22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương III (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho dãy (un) có limun = 3, dãy (vn) có limvn = 5. Tính lim(un.vn).
15.
8.
5.
3.
A
lim(unvn) = 3.5 = 15.
\(P = \frac{{212}}{{99}}\).
\(P = \frac{{213}}{{100}}\).
\(P = \frac{{211}}{{100}}\).
\(P = \frac{{211}}{{99}}\).
D
Ta có \(P = 2,13131313... = 2 + \frac{{13}}{{100}} + \frac{{13}}{{{{100}^2}}} + \frac{{13}}{{{{100}^3}}} + ...\)
Ta có \(\frac{{13}}{{100}} + \frac{{13}}{{{{100}^2}}} + \frac{{13}}{{{{100}^3}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = \frac{{13}}{{100}}\) và \(q = \frac{1}{{100}}\).
Khi đó \(P = 2 + \frac{{\frac{{13}}{{100}}}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{211}}{{99}}\).
a = 6.
a = 3.
a = 30.
a = 11.
C
\(\lim \frac{{a{n^2} - 4n + 7}}{{5{n^2} - n - 2}} = 6\)\( \Leftrightarrow \lim \frac{{a - \frac{4}{n} + \frac{7}{{{n^2}}}}}{{5 - \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}} = 6\)\( \Leftrightarrow \frac{a}{5} = 6 \Leftrightarrow a = 30\).
5.
2.
−6.
3.
C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {3f\left( x \right) - 4g\left( x \right)} \right]\)\( = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3.2 - 4.3 = - 6\).
−∞.
0.
+∞.
1.
B
\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}} = \frac{{3 - 3}}{{3 + 3}} = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}}\).
C
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\) và x – 2 > 0 khi x → 2+.
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - \infty \).
6.
3.
−6.
0.
A
\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\left( {\sqrt {3x + 1} - 1} \right)}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2.3x}}{{x\left( {\sqrt {3x + 1} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{6}{{\sqrt {3x + 1} + 1}} = 3\).
\(J = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x - 2} \right) = - 3\).
Do đó I – J = 6.
+∞.
−∞.
2.
0.
B
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 1} \right) = - \infty \).
22.
66.
14.
70.
D
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {3x + 4} - 4}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {3x - 12} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt {3x + 4} + 4} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{3}{{\sqrt {3x + 4} + 4}} = \frac{3}{8}\].
Suy ra a = 3; b = 8. Do đó 2a + b2 = 6 + 64 = 70.
x = 0.
x = 1.
x = 2.
x = 3.
B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 1.
\(y = \sqrt {x + 2} \).
y = x2.
\(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\).
y = x2 – 3x + 2.
C
Hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\) không xác định tại x = 2. Do đó hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 2}}\) gián đoạn tại x = 2.
m = 4.
m = 7.
m = 8.
m = 2.
B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right) = 5\); f(1) = m – 2.
Hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1 Û \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
Û m – 2 = 5 Û m = 7.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho các hàm số sau \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{x}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\\\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\;\;\;khi\;x > 1\end{array} \right.\); g(x) = x2 – 3x + 1 và \(h\left( x \right) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\).
a) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 1.
b) Hàm số h(x) không liên tục tại điểm x0 = 2.
c) Hàm số y = f(x).g(x) không liên tục tại điểm x0 = 1.
d) Hàm số g(x) liên tục tại điểm x0 = 1.
a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2} = f\left( 1 \right)\) (1).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 1.
b) Hàm số \(h\left( x \right) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\) có tập xác định D = ℝ nên hàm số liên tục trên ℝ. Do đó hàm số liên tục tại điểm x0 = 2.
c) Do hàm số f(x), g(x) đều liên tục tại điểm x0 = 1 nên hàm số y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x0 = 1.
d) Hàm đa thức g(x) = x2 – 3x + 1 có tập xác định D = ℝ nên hàm số liên tục trên ℝ. Do đó hàm số g(x) liên tục tại điểm x0 = 1.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = 0\). Khi đó:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] = - 3\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{2}{5}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right).h\left( x \right)} \right] = 0\).
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] = 5 - 2 = 3\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{2}{5}\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{0}{5} = 0\).
