20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải ( đề 8)
50 câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z có phần thực bằng ‒2.
Đường thẳng x+2=0
Đường thẳng y+2=0
Đường thẳng x-2=0
Đường thẳng y-2=0
Đáp án A.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z có phần thực bằng ‒2 là đường thẳng x+2=0.
Trong không gian Oxyz tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng cho bởi các phương trình z-2=0 và z-8=0.
d = 3
d = 6
d = 5
d = 10
Đáp án B.
Khoảng cách d giữa hai mặt phẳng cho bởi các phương trình z-2=0 và z-8=0 là d=8-2=6.
Đẳng thức nào dưới đây không đúng với mọi x∈ℝ?
x66=x
x44=x
x33=x
x77=x
Đáp án A.
Ta chọn A do với x=-1 thì x66=(-1)66=1≢-1
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác suất sao cho phương trình x2-bx+b-1=0 (x là ẩn số) có nghiệm lớn hơn 3.
13
56
23
12
Đáp án A.
Ta thấy phương trình x2-bx+b-1=0 có a+b+c=0 nên có nghiệm x1=1,x2=b-1.
Vậy để phương trình có nghiệm lớn hơn 3 thì b-1>3⇔b>4⇒b∈5;6.
Do đó xác suất để phương trình có nghiệm lớn hơn 3 là 26=13. Ta chọn A.
Trong các dãy số có số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là dãy giảm?
un=n-1n+1
vn=2n+15n+2
wn=3n-1n+2
tn=3n+15n+3
Đáp án B.
Cách 1:
Với A: Ta có un+1-un=n+1-1n+1+1-n-1n+1=nn+2-n-1n+1=2n+2n+1>0.
Do vậy dãy số ở phương án A là dãy số tăng, ta loại A.
Với B: Ta có vn+1-vn=2n+1+15n+1+2-2n+15n+2=-15n+75n+2>0.
Suy ra dãy số ở phương án B là dãy giảm, do vậy ta chọn B.
Cách 2:
Với A: Xét hàm số y=x-1x+1 có y'=2x+12 nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Suy ra un là dãy số tăng.
Với B: Xét hàm số y=2x+15x+2 có y'=-15x+22<0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Suy ra vn là dãy số giảm. Do vậy ta chọn B.
Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại?
lim1+n3cos3nn4+1
lim3n -sin 5n3n
limn3+sin2nn3+5
lim5n+cos 2n5n+1
Đáp án D
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hai đường thẳng sau đây cắt nhau.
d:x=1+a2ty=tz=-1+2t⇔t∈ℝ và d':x=3-t'y=2+t'z=3-tt'∈ℝ
a∈ℝ
a=-1
a=1
a=±1
Đáp án D
Có bao nhiêu cách chọn ra 4 bóng đèn từ 6 bóng đèn khác nhau rồi mắc nối tiếp chúng?
24
15
30
360
Đáp án D
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số y=x4-3x2+2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
d song song với đường thẳng x=3
d song song với đường thẳng y=3
d có hệ số góc âm
d có hệ số góc dương
Đáp án B
Trong không gian Oxyz cho điểm M1;2;3. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.
P:6x+3y+2z+18=0
P:6x+3y+2z+6=0
P:6x+3y+2z-18=0
P:6x+3y+2z-6=0
Đáp án C.
Đặt Aa;0;0,B0;b;0,C0;0;c.
Mà M là trọng tâm tam giác ABC ⇒a3=1b3=2c3=3⇔a=3;b=6;c=9.
Phương trình mặt phẳng P:x3+y6+z9=1⇔6x+3y+2z-18=0.
Cho hàm số f(x)=cos2x-2x+3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số f(x)=0 đồng biến trên ℝ
Hàm số f(x)=0 nghịch biến trên ℝ
Hàm số đồng biến trên 0;+∞ và nghịch biến trên -∞;0
Hàm số nghịch biến trên 0;+∞ và đồng biến trên -∞;0
Đáp án B.
