20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương V (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 2y - 4z + 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2\,;\, - 4\,;\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\,;\, - 4\,;\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3\,;\,2\,;\,4} \right)\).
Đáp án đúng: C
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Trong không gian với hệ trục \[Oxyz,\] mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(A\left( {1;3; - 2} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\;2x - y + 3z + 4 = 0\) là:
\(2x - y + 3z - 7 = 0\).
\(2x + y + 3z + 7 = 0\).
\(2x + y - 3z + 7 = 0\).
\(2x - y + 3z + 7 = 0\).
Đáp án đúng: D
Có \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vì mặt (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (Q): \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\) .
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \[A\left( {1; - 2;1} \right)\], \[B\left( { - 1;3;3} \right)\], \[C\left( {2; - 4;2} \right)\]. Một vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \] của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là:
\[\overrightarrow n = \left( {4;9; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( { - 1;9;4} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {9;4; - 1} \right)\].
\[\overrightarrow n = \left( {9;4;1} \right)\].
Đáp án đúng: C
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;5;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)\) , \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {9;4; - 1} \right)\) .
Suy ra \[\overrightarrow n = \left( {9;4; - 1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm \[M\left( {2;1; - 3} \right)\] và có vec tơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 1;2)\)?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 3 - 2t\end{array} \right.\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng: D
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \[M\left( {2;1; - 3} \right)\] và có vec tơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 1;2)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = - 3 + 2t\end{array} \right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\]điểm \(A(1;1;2)\) nằm trên mặt phẳng nào sau đây:
\(x - y + 2z - 8 = 0.\)
\(x - y - 2z + 12 = 0.\)
\(x + y + 2z - 6 = 0.\)
\(x + y - 2z + 4 = 0.\)
Đáp án đúng: C
Điểm A nằm trên mặt phẳng \(x + y + 2z - 6 = 0\) vì \(1 + 1 + 2.2 - 6 = 0\) .
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\Delta \) ?
\(\left( {2;3; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1; - 4;3} \right)\)
\(\left( { - 1;1; - 2} \right)\).
\(\left( {2; - 2;4} \right)\).
Đáp án đúng: B
Thay tọa độ điểm \(\left( { - 1; - 4;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng Δ ta được \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\ - 4 = - 1 + 3t\\3 = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow t = - 1\) (đúng).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\). Tọa độ tâm Icủa mặt cầu (S) là:
\(\left( { - 1;2;1} \right)\).
\(\left( {2; - 4; - 2} \right)\).
\(\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
\(\left( { - 2;4;2} \right)\).
Đáp án đúng: A
\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) .
Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3\end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t'\\y = 1 - t'\\z = - 3\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của \(\Delta \) và \(\Delta '\) là
\(\Delta \) cắt \(\Delta '\).
\(\Delta \) và \(\Delta '\) chéo nhau.
\[\Delta {\rm{//}}\Delta {\rm{'}}\].
\(\Delta \equiv \Delta '\).
Đáp án đúng: D
Đường thẳng △ đi qua M(1; 2; −3) và có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;0} \right)\) .
Đường thẳng △' có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)\) .
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và M ∈ △'. Do đó △ ≡ △'.
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {3;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\)qua \(M\)và cắt các trục \[Ox\], \[Oy\], \[Oz\] lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) sao cho \(M\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\).
\(3x + 2y + z - 14 = 0\).
\(x + y + z - 6 = 0\).
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0\).
Đáp án đúng: B
Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) .
Vì M (P) nên \(\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\) (1).
Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {3 - a;2;1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right),\overrightarrow {BM} = \left( {3;2 - b;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\) .
Vì M là trực tâm tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\end{array} \right.\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + c = 0\\ - 3a + c = 0\\\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{c}{2}\\a = \frac{c}{3}\\\frac{{14}}{c} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\a = \frac{{14}}{3}\\c = 14\end{array} \right.\) .
Do đó (P): \(\frac{{3x}}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{14}} = 1\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = 0\) .
Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(–1; 0; 2), vuông góc với (P): 2x – 3y + 6z + 4 = 0.
(d): \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 6}}\).
