20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải ( đề 1)
50 câu hỏi
Cho tập hợp S gồm 15 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Từ 15 điểm thuộc tập hợp S ta xác định được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 15 điểm đã cho?
A153
C153
P15
A1512
Đáp án B.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 15 điểm đã cho bằng số cách chọn 3 điểm trong 15 điểm đã cho và bằng C153 (không quan tâm đến thứ tự đỉnh).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?
x = -3
x = 5
x = 4
x = 0
Đáp án D.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCD=5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, yCT=-3 Do đó phương án đúng là D.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
y=2x-3x2+1
y=3x+1x+2x2-1
y=x2x+3
y=4x-2x2-3x+2
Đáp án D.
Ta có :
Ta có limx→-∞4x-2x2-3x+2=limx→-∞4x-2x2-3x+2=0 nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=4x-2x2-3x+2 nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị nào của hàm số nào dưới đây?
y=x4-2x2-3
y=-x3+3x-2
y=13x3-x-1
y=-13x3+x-1
Đáp án C
Tính l=limx→-∞2x-1x+4
l=2
l = -14
l = -4
l = 12
Đáp án A.
Ta có : l = limx→-∞2x-1x+4=limx→-∞2-1x1+4x=2
Cắt một vật thể T bởi hai mặt phẳng P và Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a,x=b a<b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x a≤x≤b cắt T theo thiết diện có diện tích là Sx. Giả sử Sx liên tục trên đoạn [a,b]. Thể tích V của phần vật thể T giới hạn bởi mặt phẳng P và Q được cho bởi công thức nào dưới đây?
V=∫abS(x)dx.
V=π∫abS(x)dx
V=π2∫abS(x)dx
V=π∫abS2(x)dx
Đáp án A.
Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây ?
z=1-3i
z=-3+i
z=1+3i
z=-3-i
Đáp án A.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
∫01dx2x+1=12ln2x+110
∫04dx2x+1=2x+140
∫-2-1dxx=lnx-1-2
∫0π4dxcos2x=tanxπ40
Đáp án C.
Ta có ∫-2-1dxx=lnx-1-2 Hơn nữa trên đoạn [-2;-1] thì x < 0 nên một nguyên hàm của 1x phải là ln(-x). Do vậy phương án sai là C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;-1;1 và B1;1;3. Đường thẳng AB nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương?
u1→=1;-2;-2
u2→=3;0;4
u3→=-1;0;2
u4→=-1;-2;2
Đáp án A.
Đường thẳng AB nhận vectơ AB→=-1;2;2 làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng AB nhận vectơ u1→=-AB→=-1;2;2 làm vectơ chỉ phương.
Với a là số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây là đúng?
lg10a=10lg a
lga5=5+lga
lg10a=1+lg a
lga5=15lg a
Đáp án C.
Cho mặt cầu (S) có tâm O và bán kính R. Diện tích mặt cầu (S) được cho bởi công thức nào trong các công thức dưới đây?
4πR2
4R2
43πR2
πR2
Đáp án A.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông. Tính góc giữa hai đường thẳng AC' và BD.
900
45°
30°
60°
Đáp án A.
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x3-3x2-9x+17 trên đoạn -2;4.
22
55
15
44
Đáp án A
Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình log3x2-3x+5<2 là khoảng a;b. Giá trị của biểu thức a2+b2 bằng
15
7
11
17
Đáp án D.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp có đỉnh S(2;3;5) và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng (P):2x+y-2z-3=0, có diện tích bằng 12. Tính thể tích của khối chóp đó.
4
24
8
72
Đáp án C.
Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng dS,P=2.
Suy ra thể tích khối chóp đã cho là V=13.12.2=8 .
Cho hàm số f (x)=2x-1sinxπ3. Giá trị của f'-12 bằng
3-π33
-1-3
π33
3+π33
Đáp án D
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y=2sinx-2cosx-5
M=9
M=22-5
M=7
M =-22-5
Đáp án B
Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB=a và BC=2a . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta thu được khối nón có thể tích bằng
πa3
3πa3
33πa3
23πa3
Đáp án A
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O, điểm B thuộc tia Ox, điểm D thuộc tia Oy và điểm S thuộc tia Oz. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Ga3;a3;a
Ga;a;3a
Ga2;a2;3a2
Ga3;a;a3
Đáp án A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;-3;B1;0;-1 và đường thẳng . Đường thẳng ∆ vuông góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới đây?
u→1=1;-5;3
u→2=1;5;3
u→3=4;2;3
u→4=3;11;5
Đáp án B.