Ta có f'(x)=-2sinx-2.
Ta có -1≤sin x≤1⇔-2≤-2sin x≤2⇔-4≤-2sinx-2≤0
f'(x)≤0,∀x∈ℝ. Suy ra hàm số nghịch biến trên ℝ.
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Đáp án B.
Với A: A đúng do công thức tính thể tích khối chóp là V=13Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp. Nên nếu hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Với B: Với khối hộp có kích thước a; b; c thì diện tích toàn phần của khối hộp là 2ab+bc+ca. Thể tích của khối hộp là abc. Từ hai dữ kiện này và phương án đề bài ra thì ta không thể kết luận được B đúng hay sai, do vậy ta xét tiếp C.
Với C: Tương tự A thì C đúng do công thức tính thể tích khối lăng trụ là V=Bh.
Với D: Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có cạnh bằng nhau, suy ra hai khối có thể tích bằng nhau. Vậy từ đây ta chọn B.
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Tính thể tích của khối trụ đó.
πa3
2πa3
πa32
πa34
Đáp án C.
Do hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a nên đường chéo của mặt hình lập phương chính là đường kính của hình tròn ngoại tiếp ⇒r=a22 là bán kính của hình tròn đáy hình trụ.
Thể tích khối trụ là V=πr2.a=πa32.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
i4n=-i,∀n∈ℕ*
i4n+1=-i,∀n∈ℕ*
i4n+2=-i,∀n∈ℕ*
i4n+3=-i,∀n∈ℕ*
Đáp án D.
Với A: i4n=i22n=(-1)2n=1. Vậy ta loại A.
Với B: i4n+1=1.i=i. Vậy ta loại B.
Với C: i4n+2=1.i2=-1. Vậy ta loại C.
Tính ∫xln(2x)dx
x22ln(2x)+C
x22ln2xe+C
x2ln(2x)+C
x2ln2xe+C
Đáp án B.
Đặt u=ln2xdv=xdx⇒du=22xdx=1xdxv=x22
∫x.ln(2x)dx=x22.ln2x-∫x22.1xdx=x22.ln2-∫x2dx
x22.ln2x-x24+C=x22.ln2xe+C
Cho mặt cầu (S) có phương trình x-32+y+22+z-12=100 và mặt phẳng α có phương trình 2x-2y-z+9=0. Tính bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng α và mặt cầu (S)
8
a=46
10
6
Đáp án A
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=lnx2-2mx+4 xác định với mọi x∈ℝ.
m∈-2;2
m∈-2;2
m∈-∞;-2∪2;+∞
m∈-∞;-2∪2;+∞
Đáp án A
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ∫09f(x)dx.
18
2
0
16
Đáp án B
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c.
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c.
Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c.
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a;b).
Đáp án B.
- A sai vì có thể xảy ra khả năng a và c song song với nhau và cùng vuông góc với b.
- C sai. Xét trường hợp a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một và đồng quy tại một điểm. Khi đó a⊥b,c. Do đó a vuông góc với mọi đường thẳng d nằm trong mặt phẳng b,c, trong đó có những đường thẳng cắt cả b và c.
- D sai vì nếu c nằm trong a,b và vuông góc với a thì c không thể vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong a,b.
Vậy B đúng (dựa vào định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian có thể thấy B đúng).
Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?
y=2-x9-x2
y=x2+x+13-2x-5x2
y=x2-3x+2x+1
y=x+1x-1
Đáp án C.
Ta chọn C do hàm số ở phương án C có tử thức là đa thức có bậc lớn hơn bậc của mẫu thức. Do vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(2;-2), bán kính R = 4. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (I;R) qua phép vị tự tâm O, tỉ số 12.
x-42+(y+4)2=4
x-42+(y+4)2=64
x-12+(y+1)2=4
x-12+(y+1)2=64
Đáp án C
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Nếu hai mặt phẳng có một điêm rchung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
Đáp án C
Một đoàn tàu được ghép bởi bốn toa tàu A, B, C, D và được kéo bởi một đầu máy. Có bao nhiêu cách sắp xếp các toa tàu sao cho toa A gần đầu máy hơn toa B?
