20 CÂU HỎI
I. Nhận biết
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).
Vectơ nào sau đây cùng phương với \(\overrightarrow {BC} \) ?
\(\overrightarrow {DC} .\)
\(\overrightarrow {DA} .\)
\(\overrightarrow {BB'} .\)
\(\overrightarrow {C'C} .\)
Cho hình chóp \(S.ABC\). Tổng của hai vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\overrightarrow {BS} .\)
\(\overrightarrow {BA} .\)
\(\overrightarrow {SB} .\)
\(\overrightarrow {SC} .\)
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó, góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \) là
\(90^\circ.\)
\(60^\circ.\)
\(45^\circ.\)
\(30^\circ.\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 90^\circ.\)
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 45^\circ.\)
\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = 90^\circ.\)
\(\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 45^\circ.\)
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0.\)
II. Thông hiểu
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \), \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow b.\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \frac{1}{2}\overrightarrow a.\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow c.\)
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c + \frac{1}{2}\overrightarrow b.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Lấy \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Phát biểu nào sau đây là sai?
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)
\(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = 3\overrightarrow {CG} .\)
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
\(\overrightarrow {B'C} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0.\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - 1.\)
\(\overrightarrow a.\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\); \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng ?
\(\cos \alpha = \frac{3}{8}.\)
\(\alpha = 30^\circ.\)
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}.\)
\(\alpha = 60^\circ.\)
Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\) có cạnh bằng \(a\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} \) bằng:
\({a^2}\sqrt 2 .\)
\({a^2}.\)
\({a^2}\sqrt 3 .\)
\(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c .\) Gọi \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\). Vectơ \(\overrightarrow {AG'} \) bằng
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + 3\overrightarrow c } \right).\)
\(\overrightarrow {AG'} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right).\)
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(2\sqrt 3 \). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SC} .\)
\(\sqrt 3 .\)
\(\sqrt 2 .\)
\(2\sqrt 6 .\)
\(2\sqrt 2 .\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 4\), \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\). Khi đó độ dài \(\overrightarrow {AC} \) là
\(3.\)
\(6.\)
\(4.\)
\(12.\)
Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai?
a) \(\overrightarrow {B'B} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {B'D} .\)
b) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} .\)
c) \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right| = a\sqrt 2 .\)
d) \(\left| {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {C'A} } \right| = a.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(1.\)
\(4.\)
III. Vận dụng
Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 5\) kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \). Biết \(\overrightarrow P = m.\overrightarrow g \) trong đó \(\overrightarrow g \) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \(10\)m/s2, \(\overrightarrow P \) là trọng lượng của vật có đơn vị kg.
Khi đó:
a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ đồng phẳng.
b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\)
c) Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50N\).
d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}N\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \), \(\widehat {CAD} = 90^\circ \). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {IJ} \) ?
\(120^\circ.\)
\(90^\circ.\)
\(60^\circ.\)
\(30^\circ.\)
Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right)\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{6}.\)
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}\). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ?
\(120^\circ.\)
\(90^\circ.\)
\(60^\circ.\)
\(45^\circ.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,CD\) sao cho \(AE = \frac{1}{3}AB,CF = \frac{1}{3}CD\). Tìm giá trị \(k\) với \(k \in \mathbb{R}\) thỏa mãn đẳng thức:
\(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + k.\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}.\overrightarrow {AB} \).
\(k = \frac{2}{3}.\)
\(k = \frac{1}{3}.\)
\(k = \frac{3}{4}.\)
\(k = \frac{4}{3}.\)