Đáp án đúng là: B

Vì \(405\,\,\cancel{ \vdots }\,\,10;{\rm{ }}550\,\, \vdots \,\,10;{\rm{ }}220\,\, \vdots \,\,10\) nên \(\left( {405 + 550 + 220} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,10;\;{\rm{ }}\left( {405 + 550 - 220} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,10.\)

Vì \(405\,\, \vdots \,\,5;{\rm{ }}550\,\, \vdots \,\,5;{\rm{ }}220\,\, \vdots \,\,5\) nên \(\left( {405 + 550 + 220} \right)\,\, \vdots \,\,5,\;\,\left( {405 + 550 - 220} \right)\,\, \vdots \,\,5.\)

Đáp án đúng là: C

A, B, D đều đúng. Câu C sai. Ví dụ: \(3\,\,\not \vdots \,\,4;{\rm{ }}\;1\,\,\not \vdots \,\,4\) nhưng tổng \(3 + 1 = 4\, \vdots 4.\)

Đáp án đúng là: A

Số 10 chia hết cho các số là: \(1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}10.\) Vậy số 10 chia hết cho tất cả 4 số tự nhiên.

a) Sai.

Nhận thấy \(2m\,\, \vdots \,\,2\) và \(3\not \vdots 2\) nên \(\left( {2m + 3} \right)\,\,\not \vdots \,\,2\) hay \(a\,\,\not \vdots \,\,2\).

b) Đúng.

Nhận thấy \(2n\,\, \vdots \,\,2\) và \(1\,\,\not \vdots \,\,2\) nên \(\left( {2n + 1} \right)\,\,\not \vdots \,\,2\) hay \(b\,\,\not \vdots \,\,2.\)

c) Sai.

Có \(a + b = 2m + 3 + 2n + 1 = 2\left( {m + n} \right) + 4 = 2\left( {m + n + 2} \right) \vdots 2\).

Do đó, \(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,2.\)

d) Đúng.

Có \(a - b = 2m + 3 - 2n - 1 = 2\left( {m - n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m - n + 1} \right)\).

a) Đúng.

Ta có: \(A = 3\left( {1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^7} + {3^8}} \right)\) nên \(A\,\, \vdots \,\,3.\) Vậy \(A\,\, \vdots \,\,3.\)

b) Đúng.

Vì \(\left( {29 \cdot 47} \right)\,\, \vdots \,\,29;\;{\rm{ }}\left( {29 \cdot 34} \right)\,\, \vdots \,\,29\) nên \(\left( {29 \cdot 47 - 29 \cdot 34} \right)\,\, \vdots \,\,29\) hay \(B\,\, \vdots \,\,29.\) Vậy \(B\) chia hết cho 29.

c) Sai.

Ta có: \(B = 29 \cdot 47 - 29 \cdot 34 = 29\left( {47 - 34} \right) = \left( {29 \cdot 13} \right)\,\, \vdots \,\,13\) nên \(B\,\, \vdots \,\,13.\) Vậy \(B\,\, \vdots \,\,13.\)

d) Đúng.

\(A = \left( {3 + {3^2} + {3^3}} \right) + \left( {{3^4} + {3^5} + {3^6}} \right) + \left( {{3^7} + {3^8} + {3^9}} \right)\)

\(A = 3\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^4}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^7}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)

\(A = 13\left( {3 + {3^4} + {3^7}} \right)\,\, \vdots \,\,13.\)

Do đó, \(A\,\, \vdots \,\,13.\) Mà \(B \vdots 13\) nên \(\left( {A + B} \right)\,\, \vdots \,\,13.\)

a) Đúng.

Với \(x = 5\) ta có: \(A = 40 + 50 + 60 + 5.\)

Vì \(40;\;{\rm{ }}50;\;{\rm{ }}60;\;{\rm{ }}5\) đều chia hết cho \(5\) nên \(\left( {40 + 50 + 60 + 5} \right) \vdots 5.\) Do đó, \(A \vdots 5.\)

b) Sai.

Vì \(40;\;{\rm{ }}50;\;{\rm{ }}60\) đều chia hết cho \(5\) nên để \(A \vdots 5\) thì \(x \vdots 5.\)

Mà \(x\) là số tự nhiên có một chữ số nên \(x \in \left\{ {0;\,\,5} \right\}.\) Do đó, có hai giá trị \(x\) để \(A \vdots 5.\)

c) Sai.

Vì \(40;\;{\rm{ }}50;\;{\rm{ }}60\) đều chia hết cho \(10\) nên để \(A \vdots 10\) thì \(x \vdots 10.\)

Mà \(x\) là số tự nhiên có một chữ số nên \(x = 0.\) Do đó, có một giá trị \(x\) để \(A\) là một bội của 10.

d) Đúng.

Từ phần b) và c) ta có: Với \(x = 0\) thì \(A \vdots 10\) và \(A \vdots 5.\)

Giá trị \(x\) để \(A\) vừa chia hết cho cả 5 và 10 là 0.

a) Đúng.

Vì \(a\) chia hết cho \(10\) nên giá trị thích hợp để điền vào dấu \(*\) là 0.

b) Đúng.

Vì \(a\) chia hết cho \(10\) nên \(6a \vdots 10.\) Vậy \(6a\) là một bội của 10.

c) Sai.