Ta có AB→=-1;-1;2 và đường thẳng có vectơ chỉ phương là u →=2;-1;1
Ta có AB→,u →=1;-5;3 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS tính sai AB→,u →=1;-5;3 do sắp xếp sai thứ tự trong
công thức tính tích có hướng của hai vectơ.
Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của d nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của ∆. Cụ thể : u→=-1;2;0 là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra ∆ nhận vectơ -AB →, u→=4;2;3 làm một vectơ chỉ phương.
Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto AB →=3;1;4 nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của ∆. Cụ thể ∆ nhận vecto -AB →, u→=3;11;5 làm một vectơ chỉ phương.
Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y=x2+mx+63+2 xác định trên ℝ
9
5
10
6
Đáp án A
Biết rằng phương trình 3x2-3x+4=27 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Giá trị của biểu thức log2x13+x23-2 bằng
4
8
4+2log25
2+log21225
Đáp án B
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Gọi α là góc giữa đường thẳng AC’ với mặt phẳng (ABCD) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2π9≤α≤π4
π4<α<π3
π6<α<2π9
π9≤α≤π6
Đáp án C
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC' trên mặt phẳng (ABCD) .
Lại do CC'⊥ABCD nên tam giác C'AC vuông tại C .
Suy ra AC',ABCD=AC',AC=C'AC=α .
Ta có tanα=CC'AC=22⇒π6<α<2π9 .
Phân tích phương án nhiễu
Phương án A: Sai do HS tính được tan α22 và cho rằng α=π4 .
Phương án B: Sai do HS tính sai tanα=ACAC'=2 nên suy ra π4<α<π3 .
Phương án D: Sai do HS tính sai tanα=CC'AC'=33 nên suy ra α=π6 .
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 9z2+6z+4=0. Giá trị của biểu thức 1z1+1z2 bằng
43
3
32
92
Đáp án B
Ta có
9z2+6z+4⇔3z+12=-3⇔z=-1+i33 hoặc z=-1-i33
Do vậy, ta có z1=z2=-1+i33=23⇒1z1+1z2=32+32=3
Tính nguyên hàm I=∫dxxx2+4 bằng cách đặt t=x2+4, mệnh đề nào dưới đây đúng?
I=∫dtt2-4
I=12∫dtt2-4
I=∫dtt-4
I=∫tdtt2-4
Đáp án A
Cho ∫03f(x)dx=5;∫02f(t)dt=2;∫23g(x)dx=11. Tính I=∫232f(x)+6g(x)dx.
I = 72
I = 80
I = 60
I = 63
Đáp án A
Từ giả thiết, ta có ∫23f(x)dx=∫03f(x)dx-∫02f(x)dx=5-2=3
Suy ra2∫23f(x)dx+6∫23g(x)dx=2.3+6.11=72 I =
Người ta xây dựng một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng 34 diện tích đế tháp. Biết đế tháp có diện tích bằng 12288m2 . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là
4,5m2
18m2
9m2
16m2
Đáp án C
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AB = a , AC = a3 và SAB⏞=60° . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính tỷ số thể tích của hai khối SABH và HABC.
34
112
32
74
Đáp án A
Ta có SA=ABtanSBA=a3;AC=AB2+BC2=2a .
Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên SC=SA2+AC2=a7 và SH.SC=SA2 .
Do đóSHSC=SA2SC2=37 .
Mặt khác VS.ABHVS.ABC=SASA.SBSB.SHSC=SHSC=37
Suy ra VHABCVS.ABC=47 . Do đó VS.ABHVHABC=34
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f(x)-3=0 là
3
0
2
1
Đáp án A
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn-1-Cn3=0. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của x22-1xn,x≢0
-3516x5
-3516
-3516x2
3516x5
Đáp án A
Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn -2π,2π của phương trình
5sin x+cos 3x+sin 3x1+2sin 2x=cos 2x+3
Giả sử M,m là phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập hợp S. Tính H=M-m.
H=2π
H=10π3
H=11π3
H=7π3
Đáp án B
Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Tính xác suất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại.
811
37
311
411
Đáp án C
Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách lấy 3 hộp sữa từ 12 hộp và bằng C123=220 .
Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số cách lấy 3 hộp sữa từ 12 hộp sao cho có đủ cả ba loại và bằng C51C41C31=60
Do đó xác xuất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại là 60220=311
Cho cấp số cộng un có công sai d = -3 và u22+u32+u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng s100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
s100=-14550
s100=-14400
s100=-14250
s100=-15450
Đáp án C
Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=-x3+3x2+3m2-1x-3m2-1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa các điểm cực trị đó không vượt quá 3013. Số phần tử của tập hợp S là
7
4
6
5
Đáp án C
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có góc giữa đường thẳng A'B với mặt phẳng (ABC) bằng 60° và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a52. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC A'B'C'.
V=125396a3
V=1253288a3
V=1253384a3
V=125348a3
Đáp án A
Gọi M là trung điểm của BC thì BC⊥A'AM .
Từ A kẻ AH⊥A'M,H∈A'M. Khi đó AH⊥(A'BC) .
Suy ra dA,A'BC=AH=a52 .
Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) bằng góc A'MA⏞ .
Theo giả thiết ta có A'MA⏞=60°
Đặt AB = 2x thì AM=x3;A'A=2x3 .
Suy ra AH=A'A.AMA'A2+AM2=2x155
Từ giả thiết ta có 2x155=a52⇒x=5a1512 Do đó
AA'=5a2;SABC=25a2348
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là V=125396a3 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:2x+2y+z-3=0 và ba điểm A0;1;2,B2;-2;1,C-2;0,1. Biết rằng tồn tại điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P) và cách đều ba điểm A,B,C. Tính giá trị của biểu thức T=a3+b3+c3.
T = 308
T = 378
T = -308
T = 27
Đáp án C
Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=10x3-7x+22x-1 thỏa mãn F(1) = 5. Giả sử rằng F(3) = a+b5 , trong đó a , b là các số nguyên. Tính tổng bình phương của a và b.
121
73
265
361
Đáp án C
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a3. Gọi V1,V2 lần lượt thể tích khối cầu và khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính tỷ số V1V2.
V1V2=32425
V1V2=183025
V1V2=3625
V1V2=10825
Đáp án D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.vì S.ABCD là hình chop đều nên SO⊥(ABCD)
Từ giả thiết, ta có SO=SA2-OA2=a102 .
Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có chiều cao h=SO=a102 và bán kính đáy là r=OA=a22 .
Suy ra V2=13πr2h=πa31012
Ta có SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Đường trung trực của SB nằm trong mặt phẳng (SBD) cắt SB, SO lần lượt tại M, I. Ta có IS = IB = IA = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có SI.IO = SM.SB ⇒SI = SB22SO=3a1010
Suy ra V1=43π.(SI)3=9πa31025. Do đó V1V2=10825
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m+3m+3sin x33=sin x có nghiệm thực ?
5
7
3
2
Đáp án A
*Phương trình m+3m+3sin x33=sin x⇔m+3m+3sin x3=sin3x
⇔(m+3sin x)+3m+3sin x3=sin3x+3sin x (1)
* Xét hàm số f(t)=t3+3t trên ℝ. Ta có f'(t)=3t2+3>0∀t∈ℝ nên hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.
Suy ra (1) f3+3sin x3f(sin x)⇔3+3sin x3=sin x
Đặt sin x = t,t∈[-1;1] Phương trình trở thành t3-3t=m
* Xét hàm số g(t) trên t∈-1;1 Ta có g'(t)=3t2-3≤0,∀t∈[-1;1] và g'(t)=0⇔t=±1 Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên [-1;1]
* Để phương trình có nghiệm đã cho có nghiệm thực ⇔ Phương trình t3-3t=m có nghiệm trên [-1;1]
min[-1;1]g(t)≤m≤max[-1;1]g(t)⇔g(1)≤m≤g(-1)⇔-2≤m≤2
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m∈-2;-1;0;1;2
Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng -2;2018 để hàm số
y=13mx3-m-1x2+3m-2x+13
đồng biến trên nửa khoảng [2;+∞).
2018
2017
2019
2016
Đáp án B
Cho z là số phức thỏa mãn điều kiện 2z-11+i+z+11-i=2-2i. Tính tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức w=9z2+6z+1.
25
1
49
41
Đáp án A
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong có phương trình y=x2-4x+3 và đường thẳng y=x+3 (phần đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng (H).