(d): \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 2}}{6}\).
(d): \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 6}}\).
(d): \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{{ - 6}}\).
Đáp án đúng: C
\(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;6} \right) = - \left( { - 2;3; - 6} \right) = - \overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Đường thẳng d đi qua A(−1; 0; 2) vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;3; - 6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 6}}\) .
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) có tâm I và bán kính R.
(a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 2) và bán kính R = 3.
( b) Điểm A(0; 2; −3) nằm trong mặt cầu.
(c) Điểm J(1; 2; 3) nằm ngoài mặt cầu và khoảng cách từ tâm I đến điểm J bằng \(\sqrt {10} \).
(d) Khoảng cách từ tâm I đến tâm mặt cầu \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\) bằng \(\sqrt 2 \).
a) Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 1; −2) và bán kính R = 3.
b) Có \(IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 < R\).
Suy ra điểm A(0; 2; −3) nằm trong mặt cầu.
c) Có \(IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {30} > R\).
Điểm J(1; 2; 3) nằm ngoài mặt cầu và khoảng cách từ tâm I đến điểm J bằng \(\sqrt {30} \).
d) Mặt cầu (S') có tâm I'(0; 0; 1).
Ta có \(II' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\).
(a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).
(b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d có phương trình tổng quát là 2x + by + cz + d = 0. Khi đó b + c + d = −5.
(c) Gọi M' là điểm đối xứng với M qua d. Khi đó M'(1; 0; −2).
(d) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng d có dạng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{a} = \frac{z}{b}\). Khi đó a + b = −6.
a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).
b) Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0\).
Suy ra b = 1; c = −1; d = −5. Do đó b + c + d = −5.
c) Gọi H = d ∈ (P).
Vì H ∈ d \( \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 + t; - t} \right)\).
Mà H ∈ (P) nên 2 + 4t – 1 + t + t – 5 = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
M' là điểm đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM'. Khi đó \(M'\left( {\frac{8}{3}; - \frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).
d) Gọi N là giao điểm của △ và d.
Vì N ∈ d → N(1 + 2t; −1 + t; −t).
Có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 1;t - 2; - t} \right)\).
Vì △ ⊥ d nên \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 4t - 2 + t - 2 + t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1; - 4; - 2} \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow u \).
Đường thẳng MN đi qua M và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Suy ra a = −4; b = −2 → a + b = −6.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 4), đường thẳng \(d:\frac{{x - 10}}{7} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 15}}{8}\) và mặt phẳng (P): \(2x - y + 3z - 1 = 0\).
(a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).
(b) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 68° (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
(c) Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường thẳng d có phương trình \(\left( Q \right):7x + y + 8z - 40 = 0\).
(d) Phương trình mặt cầu tâm M và có bán kính bằng khoảng cách từ M đến (P) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).
a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\).
\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.7 + \left( { - 1} \right).1 + 3.8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{7^2} + {1^2} + {8^2}} }} = \frac{{37}}{{2\sqrt {399} }}\) \( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 68^\circ \).
c) Mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(7\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + y + 8z - 40 = 0\).
d) Ta có \(R = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1 + 3.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}\).
Phương trình mặt cầu cần lập là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(2;1;0)\) mặt phẳng \((P): - x + 2y - 4z + 4 = 0\) và mặt phẳng \((Q): - x + 2y - 4z + 10 = 0\).
(a) \((P)\) vuông góc với \((Q)\).
(b) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua hai điểm \(O\), \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) có phương trình dạng \(ax + by + 5z + d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).
(c) Khoảng cách giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((Q)\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {21} }}\).
(d) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt {21} }}\).
a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(4 \ne 10\) nên (P) // (Q).
b) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right)\), \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4;8;5} \right)\).
Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 4;8;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - 4x + 8y + 5z = 0\).
Suy ra \(a = - 4;b = 8;d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).
c) Lấy điểm B(0; 0; 1) ∈ (P).
Ta có \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {21} }}\).
d) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x + 2y - z + 3 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;2} \right),C\left( {1;3; - 2} \right)\).
(a) Điểm B cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3.
