a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD.\)

b) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAO} + \widehat {OAB} = 90^\circ .\)

Theo đề bài: \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB}\) nên \(\widehat {OAB} + 2\widehat {OAB} = 90^\circ .\) Suy ra \(3\widehat {OAB} = 90^\circ ,\) nên \(\widehat {OAB} = 30^\circ .\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OC = OD.\) Do đó, tam giác \(COD\) cân tại \(O.\)

Do đó, \(OH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta COD.\) Suy ra \(HC = \frac{1}{2}DC.\)

d) Đúng.

Vì \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) nên \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 30^\circ  = 60^\circ .\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OD.\) Do đó, tam giác \(AOD\) cân tại \(O.\)

Mà \(\widehat {OAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều.

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\)

Vì \(C\) là trung điểm của \(DE\) nên \(DC = CE.\)

Vì \(DC = CE,\;AB = CD\) nên \(AB = CE.\)

b) Đúng.

Tứ giác \(ABEC\) có: \(AB = CE,\;AB\;{\rm{//}}\;CE\) nên tứ giác \(ABEC\) là hình bình hành.

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DCB} = 90^\circ .\) Do đó, \(BC \bot DE.\)

Tam giác \(BDE\) có \(BC\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó, tam giác \(BED\) cân tại \(B.\)

d) Đúng.

Nếu \(\widehat {ACD} = 60^\circ \):

Vì tứ giác \(ABEC\) là hình bình hành nên \(AC\;{\rm{//}}\;BE.\) Suy ra, \(\widehat {BED} = \widehat {ACD} = 60^\circ .\)

Mà tam giác \(BED\) cân tại \(B\) nên tam giác \(BED\) đều.

Vậy điều kiện để tam giác \(BED\) là tam giác đều là \(\widehat {ACD} = 60^\circ .\)

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD.\)

Do đó, tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) và tam giác \(COB\) cân tại \(O.\)

Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(OM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, \(\widehat {OMB} = 90^\circ .\)

Tam giác \(COB\) cân tại \(O\) nên \(ON\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, \(\widehat {ONB} = 90^\circ .\)

b) Đúng.

Tứ giác \(OMBN\) có: \(\widehat {MBN} = \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = 90^\circ .\) Do đó, tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật.

c) Sai.

Vì tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(MN = OB.\) Mà \(OB = \frac{1}{2}AC\) nên \(MN = \frac{1}{2}AC.\)

d) Đúng.

Gọi \(K\) là giao điểm của \(OB\) và \(MN.\) Vì tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(KM = KB.\)

Do đó, tam giác \(KMB\) cân tại \(K.\) Do đó, \(\widehat {KMB} = \widehat {KBM}.\)

Vì tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}.\) Do đó, \(\widehat {OAB} = \widehat {KMB}.\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\,{\rm{//}}\,AC.\)

a) Đúng.

Vì \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM,\;CN\) của \(\Delta ABC\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

b) Sai.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AM = MC = \frac{1}{2}AC.\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AN = NB = \frac{1}{2}AB.\)

Do đó, \(AN = NB = AM = MC.\)

Tam giác \(BMC\) và tam giác \(CNB\) có: \(\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\;\left( {cmt} \right),\;MC = BN\;\left( {cmt} \right),\;BC\;{\rm{chung}}{\rm{.}}\)

Do đó, \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {c - g - c} \right).\)

c) Đúng.

Vì \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {cmt} \right)\) nên \(BM = CN.\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GC = \frac{2}{3}CN,\;BG = \frac{2}{3}BM.\) Suy ra: \(GB = GC.\)

Mà \(GD = GB,\;GE = GC\) nên \(GD = GB = GE = GC.\) Suy ra: \(EG + GC = BG + GD\) hay \(BD = CE.\)

d) Đúng.

Tứ giác \(BEDC\) có hai đường chéo \(CE,\;BD\) cắt nhau tại \(G;\;\) \(G\) vừa là trung điểm của \(BD\) vừa là trung điểm của \(EC.\) Do đó, tứ giác \(BEDC\) là hình bình hành. Mà \(BD = CE\) nên tứ giác \(BEDC\) là hình chữ nhật. Do đó, \(\widehat {EBC} = 90^\circ .\)

a) Sai.

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ .\) Do đó, tam giác \(AHC\) vuông tại \(H.\) Mà \(HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC.\) Do đó, \(HM = \frac{1}{2}AC.\)

b) Đúng.

Tứ giác \(AHCN\) có: \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC,\;HN;\) \(M\) là trung điểm của \(AC,\;M\) là trung điểm của \(HN.\)  Do đó, tứ giác \(AHCN\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật.

c) Đúng.

Vì tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ .\)

d) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AH = NC,\;AN = HC.\)

Vì diện tích tam giác \(AHC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên: \(\frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Diện tích tam giác \(ANC\) vuông tại \(N\) là: \(S = \frac{1}{2}AN \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ANC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án: \(5\)

Vì chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(24\;{\rm{cm}}\)nên \(AB + BC + AC = 24\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì \(AB:AC:BC = 3:4:5\)  nên \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{BC}}{5} = \frac{{AB + AC + BC}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{24}}{{12}} = 2.\)

Do đó, \(BC = 2 \cdot 5 = 10\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\)

Mà \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy \(AM = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)