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right).h\left( x \right)} \right] = 5.0 = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hai dãy số (un) và (vn).
a) Nếu \(\lim {u_n} = 2\) thì \(\lim \left( {{u_n} + 3} \right) = 6\).
b) Nếu \(\lim {u_n} = 2\) và \(\lim {v_n} = + \infty \) thì lim(un.vn) = +∞.
c) Nếu un = 2n – 3 với n ∈ ℕ* thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{n + 4}} = \frac{1}{2}\).
d) limun = −∞ với un = n3 – 5n + 6.
a) lim(un + 3) = limun + 3 = 2 + 3 = 5.
b) Nếu \(\lim {u_n} = 2\) và \(\lim {v_n} = + \infty \) thì lim(un.vn) = +∞.
c) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{n + 4}} = \lim \frac{{2n - 3}}{{n + 4}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{4}{n}}} = 2\).
d) lim(n3 – 5n + 6) \( = \lim \left[ {{n^3}\left( {1 - \frac{5}{{{n^2}}} + \frac{6}{{{n^3}}}} \right)} \right] = + \infty \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}}\;\;khi\;x < 2\\m{x^2} - 3\;\;\;\;khi\;x \ge 2\end{array} \right.\)(m là tham số).
a) Khi m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).
b) Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi m = 1.
c) f(2) = 4m – 3.
d)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1\).
a) Khi m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 3} \right) = 4 - 3 = 1\).
b) Có f(2) = 4m – 3.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{x - 2}} = - 1\).
Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
Û 4m – 3 = −1 \( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).
c) f(2) = 4m – 3.
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m{x^2} - 3} \right) = 4m - 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x < - 1\\\sqrt {{x^2} + 1} + m\;\;khi\;x \ge - 1\end{array} \right.\). Khi đó
a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \sqrt 5 + m\).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - 3\).
c) Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \sqrt 2 + m\).
d) Khi \(m = 3 + \sqrt 2 \) thì hàm số đã cho có giới hạn tại x0 = −1.
a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 4\).
b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - 2} \right) = - 3\).
c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + m} \right) = m + \sqrt 2 \).
d) Hàm số đã cho có giới hạn tại x0 = −1 khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow m = - 3 - \sqrt 2 \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R cm như hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính \(\frac{R}{2}\) rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính \(\frac{R}{4}\) rồi chồng lên các hình trước như hình 3c. Cứ tiếp tục mãi. Khi đó tổng diện tích của các hình tròn là \(a\pi {R^2}\), aÎ ℤ. Tìm a.
Diện tích của hình tròn bán kính R là S1 = πR2 (cm2).
Diện tích của hình tròn bán kính \(\frac{R}{2}\) là \({S_2} = \pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}\) (cm2).
Diện tích của hình tròn bán kính \(\frac{R}{4}\) là \({S_3} = \pi .{\left( {\frac{R}{4}} \right)^2}\) (cm2).
Tổng diện tích của các hình tròn là: \({S_n} = {S_1} + 2{S_2} + 4{S_3} + ... = \pi {R^2} + \pi {R^2}\frac{1}{2} + \pi {R^2}\frac{1}{4} + ...\)
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = πR2 và công bội \(q = \frac{1}{2}\)
nên \({S_n} = \frac{{\pi {R^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\pi {R^2}\). Suy ra a = 2.
Trả lời: 2.
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa. (đơn vị mét).
Gọi ri là khoảng cách lần rơi thứ i.
Ta có r1 = 81; \({r_2} = \frac{2}{3}.81\); …; \({r_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.81\); …
Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng \(81.{\frac{{1 - \left( {\frac{2}{3}} \right)}}{{1 - \frac{2}{3}}}^n}\).
Gọi ti là khoảng cách lần nảy thứ i
Ta có \({t_1} = \frac{2}{3}.81\), \({t_1} = \left( {\frac{2}{3}} \right).\frac{2}{3}81\); …; \({t_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}}.\frac{2}{3}81\); …
Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ n bằng \(\frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}\).
Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng \(S = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{2}{3}}} + \frac{2}{3}.81.\frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n - 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}}} \right) = 81.3 + \frac{2}{3}.81.3 = 405\)m.
Trả lời: 405.
Biết rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = a\sqrt 3 + b\). Tính a + b.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2{x^3} + 6\sqrt 3 }}{{3 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^3} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}} \right)}}{{3 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - x} \right)\left( {\sqrt 3 + x} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } \frac{{2\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 3} \right)}}{{\sqrt 3 - x}}\)\( = \frac{{2\left( {3 + 3 + 3} \right)}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{9}{{\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3 \).
Suy ra a = 3; b = 0. Do đó a + b = 3.
Trả lời: 3.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}\;\;khi\; < 3\\1 - x\;\;\;\;khi\;x \ge 3\end{array} \right.\). Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = a;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = b\). Tính a2 + b2.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x - 3} \right) = - 6 = a\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - x} \right) = - 2 = b\).
Do đó \({a^2} + {b^2} = {\left( { - 6} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 40\).
Trả lời: 40.
Tính
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n}}}{{4 + {4^2} + {4^3} + ... + {4^n}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{3\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{1 - 3}}}}{{\frac{{4\left( {1 - {4^n}} \right)}}{{1 - 4}}}}\)\( = \frac{9}{8}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - {3^n}}}{{1 - {4^n}}}\)\( = \frac{9}{8}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n} - 1}} = 0\).
Trả lời: 0.
