15 câu Dạng 4: Tính tổng của dãy số

Tính tổng $S=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{2}{97.99}$

Cho tổng$S_n=\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\frac{1}{\mathrm{3.4.5}}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}.$Tính ${\mathrm{S}}_{100}$

Cho $S_n=1.2+3.4+5.6+\mathrm{...}+\left(2n-1\right).2n$ . Tính ${\mathrm{S}}_{100}$  biết rằng $\sum _{i=1}^{n}2i=2+4+6+\mathrm{...2}n=n\left(n+1\right);\sum _{i=1}^n{i}^2=1+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Cho tổng $S_n=1.4+2.7+3.10+\mathrm{...}+n\left(3n+1\right)$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ . Biết ${\mathrm{S}}_{\mathrm{k}}=294$ và $\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2};\sum _{i=1}^n{i}^2=1+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Tính giá trị của k.

Cho $S_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{8}\right)+\mathrm{...}+\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$. Tính S₁₀.

Cho tổng S(n)=2+4+6+...+2n. Khi đó S₃₀­ bằng

Cho tổng $S\left(n\right)=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$ . Khi đó công thức tính tổng S(n) là

Cho tổng $S_n=\frac{3}{{\left(1.2\right)}^2}+\frac{5}{{\left(2.3\right)}^2}+\frac{7}{{\left(3.4\right)}^2}+\mathrm{...}+\frac{2n+1}{{\left[n\left(n+1\right)\right]}^2}.$ Giá trị S₁₀­ là

Tổng $S=\sin x+\sin 2x+\mathrm{...}+\sin nx$ (với $x\ne k\pi )$  có công thức thu gọn là

Tổng $S_n=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{4.7}+\frac{1}{7.10}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)},n\in {\mathbb{N}}^{*}$  có công thức thu gọn là

Tổng $S_n=1.3+2.5+3.7+\mathrm{...}+n\left(2n+1\right)$ có công thức thu gọn là

Tổng $S={4.5}^{100}.\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{5^{100}}\right)+1$ có kết quả bằng

Tổng $S=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+\mathrm{...}+\frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng

Cho $S_n=1+2.3+{3.3}^2+\mathrm{...}+n{.3}^{n-1}$. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?