10 Bài tập Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số nhân (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
(a + b + c)(a + b – c) = a2 + b2 + c2;
(a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2;
(a + b – c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2;
(a + b + c)(a – b + c) = a2 – b2 + c2.
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên b2 = ac.
Xét \[(a + b + c) \cdot (a - b + c) = [(a + c) + b] \cdot [(a + c) - b]\]
\[ = {(a + c)^2} - {b^2} = {a^2} + 2ac + {c^2} - {b^2}\]
\[ = {{\rm{a}}^2} + 2\;{{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} - {{\rm{b}}^2}\left( {{\rm{ \,vì\, ac}} = {{\rm{b}}^2}} \right)\]
\[ = {{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2}\].
Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – d)2;
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a + d)2;
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – b)2;
(b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a + b)2.
Đáp án đúng là: A
Vì a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
a.d = bc; ac = b2 và bd= c2.
Ta có: \[{\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2}\]
\[ = {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} - 2bc - 2ca - 2bd\]
\[ = {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} - 2ad - 2{b^2} - 2{c^2}\]
\[ = {{\rm{a}}^2} - 2{\rm{ad}} + {{\rm{d}}^2} = {({\rm{a}} - {\rm{d}})^2}\].
Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = 2({a^3} + {b^3} + {c^3})\];
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\];
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3}\];
\[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Do a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
\[{\rm{ac}} = {{\rm{b}}^2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{c^3} = {b^2}{c^2}}\\{{a^3}c = {b^2}{a^2}}\\{{a^2}{c^2} = {b^4}}\end{array}} \right.\]
Ta có: \[{a^2} \cdot {b^2} \cdot {c^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}} \right)\]
\[ = \frac{{{b^2}{c^2}}}{a} + \frac{{{a^2}{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}{b^2}}}{c}\]
\[ = \frac{{a{c^3}}}{a} + \frac{{{b^4}}}{b} + \frac{{{a^3}c}}{c} = {a^3} + {b^3} + {c^3}\].
Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?
\[\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} ;\,\sqrt[3]{{abc}};\]
\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} ;\,\sqrt[3]{{abc}};\]
\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}(ab + bc + ca)} ;\,\sqrt[3]{{3abc}};\]
\[\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {ab + bc + ca} ;\,\sqrt[3]{{abc}}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ac = b2.
Ta chứng minh:
\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right) \cdot \sqrt[3]{{abc}} = {\left[ {\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} } \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\sqrt[3]{{{b^3}}} = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)b = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + {b^2} + cb} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\] (luôn đúng)
Cho (un) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k (m < k). Mệnh đề nào sau đây đúng?
uk – m . uk + m = uk2;
uk – m . uk = (uk + m)2;
uk . uk + m = (uk – m)2;
uk – m . uk + m = (uk + 1)2.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{u_{k - m}} \cdot {u_{k + m}} = {u_1} \cdot {q^{k - m - 1}} \cdot {u_1} \cdot {q^{k + m - 1}}\]
\[ = u_1^2 \cdot {q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1} \cdot {q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\].
Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2;
(a2 – b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2;
(a2 – b2)(b2 – c2) = (ab + bc)2;
(a2 + b2)(b2 + c2) = (ab – bc)2.
Đáp án đúng là: A
Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b = aq và c = aq2.
\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {a^2}{q^2}} \right)\left( {{a^2}{q^2} + {a^2}{q^4}} \right)\]
\[ = {a^2}\left( {1 + {q^2}} \right) \cdot {a^2}{q^2}\left( {1 + {q^2}} \right) = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2}} \right)^2}\](1)
\[{(ab + bc)^2} = {\left( {a \cdot aq + aq \cdot a{q^2}} \right)^2} = {\left( {{a^2}q + {a^2}{q^3}} \right)^2}\]
\[ = {\left[ {{a^2}q\left( {1 + {q^2}} \right)} \right]^2} = {a^4}{q^2}{\left( {1 + {q^2}} \right)^2}\] (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra \[\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {(ab + bc)^2}\].
Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn:\[a + b + c = \frac{{3\pi }}{4}{\rm{.}}\] Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?
tan a; tan b; tan c;
cos a; cos b; cos c;
sin a; sin b; sin c;
Đáp án đúng là: A
Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c = 2b.
Lại có: \[a + b + c = \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow 3b = \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow b = \frac{\pi }{4}\].
Suy ra \[a + c = \frac{\pi }{2}\].
Ta có: \[\tan a \cdot \tan c = \tan a \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right)\]
\[ = \tan a \cdot \cot a = 1 = {\tan ^2}\frac{\pi }{4} = {\tan ^2}b\].
Do đó tan a. tan c = tan2b.
Vậy tan a; tan b; tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.
Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q ≠ 0 và a ≠ 0. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[\frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{b}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\];
\[\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\];
\[\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\];
\[\frac{{{b^4}}}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2}{c^2}}}{{{a^4}{b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\]
Đáp án đúng là: C
Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
\[{{\rm{b}}^2} = {\rm{ac \,và\, }}{{\rm{b}}^4} = {{\rm{a}}^2} \cdot {{\rm{c}}^2}\]
\[ \Rightarrow {b^2} - ac = 0\,\,{\rm{và\, }}{b^4} - {a^2}{c^2} = 0\quad (*)\]
Ta chứng minh: \[\frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{ab}} = \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{ac}}{{ab}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}}\quad (1)\]
Từ (*), lại có: \[\frac{{{b^4}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} - \frac{{{a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = \frac{{{b^4} - {a^2} \cdot {c^2}}}{{{a^2} \cdot {b^2}}} = 0\] ( 2)
Và \[\frac{{{b^2}}}{{ab}} - \frac{{ac}}{{ab}} = \frac{{{b^2} - ac}}{{ab}} = 0\] (3)
Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.
Cho bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chọn đáp án đúng.
ac + 2ad + bd = (b + c)2;
ac + 2ad + bd = (a + c)2;
ac + 2ad + bd = (a – c)2;
ac + 2ad + bd = (b – c)2.
Đáp án đúng là: A
Do bốn số a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:
ac = b2; bd = c2 và ad = bc (1)
\[ \Rightarrow {\rm{ac}} + {\rm{bd}} + {\rm{ad}} = {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} + {\rm{bc}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ac}} + {\rm{bd}} + {\rm{ad}} + {\rm{bc}} = {{\rm{b}}^2} + {{\rm{c}}^2} + {\rm{bc}} + {\rm{bc}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{ac}} + {\rm{bd}} + 2{\rm{ad}} = {\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)^2}\] (vì ad = bc)
Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chọn đáp án đúng.
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{2}{{b + d}};\]
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{{b + d}};\]
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{b + d}};\]
\[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{b + d}}.\]
Đáp án đúng là: B
Gọi 4 số a, b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q.
Ta có: c = a.q2; b = a.q; d = aq3 và d = cq nên \[\frac{c}{d} = \frac{1}{q}\].
Khi đó: \[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{c}{d} \cdot \frac{1}{{a + c}} = \frac{1}{q} \cdot \frac{1}{{a + a \cdot {q^2}}} = \frac{1}{{aq\left( {1 + {q^2}} \right)}} \,\, (1)\]
Và\[\frac{1}{{b + d}} = \frac{1}{{aq + a{q^3}}} = \frac{1}{{aq\left( {1 + {q^2}} \right)}} \,\, (2)\]
Từ (1) và (2) suy ra: \[\frac{c}{{d\left( {a + c} \right)}} = \frac{1}{{b + d}}\].