S=472
S=392
S=1696
S=1096
Đáp án D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M599;-329;29 và mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2-2x-4y-6z-11=0. Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến MA,MB,MC đến mặt cầu (S), trong đó A,B,C là các tiếp điểm. Mặt phẳng (ABC) có phương trình px + qy + z + r = 0. Giá trị của biểu thức p+q+r
-4
4
1
36
Đáp án B
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, với f (x) > 0 và f (0) = 1. Biết rằng f'(x)+3xx-2f(x)=0,∀x∈ℝ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình fx+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
1<m<e4
-e6<m<-1
-e4<m<-1
0<m<e4
Đáp án C
Bảng biến thiên của hàm số f(x) là
Hàm số fx là hàm số chẵn trên ℝ nên đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó phương trình f(x)+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình f(x)+m=0có hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình f(x)=-m có hai nghiệm dương phân biệt
⇔1<-m<e4⇔-e4<m<-1
Cho các số phức z1 và z2 thỏa mãn điều kiện z1=z2=33z1+z2=1. Giả sử z1z2=a+bi, với a,b∈ℝ và b > 0. Tính giá trị của biểu thức P=22a-63b+2018.
P=2038
P=83+2038
P=2020
P=40492
Đáp án C
Một người thợ có một khối đá hình trụ có bán kính đáy bằng 30cm. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho MN⊥PQ. Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua ba trong bốn điểm M, N, P,Q để được một khối đá có hình tứ diện (như hình vẽ dưới). Biết rằng khối tứ diện MNPQ có thể tích bằng 30dm3. Thể tích của lượng đá bị cắt bỏ gần với kết quả nào dưới đây nhất?
111,40dm3
111,39dm3
111,30dm3
111,35dm3
Đáp án B
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 thỏa mãn f(2)=0,∫12f(x)2dx=145 và ∫12x-1fxdx=-130. Tính I = ∫12f(x)dx.
I = -112
I = -115
I = -136
I = 112
Đáp án A
Ta có -130=∫12x-1f(x)dx=12∫12f(x)dx-12
=12x-12f(x)12-12∫12x-12f'xdx
⇔∫12x-12f'(x)dx=115
Ta lại có ∫12x-14dx=15x-1512=15
Từ giả thiết và các kết quả ta có
9∫12f'(x)2dx-6∫12x-12f'(x)dx+∫12x-14dx=0
Mặt khác:
9∫12f'(x)2dx-6∫12x-12f'(x)dx+∫12x-14dx=∫123f'(x)-x-122
Do vậy xét trên đoạn [1;2] , ta có
3f'(x)-(x-1)2=0⇔f'(x)=13x-12⇒f(x)=19x-13+c
Lại do f(2) = 0 nên C+19=0⇔C=-19⇒f(x)=19x-13-19
Suy ra I=19∫12x-13-1dx=136x-1412-19x-112=-112
Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank một số tiền như nhau với lãi suất 0,45%/tháng. Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm. Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?
T = 10050000
T = 25523000
T = 9493000
T = 9492000
Đáp án C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A2;3;1,B-1;2;0,C1;1;-2. Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là
x-11=y+5-8=z-45
x-21=y+13-8=z-95
x+11=y-11-8=z+65
x-31=y+21-8=z-145
Đáp án B
Ta có AB →=-3;-1;-1,AC →=-1;-2;-3 nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là AB →,AC →=(1;-8;5)
Suy ra (ABC) có phương trình là x-8y+5z+17=0
Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:
CH →=x-1;y-1;z+2;BH →=x+1;y-2;z
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
BH⊥ACCH⊥ABH∈ABC⇔BH →.AC →=0CH →.AB →=0H∈ABC⇔x+2y+3z=33x+y+z=2x-8y+5z=-17⇔x;y;z=215;2915;-13
Suy ra H215;2915;-13
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận AB →,AC→=1;-8;5 làm một vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình đường thẳng d là x-2151=y-2915-8=z+135
Dễ thấy điểm M(2;13;9) thuộc đường thẳng d nên phương án đúng là B.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2,AD=23. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD, CB. Tính côsin góc tạo bởi mặt phẳng (MNP) và (SCD).
2435145
11145145
2870145
3145145
Đáp án B
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH⊥(ABCD)
Ta có SH⊥AB;AB⊥HN;HN⊥SH và SH=3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:
B(1;0;0);A(-1;0;0);N(0;23;0);C(1;23;0);D(-1;23;0);S(0;0;3);M(-12;0;32);P(1;3;0)
Mặt phẳng (SCD) nhận n1→=-36CD →,SC →=0;1;2 làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận n2→=-233MN →,MP →=3;1;5làm một vectơ pháp tuyến.
Gọi ∅ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì
cos∅=n1→.n2→n1→.n2→=11145145