4
12
24
6
Đáp án B.
Gọi đầu kéo máy là X.
Cách 1:
Theo dữ kiện đề bài ta sẽ sử dụng phương pháp vách ngăn để sắp xếp các toa.
Trường hợp 1: Hai toa A và B không cạnh nhau.
Sắp xếp X | A | B | theo một hàng ta có 1 cách.
Ta có 3 vị trí để xếp các toa C; D vào hàng. Số cách xếp là A32=6.
Vậy có 6 cách xếp cho trường hợp 1.
Trường hợp 2: Hai toa A và B cạnh nhau.
Buộc hai toa A và B vào với nhau có 1 cách (do A gần X hơn B).
Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu là 1.3.2.1=6 cách.
Kết hợp hai trường hợp có tất cả 6+6=12 cách.
Cách 2: Gọi các vị trí sau đầu máy là 1, 2, 3, 4.
Trường hợp 1: Toa A ở vị trí số 1. Khi đó toa B có thể ở một trong ba vị trí còn lại.
Trường hợp 2: Toa A ở vị trí số 2. Khi đó toa B có thể ở một trong hai vị trí 3, 4.
Trường hợp 3: Toa A ở vị trí số 3. Khi đó toa B phải ở vị trí số 4.
Trường hợp 4: Toa A ở vị trí số 4. Khi đó không thể xếp được toa B thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Khi xếp xong hai toa A và B thì có hai cách xếp hai toa C và D (giao hoán).
Vậy có tất cả: 3+2+1×2=12 cách xếp các toa tàu.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C'. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là hình gì?
Tam giác cân
Tam giác vuông
Hình thang
Hình bình hành
Đáp án D
Gọi M là giao điểm của AI và BC; gọi N là giao điểm của A'J và B'C'. Suy ra M,N lần lượt là trung điểm của BC,B'C'.
Ta có MN//BB'AA'//BB'⇒MN//AA'. Mặt khác MN=BB'⇒MN=AA'.
Từ hai dữ kiện trên suy ra AMNA' là hình bình hành. Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (ẠIJ) và hình lăng trụ là hình bình hành.
Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức A=a13b+b13aa6+b6.
A=ab6
A=ab3
1ab3
1ab6
Đáp án B
Sử dụng máy tính tính giá trị của A với a=2;b=3 rồi lưu vào biến X:
Với A:
Kết quả ra khác 0 nên ta loại A.
Với B:
Vậy ta chọn B.
Cho ∫adf(x)dx=5,∫bdf(x)dx=2. Tính ∫baf(x)dx.
7
3
0
-3
Đáp án D
Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và khoảng cách giữa hai đáy bằng r3. Một hình nón có đỉnh là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
13
3
13
3
Đáp án B
Tính tổng các nghiệm trong khoảng -π,π của phương trình cosx-1=0.
-2
0
2
2arccos23
Đáp án C
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a.
3a2
a22
a32
a2
Đáp án B.
Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.
Gọi M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD.
Do NA=NB nên tam giác NAB cân ⇒MN⊥AB.
Do MC=MD nên tam giác MCD cân ⇒MN⊥CD.
Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Tam giác BMN vuông tại M
⇒MN=BN2-BM2=a322-a22=2a24=a22.
Vậy d(AB,CD)=MN=a22. Vậy ta chọn B.
Cho 0<a,b,c,x≢1. Biết logax=α,logbx=β,logcx=γ, tính logabcx theo α,β,γ.
logabcx=α+β+γ
logabcx=αβγ
logabcx=αβ+βγ+γααβγ
logabcx=αβγαβ+βγ+γα
Đáp án D
Biết ∫0x2f(t)dt=xcosπx∀x∈ℝ . Tính f(4).
1
-1
14
-14
Đáp án C
HCho hình lập phương . Gọi H' là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của H. Tính tỉ số thể tích của H' và H.
