Xét dãy số \(4;12;36;108;324,...\) là cấp số nhân có \({u_1} = 4\), \(q = 3\).

Số hạng thứ \(10\) của dãy số là \({u_{10}}\)\( = {u_1}.{q^9}\)\( = {4.3^9}\)\( = 78732\).

Có \({u_4} = {u_2}.{q^2}\)\( \Rightarrow q =  \pm 2\). Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên \(q = 2\).

Ta có \({S_{12}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{12}}}}{{1 - q}}\)\( = 3.\frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}}\)\( = 3\left( {{2^{12}} - 1} \right)\).

\[{\rm{S  =  9  +  99  +  999  +  }}...{\rm{  +  999}}...{\rm{9}}\]

= \[{\rm{10  +  1}}{{\rm{0}}^{\rm{2}}}{\rm{  +  }}...{\rm{  +  1}}{{\rm{0}}^{\rm{n}}} - {\rm{n  =  10}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{1}} - {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{n}}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{10}}}} - {\rm{n}}\].

Diện tích bề mặt của mỗi tầng lập thành một cấp số nhân có công bội \[{\rm{q  =  }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ =  }}\frac{{{\rm{12288}}}}{{\rm{2}}}\].

Khi đó diện tích mặt trên cùng là \[{{\rm{u}}_{{\rm{11}}}}{\rm{ =  }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{{\rm{q}}^{{\rm{10}}}}{\rm{ =  }}\frac{{{\rm{6144}}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{10}}}}}}{\rm{  =  6}}\].

Số con vi rút của mỗi ngày theo thứ tự là một cấp số nhân có u1 = 10, công bội q = 2.

Do đó \({S_{10}} = 10.\frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}} = 10230\).

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {S_1} = 5 - 1 = 4\\{u_1} + {u_2} = {S_2} = {5^2} - 1 = 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_2} = 24 - {u_1} = 20\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 5\end{array} \right.\).

b) Theo câu a, u1 = 4.

c) S5 = 55 – 1 = 3124.

d) Ta có u5 = u1.q4 = 4.54 = 2500.

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Sai.

a) \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2\).

b) u5 = u1.q4 = 2.(−2)4 = 32.

c) u6 = u1.q5 = 2.(−2)5 = −64.

d) \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^8}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} =  - 170\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Có \(q = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} =  - 2\).

Do đó (an) là một cấp số nhân với a1 = 2 và q = −2.

b) Ta có a8 = a1.q7 = 2.(−2)7 = −256.

c) Có an = a1.(−2)n – 1 = 2.(−2)n – 1 = −(−2)n   .

Suy ra −(−2)n  = −2048 Þ không có giá trị của n. Do đó −2048 không là số hạng của dãy.

d) Ta có \({S_{10}} = {a_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2.\frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} =  - 682\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

a) b) Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{u_3} = 1\\{u_3}{u_5} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{u_1}{q^2} = 1\\{u_1}{q^2}.{u_1}{q^4} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{q^2} = 1\\u_1^2{q^6} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u_1^2{q^2} = 1\\{q^4} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\).

Vì hai số hạng đầu tiên là các số dương nên u1 > 0 và q > 0 nên \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

c) Ta có \({u_{10}} = 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^8}\).

d) Ta có \({S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 2.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{256}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.

a) Số hạt thóc ở 64 ô là một cấp số nhân có u1 = 1; q = 2.

b) u8 = u1q7 = 27.

c) Tổng số thóc của 64 ô là:\({S_{64}} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{63}} = {2^{64}} - 1\) hạt thóc, do đó tổng khối lượng thóc trên 64 ô trên bàn cờ là \(\left( {{2^{64}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} \approx 3,{69.10^8}\) (g) = 369 tỉ tấn.

d) Ta có khối lượng thóc của 32 ô đầu tiên là \(\left( {{2^{32}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} = 858993459 \approx 859\) tấn.

Mỗi tàu chở tối đa 10 tấn hàng hóa thì cần tối thiểu 86 chuyến tàu có thể chở hết số thóc trên.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

Doanh thu của công ty trong tháng 7: T7 = 6.(1 + 10%);

Doanh thu của công ty trong tháng 8: T8 = 6.(1 + 10%)2;

….

Doanh thu của công ty trong tháng 12: T12 = 6.(1 + 10%)6.

Do đó theo chỉ tiêu đề ta thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là

T = 20 + 6.(1 + 10%) + 6.(1 + 10%)2 + … + 6.(1 + 10%)6 \( = 20 + 6.\left( {1 + 10\% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 10\% } \right)}^6} - 1}}{{10\% }} \approx 70,9\).

Trả lời: 70,9.

Đặt a = 16.

Ta có S1 = a2; \({S_2} = \frac{1}{2}{a^2};{S_3} = \frac{1}{4}{a^2}\);…

Do đó S1; S2; …; S100 là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = S1 = a2 và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Suy ra S =  S1 + S2 + …+ S100 = \({S_1}.\frac{{1 - {q^{100}}}}{{1 - q}} = {a^2}.\frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{99}}}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{91}}}}\).

Suy ra a = 100; b = 91. Do đó a + b = 191.

Trả lời: 191.

Theo đề bài, số dân số của thành phố A trong từng năm lập thành 1 cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 4 và công bội q = 1,03.

Dân số của thành phố A sau 10 năm nữa là u11 = u1.q10 = 4.1,0310 ≈ 5,4 triệu người.

Vậy dân số của thành phố A sau 10 năm nữa là khoảng 5,4 triệu người.

Trả lời: 5,4.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{4}\\\frac{1}{2} = {u_7} = {u_1}{q^6} = \frac{{{u_1}}}{{{4^6}}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = \frac{{{4^6}}}{2} = 2048\).

Trả lời: 2048.

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (un) với công bội q = 2.

Ta có: u6 = 64000 Þ u1q5 = 64000 Þ u1 = 2000.

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un + 1.

un + 1 = 2048000 Þ u1qn = 2048000 Þ 2000.2n = 2048000 Þ n = 10.

Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con.

Trả lời: 10.