Vì \(6a\,\, \vdots \,\,10,\;100\,\, \vdots \,\,10\) nên \(\left( {6a + 100} \right)\,\, \vdots \,\,10.\) Vậy \(\left( {6a + 100} \right)\,\, \vdots \,\,10.\)

d) Đúng.

Vì \(\left( {6a + 100} \right)\,\, \vdots \,\,10;{\rm{ }}\;23\,\,\cancel{ \vdots }\,\,10\) nên \(\left( {6a + 100 - 23} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,10.\) Vậy \(\left( {6a + 100 - 23} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,10.\)

a) Đúng.

Với \(x = 20\) thì \(x + 20 = 40 \vdots 5\) nên \(\left( {x + 20} \right)\,\, \vdots \,\,5.\)

Với \(x = 25\) thì \(x + 20 = 45 \vdots 5\) nên \(\left( {x + 20} \right)\,\, \vdots \,\,5.\)

Với \(x = 30\) thì \(x + 20 = 50 \vdots 5\) nên \(\left( {x + 20} \right)\,\, \vdots \,\,5.\)

Vậy với \(x \in \left\{ {20;\;\,25;\;\,30} \right\}\) thì \(\left( {x + 20} \right)\,\, \vdots \,\,5.\)

b) Sai.

Nhận thấy, với \(x = 25\) thì \(x + 20 = 45\,\, \vdots \,\,5\) nên \(\left( {x + 20} \right)\,\, \vdots \,\,5\) nhưng \(45\not \vdots 10\).

Do đó, ý b) là sai.

c) Đúng.

Vì \(40;\;\,50\) đều chia hết cho cả 5 và 10 nên với \(x = 20;\;\,x = 30\) thì \(x + 20\) chia hết cho cả 5 và 10. Vậy tập hợp trên có 2 phần tử \(x\) thỏa mãn \(x + 20\) chia hết cho cả 5 và 10.

d) Sai.

Theo c) ta có: \(x = 20;\;\,x = 30\) thì \(x + 20\) chia hết cho cả 5 và 10.

Ta có: \(20 \cdot 30 = 600.\) Vậy tích các giá trị của \(x\) để \(x + 20\) chia hết cho cả 5 và 10 là 600.

Đáp án: \(6\)

Vì \(15;\;{\rm{ }}30;\;{\rm{ }}45;\;{\rm{ }}60;\;{\rm{ }}75;\;{\rm{ }}90\) đều chia hết cho 15 nên \(15;\;{\rm{ }}30;\;{\rm{ }}45;\;{\rm{ }}60;\;{\rm{ }}75;\;{\rm{ }}90\) đều là bội của 15.

Vậy có 6 số tự nhiên có hai chữ số là bội của 15.

Đáp án: \(0\)

Vì \(15\,\, \vdots \,\,3\) nên \(\left( {13 \cdot 14 \cdot 15} \right)\,\, \vdots \,\,3.\)

Ta có: \(13 \cdot 14 \cdot 15 = 13 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 15 = 13 \cdot 7 \cdot 30.\) Vì \(30\,\, \vdots \,\,10\) nên \(\left( {13 \cdot 7 \cdot 30} \right)\,\, \vdots \,\,10\) hay \(\left( {13 \cdot 14 \cdot 15} \right)\,\, \vdots \,\,10.\)

Do đó, \(13 \cdot 14 \cdot 15\)vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10.

Để \(P = 13 \cdot 14 \cdot 15 + a\) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 thì \(a\) chia hết cho 10.

Mà \(a\) là số tự nhiên nhỏ hơn 10 nên \(a = 0.\) Vậy \(a = 0.\)

Đáp án: 3.

Ta có: \[\overline {20a20a20a} = \overline {20a} \cdot 1\,000\,000 + \overline {20a} \cdot 1\,000 + \overline {20a} \]

\( = \overline {20a} \cdot 1\,001\,001\,\, \vdots \,\,7\).

Áp dụng tính chất chia hết của một tích, vì \(1\,001\,001\,\,\not \vdots \,\,7\) nên \(\overline {20a} \,\, \vdots \,\,7\).

Vì \(\overline {20a} = \left( {200 + a} \right) = \left[ {196 + \left( {a + 4} \right)} \right]\,\, \vdots 7\).

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng, có:

\(196 + \left( {a + 4} \right)\,\, \vdots \,\,7\) mà \(196\,\, \vdots \,\,7\).

Suy ra \[\left( {a + 4} \right)\,\, \vdots \,\,7\], do đó \(a = 3\)

Vậy nên giá trị thỏa mãn là 3.

Đáp án: 3.

Do \(n\,\, \vdots \,\,n\) nên để \(\left( {n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,n\) thì \(4\,\, \vdots \,\,n\).

Suy ra \(n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4} \right\}\).

Vậy có ba số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(1\)

Ta có: \(n + 7 = n + 2 + 5.\)

Để \(n + 7\) chia hết cho \(n + 2\) thì 5 chia hết cho \(n + 2.\)

Do đó, \(\left( {n + 2} \right) \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1;\;{\rm{ }}5} \right\}.\)

Vì \(n \ge 0\) nên \(n + 2 \ge 2.\) Do đó, \(n + 2 = 5\) nên \(n = 3.\)

Vậy có một số tự nhiên \(n\) sao cho \(n + 7\) chia hết cho \(n + 2.\)