12
14
16
112
Đáp án C.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi E,F,G,I,J,K là tâm các mặt của nó. Khi đó các đỉnh E,F,G,I,J,K tạo thành hình bát diện đều EFGHIJK.
Đặt AB=a thì EJ=A'B2=a22.
Thể tích của khối bát diện đều có cạnh bằng x được tính bằng công thức V=x323. Áp dụng vào bài toán ta có VEFGỊK=13.a223.2=a36.
Vậy tỉ số thể tích cần tìm là a36a3=16.
Cho số phức z=2-5i. Tìm phương trình bậc hai nhận 1z và 1z làm nghiệm.
29x2+4x+1=0
29x2+4x-1=0
29x2-4x+1=0
29x2-4x-1=0
Đáp án C
Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Oz và cắt hai đường thẳng d:x1=y-12=z-63; d':x-11=y+21=z-3-1.
∆:x=2y=5z=12+t
∆:x=-2y=-5z=12+t
∆:x=-4y=-7z=-6+t
∆:x=4y=7z=-6+t
Đáp án C.
Cách 1: Gọi A(t;1+2t;6+3t) và B1+t';-2+t';3-t' lần lượt là giao điểm của ∆ với d và d'. Ta có: AB→=1+t'-t';-3+t'-2t;-3-t'-3t.
Vì ∆ song song với trục Oz mà trục Oz có vtcp k →=0;0;1.
Suy ra 1+t'-t=0-3+t'-2t=0⇔t=-4t'=-5.
Vậy A=-4;-7;-6. Do đó ∆ có phương trình tham số x=-4y=-7z=-6+t.
Cách 2: Trục Oz có vtcp uoz→=0;0;1.
Đường thẳng d đi qua M(0;1;6) và vtcp ud→=1;2;3.
Đường thẳng d' đi qua N(1;-2;3) và có vtcp ud'→=1;1;-1.
- Gọi (P) là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa d:x1=y-12=z-63
⇒n(P)→=uOz→,ud→=-2;1;0.
Mặt phẳng (P) có phương trình -2x+(y-1)=0⇔-2x+y-1=0.
- Gọi Q là mặt phẳng song song với trục Oz và chứa d':x-11=y+21=z-3-1 song song với trục Oz và chứa d'=x-11=y+21=z-3-1
⇒nQ→=uOz→,ud'→=-1;1;0.
Mặt phẳng Q có phương trình
-1(x+1)+1.(y+2)+0.(z-3)=0⇔-x+y+3=0.
- Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng Q.
Gọi A∈∆⇒A∈P,A∈P,A∈Q⇒A-4;-7;-6.
Đường thẳng ∆ có vtcp u∆→ cùng phương với nP→,nQ→=0;0;-1.
⇒∆:x=-4y=-7 t∈ℝz=-6+t.
Tìm phần nguyên của nghiệm lớn nhất trong khoảng -5π;-2π của phương trình tan2x+1tan3x-1=1.
-2π
-3π
-6
-7
Đáp án D
Trong mặt phẳng có m đường thẳng song song với nhau và n đường thẳng vuông góc với m đường thẳng song song đó (m,n∈ℕ;m,n≥2). Có nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các đường thẳng đó nếu m+n=15?
588
586
584
582
Đáp án A.
Dễ thấy m và n càng chênh lệch ít thì số hình chữ nhật được tạo ra càng nhiều. Do đó số hình chữ nhật được tạo ra là lớn nhất nếu m=7,n=8 hoặc ngược lại. Để cho dễ hình dung ta xét trường hợp có 7 đường nằm ngang và 8 đường thẳng đứng. Cứ hai đường nằm ngang kết hợp với hai đường thẳng đứng thì tạo thành một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật là C72×C72=588.
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có thể tích V =5, các đỉnh A2;1;-1, B3;0;1, đỉnh thứ tư D nằm trên trục Oy và có tung độ dương. Tìm tọa độ của D.
D=0;8;0
D=0;7;0
D=0;74;0
D=0;174;0
Đáp án A.