(b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là \(2x + 2y - z - 4 = 0\).
(c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
(d) Gọi H(a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (P). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a - b + 9c\) bằng −4.
a) \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.\left( { - 1} \right) - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\) .
b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 4 = 0\) .
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) .
d) Gọi d là đường thẳng đi qua C và vuông góc với (P) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\) .
Gọi H = d (P).
Vì H d \(H\left( {1 + 2t;3 + 2t; - 2 - t} \right)\) .
Mà H (P) nên \(2 + 4t + 6 + 4t + 2 + t + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{9}\) .
Suy ra \(H\left( { - \frac{{17}}{9};\frac{1}{9}; - \frac{5}{9}} \right)\) .
Suy ra \(a = - \frac{{17}}{9};b = \frac{1}{9};c = - \frac{5}{9}\) . Khi đó \(T = a - b + 9c = - \frac{{17}}{9} - \frac{1}{9} + 9.\left( {\frac{{ - 5}}{9}} \right) = - 7\) .
Đáp án: a) Sai; b) Sai ; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí A(0; 10; 0) với vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right)\). Biết góc nâng của máy bay là \(\gamma = a^\circ \)(góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng độ). Khi đó giá trị của a bằng bao nhiêu?
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Khi đó \(\sin \gamma = \frac{{\left| {40} \right|}}{{\sqrt {{{150}^2} + {{150}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}\) \( \Rightarrow \gamma \approx 11^\circ \).
Trả lời: 11.
Trong không gian \(Oxyz,\) cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(5;\;3;\;6),\;\;B(1;\;1;\;4),\;\;C(2;\;1;\;2)\) và \(D(0;\;0;\;4).\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - 2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - z + 4 = 0\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 + 2.3 - 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).
Trả lời: 2.
Trong không gian Oxyz, △ là đường thẳng đi qua điểm A(1; −1; 2), vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\), đồng thời tạo với đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) một góc lớn nhất. Biết phương trình đường thẳng có dạng \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{a} = \frac{{z - 2}}{b}\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).
Giả sử đường thẳng △ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \).
Do \(0^\circ \le \left( {\Delta ,{d_2}} \right) \le 90^\circ \) mà theo giả thiết tạo d2 góc lớn nhất nên \(\left( {\Delta ,{d_2}} \right) = 90^\circ \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \).
Lại có △ ⊥ d1 nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \). Do đó chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).
Ta có phương trình đường thẳng △ là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Vậy a = 5; b = 3 → \({a^2} + {b^2} = 34\).
Trả lời: 34.
Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ (42 × 42 cm) bằng súng tiểu liên AK trong không gian Oxyz. Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục d của nòng súng và cọc đỡ bia d' lần lượt có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Để bắn trúng hồng tâm (điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm N(a; b; c) ∈ d' và cách giao điểm của d và d' một khoảng 6 cm. Khi c < 0, tính giá trị biểu thức \(a - b + c\).
Gọi M = d ◠ d' → M(1; 2; 4).
Ta có N ∈ d' → N(1; 2; 1 + 3t') \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;0;3t' - 3} \right)\). Theo giả thiết MN = 6.
Suy ra \(\left| {3t' - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {1;2;10} \right)\\N\left( {1;2; - 2} \right)\end{array} \right.\).
Vì c < 0 nên \(N\left( {1;2; - 2} \right)\).
Vậy a = 1, b = 2, c = −2 a – b + c = −3.
Trả lời: −3.
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(2; 1; 3) với vận tốc không đổi, vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v = \left( {2;1;5} \right)\). Biết mục tiêu đặt ở vị trí có tọa độ B(8; 4; 18). Hỏi trong thời gian bao lâu (giây) viên đạn trên bay trúng mục tiêu?
Phương trìnhquỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\).
Thay tọa độ điểm B vào phương trình chuyển động của viên đạn ta được \[\left\{ \begin{array}{l}8 = 2 + 2t\\4 = 1 + t\\18 = 3 + 5t\end{array} \right. \Rightarrow t = 3\].
Vậy viên đạn bay trúng mục tiêu trong 3 giây.
Trả lời: 3.
