frac{8}{{17}} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \frac{{15}}{{17}} \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{21}}{{221}}\).
\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{{15}}{{17}} \cdot \frac{{12}}{{13}} - \frac{8}{{17}} \cdot \frac{5}{{13}} = \frac{{140}}{{221}}\)
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{\frac{8}{{15}} + \frac{5}{{12}}}}{{1 - \frac{8}{{15}} \cdot \frac{5}{{12}}}} = \frac{{171}}{{140}}.\)
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Biết \(\tan \alpha = 2\).
a) \(\cot \alpha = - \frac{1}{2}\).
b) \(\cos 2\alpha = - \frac{3}{5}\).
c) \(\sin 2\alpha = \frac{4}{5}\).
d) \(\tan 2\alpha = - \frac{4}{3}\).
Ta có \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{2}\); \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = \frac{2}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5}\);
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\tan \alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{{2\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{4}{5};\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = - \frac{4}{3}\).
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
Biết \(\sin 2\alpha = - \frac{4}{5},\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\).
a) \(\cos \alpha < 0\).
b) \(2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{5}\).
c) \(\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
d) \(\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos \alpha < 0\). Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{5}}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{4}{{25 {{\cos }^2}\alpha }} + {{\cos }^2}\alpha = 1}\\{ \sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{25{{\cos }^4}\alpha - 25{{\cos }^2}\alpha + 4 = 0}\\{\sin \alpha = - \frac{2}{{5\cos \alpha }}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos { ^2}\alpha = \frac{4}{5}\\\cos { ^2}\alpha = \frac{1}{5}\end{array} \right.\\\sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}\\\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\\sin \alpha = - \frac{2}{{5 \cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}}\\{\cos \alpha = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 5 }},\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right.\)
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Biết \(\cos 2\alpha = \frac{5}{9},0^\circ < \alpha < 90^\circ \).
a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {28} }}{9}\).
b) \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\).
c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt {371} }}{{53}}\).
d) \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}\).
Ta có \(\cos 2\alpha = \frac{5}{9},0^\circ < \alpha < 90^\circ \)
\({\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^2}}}{2} = \frac{{28}}{{81}} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {28} }}{9}\)
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {28} }}{9}\)
\({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {28} }}{9}} \right)^2} = \frac{{53}}{{81}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {53} }}{{81}}\)
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {53} }}{9}\)
\(\begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt {371} }}{{53}}\\\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{\sqrt {371} }}{{14}}.\end{array}\)
Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
Cho \(\cos x = \frac{1}{5},\frac{\pi }{2} < x < \pi \).
a) \[\sin \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\].
b) \(\cos \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\).
c) \(\tan \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
d) \(\cot \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
\(\begin{array}{l}\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \frac{x}{2} > 0.\\\sin \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 - \frac{1}{5}}}{2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array}\).
\(\begin{array}{l}\frac{\pi }{2} < x < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \frac{x}{2} > 0.\\\cos \frac{x}{2} = \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{2}} = \sqrt {\frac{{1 + \frac{1}{5}}}{2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}.\\\tan \frac{x}{2} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {10} }}{5}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\\\cot \frac{x}{2} = \frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}} = \frac{{\frac{{\sqrt {15} }}{5}}}{{\frac{{\sqrt {10} }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\end{array}\)
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Cho các góc \(\alpha ,\beta \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha ,\beta < \pi ,\sin \alpha = \frac{1}{3},\cos \beta = - \frac{2}{3}\).
Biết \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \frac{{a\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(b > 0\). Tính \(a + b\).
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha ,\beta < \pi \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha < 0}\\{\sin \beta > 0}\end{array}} \right.\).
Ta có \(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3};\sin \beta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{3} \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) \cdot \frac{{\sqrt 5 }}{3} = - \frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\).
Suy ra \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = - \frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9} = - \frac{{2\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}}{9}\).
Vậy\(a + b = 2 + 9 = 11\).
Đáp án: 11.
Cho hai góc nhọn \(a\) và \(b\) với \(\tan a = \frac{1}{7}\) và \(\tan b = \frac{3}{4}\). Biết \(a + b = n^\circ \). Giá trị \(n\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}} = 1\), suy ra \(a + b = 45^\circ \).
Vậy \(n = 45\).
Đáp án: 45.
Biến đổi thành tổng biểu thức \(P = 4\sin 3x\sin 2x\cos x\) ta được
\(P = a\cos 2x + b\cos 4x + c\cos 6x + d\).
Tính \(a + b + c + d\).
Ta có \(4\sin 3x\sin 2x\cos x = 4\left( {\sin 3x\cos x} \right)\sin 2x = 4 \cdot \frac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\sin 2x\)
\( = 2\sin 4x\sin 2x + 2{\sin ^2}2x = \left( {\cos 2x - \cos 6x} \right) + 2\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)\) \( = \cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1\).
Vậy \(a + b + c + d = 0\).
Đáp án: 0.
Từ một vị trí \(A\), người ta buộc hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\) đến một cái trụ cao \(15\;\,{\rm{m}}\), được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí \(D\). Biết \(CD = 9{\rm{\;m}}\) và \(AD = 12\;\,{\rm{m}}\). Số đo góc nhọn \(\alpha = \widehat {BAC}\) tạo bởi hai sợi dây cáp đó bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Ta có \(\tan \alpha = \tan \left( {\widehat {BAD} - \widehat {CAD}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAD} - \tan \widehat {CAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAD}\tan \widehat {CAD}}} = \frac{{\frac{{15}}{{12}} - \frac{9}{{12}}}}{{1 + \frac{{15}}{{12}} \cdot \frac{9}{{12}}}} = \frac{8}{{31}}.\)
Vì vậy \(\alpha \approx 14,5^\circ \).
Đáp án: \(14,5\).
Cho \[\cot \alpha = - 3\sqrt 2 \] với \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]. Khi đó giá trị \[\tan \frac{\alpha }{2} + \cot \frac{\alpha }{2}\] bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + 18 = 19\)\( \to {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{19}}\)\( \to \sin \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt {19} }}\).
Vì \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \]\[ \Rightarrow \sin \alpha > 0\]\[ \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {19} }}\].
Suy ra \[\tan \frac{\alpha }{2} + \cot \frac{\alpha }{2} = \frac{{{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} + {{\cos }^2}\frac{\alpha }{2}}}{{\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{2}{{\sin \alpha }} = 2\sqrt {19} \approx 8,72\].
Đáp án: \[8,72\].