Ta có AC →=0;-2;4;AB →=1;-1;2⇒AC →;AB →=0;4;2.
D nằm trên trục Oy nên D=0;d;0.
Cách 1:
Ta có AD →=-2;d-1;1;AC →;AB →AD →=4d-1+2=4d-2.
VABCD=16AC →;AB →AD →⇒164d-2=5⇒4d-2=304d-2=30⇒d=8d=-7.
Từ đó ta chọn A.
Cách 2:
SABC=12AC →,AB →=5.
V=5=13.SABC.dD;ABC⇒dD;ABC=35.
Mặt phẳng ABC: đi qua A2;1;-1 và có vtpt n → =0;4;2.
⇒ABC:4y-1+z+1=0⇔2y-2+z+1=0⇔2y+z-1=0
dD;ABC=2.d-15=35⇔d=8d=-7. Vậy ta chọn A.
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x22 và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 22. Biết S=aπ+bc, trong đó a,b,c∈ℕ*,(b,c)=1. Tính tổng a+b+c.
6
7
8
9
Đáp án D.
Phương trình đường tròn tâm O có bán kính R=22 là x2+y2=8.
Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên.
Giao điểm của parabol và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình
x2+y2=8y=x22⇔x=±2y=2
Vì parabol và đường tròn đều đối xứng qua trục Oy nên ta có
S=2∫028-x2-x22dx .
Bấm máy tính, ta được kết quả như hình bên. Ta biết S=aπ+bc nên ta thao tác tiếp theo trên máy như hình bên.
Vậy ta có S=2π+43. Do đó ta có a=2,b=4,c=3⇒a+b+c=9. Chọn đáp án D.
Cho m và n là các số nguyên. Biết hàm số y=x3-6x2+9x-1 có các cực trị đều là những số dương và một điểm cực trị x0=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của m+n.
-1
0
8
1
Đáp án D.
Ta có y'=6x2+61-mx+6m-2.
Hàm số có điểm cực trị x0=2⇒6.22+6.1-m.2+6.m-2=0⇔m=4.
Với m=4 hàm số có thêm một điểm cực trị x1=m-22=1.
Hàm số đã cho trở thành y=2x3-9x2+12x+n.
Hàm số này có hai cực trị là y0=y2=n+4 và y1=y1=n+5.
Hàm số có hai cực trị đều dương ⇔n+4>0n+5>0⇔n>-4
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của n là ‒3. Do đó giá trị nhỏ nhất của m+n (với m,n nguyên) là 4+-3=1. Chọn đáp án D.
Cho hàm số y=x3-6x2+9x-1 và điểm A1;m. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho có đúng một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A. Biết S là hợp của một số khoảng rời nhau. Có bao nhiêu khoảng như vậy?
4
3
2
1
Đáp án C.
Ta có y'=3x2-12x+9.
Gọi Mx0;y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A của đồ thị hàm số.
Lúc này tiếp tuyến có phương trình
y=3xo2-12x0+9x-x0+x03-6x02+9x0-1
Tiếp tuyến đi qua A1;m⇒m=3x02-12x0+91-x0+x03-6x02+9x0-1
⇔m=-2x03+9x02-12x0+8 (*).
Để có đúng một tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua A thì phương trình (*) có duy nhất một nghiệm.
Xét hàm số f(x)=-2x03+9x02-12x0+8 có bảng biến thiên
Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì m>4m<3⇔m∈-∞;3∪4;+∞.
Vậy ta chọn C.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f(x)=sinx-msin2x-13sin3x+2mx có f'(x)≥0 với mọi x∈ℝ.
m∈[1;+∞)
m∈-1;1
m∈(-∞;-1]
m∈1;2
Đáp án A.
Ta có f'(x)==cosx-2mcos2x-cos3x+2m=cosx-cos3x-2m(cos2x-1)
Hàm số có f'(x)≥0,∀x∈ℝ⇔cosx-cos3x≥2mcos2x-1,∀x∈ℝ. (*)
Với cos2x=1 thì thỏa mãn (*).
