21 câu Dạng 1: Quy nạp toán học có đáp án

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$  (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$ chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$ chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_n={5.2}^{3n-2}+3^{3n-1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_1={5.2}^1+3^2=19\Rightarrow u_1⋮19$

Bước 2: Giả sử $u_k={5.2}^{3k-2}+3^{3k+1}$ chia hết cho 19 với $\mathrm{k}\ge 1$

Khi đó ta có $u_{k+1}={5.2}^{3k+1}+3^{3k+2}=8\left({5.2}^{3k-2}+3^{3k-1}\right)+{19.3}^{3k-1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3k-2}+3^{3k-1} \mathrm{và} {19.3}^{3k-1}$ chia hết cho 19 nên ${\mathrm{u}}_{\mathrm{k}+1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:

 $$\begin{gathered} \left(I\right)k\in A; \\ \left(II\right)n\in A\Rightarrow n+1\in A,\forall n\ge k \end{gathered}$$

Lúc đó ta có

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $\mathrm{n}\ge \mathrm{p}$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

Cho $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)} \mathrm{với} \mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho dãy số (u_n ) với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}\end{array}\right..$ Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Cho dãy xác định bởi công thức $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right..$ Số hạng tổng quát của dãy u_n  là

Cho hai dãy số $\left(u_n\right), \left(v_n\right)$ được xác định như sau $u_1=\mathrm{3,}{v}_1=2 \mathrm{và} \left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=u_n^2+2v_n^2\\ v_{n=1}=2u_n.v_n\end{array}\right.$ với $\mathrm{n}\ge 2.$Công thức tổng quát của hai dãy $\left(u_n\right) và \left(v_n\right)$ là

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\cos \alpha \left(0<\alpha <\pi \right)\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\ge 1\end{array}\right.$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là