Với cos2x≢1 thì ⇔cosx-cos3xcos2x-1≤2m,∀x∈ℝ.
Đặt cosx-cos3xcos2x-1=g(x). Để g(x)≤2m,∀x∈ℝ, thì 2m≥maxR g(x).
Sử dụng máy tính cầm tay ta có
Từ bảng giá trị kết hợp với phương án thì ta suy ra
maxℝ g(x)=2⇔2m≥2⇔m≥1.
Cho một tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a a>0. Tìm theo a giá trị lớn nhất của diện tích của tam giác vuông đó.
a21318
a239
a2216
a228
Đáp án A.
Giả sử cạnh góc vuông có độ dài bằng Xx0<x<a.
Suy ra độ dài cạnh huyền là a-x.
Độ dài cạnh góc vuông còn lại là a-x2-x2=a2-2ax.
Diện tích tam giác vuông đó được tính bằng công thức S=12x.a2-2ax.
S=12a.ax.ax.a2-2ax≤12a.ax+ax+a2-2ax33=12a.a627=a2318.
Dấu bằng xảy ra khi ax=a2-2ax⇔x=a3.
Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình x.2x=xx-m+1+m2x-1 có hai phần tử. Tìm số phần tử của A.
1
2
3
Vô số
Đáp án B.
Ta có x.2x=xx-m+1+m2x-1⇔x-m2x=x2-(m-1)x-m
⇔x-m2x=(x-m)(x+1)⇔x-m2x-x-1=0⇔x=m2x=x+1
Giải phương trình 2x=x+1.
Nhìn vào màn hình ta thấy phương trình 2x=x+1có hai nghiệm phân biệt là x=0;x=1. Do vậy để tập nghiệm của phương trình đã cho có đúng hai phần tử thì m∈0;1. Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn, ta chọn B.
Giả sử hàm chỉ mức mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là q(m,n)=m23n13, trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu của khách hàng. Biết rằng tiền lương một ngày cho một nhân viên là 16 USD và cho một lao động chính là 27 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí trong một ngày của hãng sản xuất này.
1446 USD
1440 USD
1908 USD
1892 USD
Đáp án B.
Theo bài ra ta có m23n13≥40⇒m2n≥403.
Số chi phí phải trả mỗi ngày là P=16m+27n. Ta cần tìm .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
P=8m+8m+27≥38m.8m.27n3=31728m23≥31728.4033=1440.
Vậy min P=1440.
Cho hàm số y=f(x)=x3-3x2+2 có đồ thị như hình vẽ bên. Trong bốn đường cong dưới đây, đường nào là đồ thị của hàm số y=x+1?
A.
B.
C.
D.
Đáp án C.
Tịnh tiến đồ thị hàm số y=fx sang trái 1 đơn vị.
Giữ nguyên phần đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung. Xóa phần đồ thị hàm số nằm bên trái trục tung.
Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung qua trục tung.
Từ đây ta có đồ thị hàm số y=fx+1.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích V của khối chóp C.A'B'FE.
V=5a3354
V=5a3318
V=2a3327
V=2a339
Đáp án A
Gọi K là trọng tâm tam giác ABC. Qua K kẻ đường thẳng song song với A'B' lần lượt cắt AC; BC tại E và F. Gọi I là giao của CK và AB. Ta có
CI⊥ABB'A'⇒VCBA'B'=13.CI.SBA'B'=13.a32.a22=a31312.
Kí hiệu như hình vẽ. Ta có V=VCFA'B'+VCEA'F.
Mà VCEA'FCA'BB'=23.23.1⇒VCEA'F=49.13.AA'.SABC=427.a.a234=a3327.
VCFA'B'CBA'B'=23.1.1⇒VCFA'B'=23.a3312=a31318. Suy ra V=a3327+a3318=5a3354.
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức w=1+i3z+2, trong đó z-1≤2.
Hình tròn tâm I(3;3) bán kính R=4.
Đường tròn tâm I(3;3)R=8 bán kính R=4.
Hình tròn tâm I(3;3) bán kính R=8.
Đường tròn tâm I(3;3) bán kính R=8.
Đáp án A.
Cách 1: w=1+i3z+2⇔z=w-21+i3. Từ đó
z-1≤2⇔w-21+i3-1≤2⇔w-3-i3≤21+i3⇔w-3+i3≤4.
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm I(3;3) bán kính R = 4. Chọn đáp án A.
Cách 2: Gọi w=x+yi;x,y∈ℝ. Khi đó ta có
w=1+i3z+2⇔x+yi=1+i3z+2⇔x-2+yi1+i3=z
⇒z-1=x-2+yi1+i3-1=x-3-y-3i1+i3⇒z-1=x-y3+iy-x3+434
z-1≤2⇒x-y32+y-x3+432≤8⇒x-32+y-32≤16.
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm I(3;3) bán kính R = 4. Chọn đáp án A.
Bài toán tổng quát: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số w=αz+β trong đó z là số phức tùy ý thỏa mãn z-z0≤R (z0,α≢0,β là những số phức cho trước, R là số thực dương cho trước).
Tương tự như lời giải trên, ta có tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm là điểm biểu diễn số phức αz0+β, với bán kính bằng Rα.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B1,C1 lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua năm điểm A,B,C,B1,C1.
a32
a33
a34
a36
Đáp án B.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC⇒IA=IB=IC (1).
Ta có ∆SAC=∆SAB⇒AB1=AC1. Từ đây ta chứng minh được B1C1//BC.
Gọi M là trung điểm của BC⇒BC⊥SAM⇒B1C1⊥SAM.
Gọi H=SM∩B1C1⇒HB1MB=HC1MC, do MB=MC nên HB1=HC1
Mặt phẳng (SAM) đi qua trung điểm H của B1C1 nên B1C1⊥SAM nên (SAM) là mặt phẳng trung trực của B1C1. Do I∈AM⊂SAM nên IB1=IC1 (2).
Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB⊥INSA⊥IN⇒IN⊥SAB.
Tam giác ABB1 vuông tại B1 có N là trung điểm của AB nên NA=NB1=12AB.
Như vậy ta có các tam giác vuông sau bằng nhau
∆INA=∆INB=∆INB1⇒IA=IB=IB1 (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra 5 điểm A,B,C,B1,C1 cùng nằm trên mặt cầu tâm I, bán kính R=IA=23.a32=a33 (do ABC là tam giác đều và I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇒ I cũng là trọng tâm tam giác ABC).
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, OM=RR>0 . Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox.
23πR327
23πR39
22πR327
22πR39
Đáp án A.
Tam giác OPM vuông tại P suy ra OP=R.cosα;MP=R.sinα.
Thể tích khối nón được tính bằng công thức
V=13.OP.πMP2=13.R.cosα.π.R2.sin2α=πR33.cosα.sin2α=πR33.cosα1-cos2α
V đạt giá trị lớn nhất khi -cos3α+cosα đạt giá trị lớn nhất.
Sử dụng TABLE ta có
Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 0,384=239. Suy ra V=23πR327.
Một hình hộp chữ nhật có kích thước 4×4×h cứa một khốhi cầu bán kính bằng 2 và tám khối cầu nhỏ hơn có bán kính bằng 1. Các khối cầu nhỏ đôi một tiếp xúc nhau và tiếp xúc với ba mặt của hình hộp, khối cầu lớn tiếp xúc với cả tám khối cầu nhỏ (xem hình vẽ). Tìm giá trị của h.
2+27
3+25
4+27
5+25
Đáp án A.
Bốn tâm của các bi nhỏ cùng với tâm của các bi lớn tạo thành hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3. Khi đó chiều cao của hình chóp đều này là 7.
Khoảng cách từ tâm của bi lớn đến đáy của hình hộp là 7+1.
Do đó chiều cao của hình hộp là 2.7+1=2+27.
