20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài tập cuối chương V (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: C

\(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;6} \right) = - \left( { - 2;3; - 6} \right) = - \overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Đường thẳng d đi qua A(−1; 0; 2) vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;3; - 6} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 6}}\) .

a) Mặt cầu (S) có tâm I(−1; 1; −2) và bán kính R = 3.

b) Có \(IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 < R\).

Suy ra điểm A(0; 2; −3) nằm trong mặt cầu.

c) Có \(IJ = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {30} > R\).

Điểm J(1; 2; 3) nằm ngoài mặt cầu và khoảng cách từ tâm I đến điểm J bằng \(\sqrt {30} \).

d) Mặt cầu (S') có tâm I'(0; 0; 1).

Ta có \(II' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\).

b) Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0\).

Suy ra b = 1; c = −1; d = −5. Do đó b + c + d = −5.

c) Gọi H = d ∈ (P).

Vì H ∈ d \( \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 + t; - t} \right)\).

Mà H ∈ (P) nên 2 + 4t – 1 + t + t – 5 = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

M' là điểm đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM'. Khi đó \(M'\left( {\frac{8}{3}; - \frac{5}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\).

d) Gọi N là giao điểm của △ và d.

Vì N ∈ d → N(1 + 2t; −1 + t; −t).

Có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 1;t - 2; - t} \right)\).

Vì △ ⊥ d nên \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 4t - 2 + t - 2 + t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1; - 4; - 2} \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow u \).

Đường thẳng MN đi qua M và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Suy ra a = −4; b = −2 → a + b = −6.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 7t\\y = t - 4\\z = 15 + 8t\end{array} \right.\).

b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\).

\(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.7 + \left( { - 1} \right).1 + 3.8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{7^2} + {1^2} + {8^2}} }} = \frac{{37}}{{2\sqrt {399} }}\) \( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 68^\circ \).

c) Mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {7;1;8} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(7\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + 8\left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + y + 8z - 40 = 0\).

d) Ta có \(R = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1 + 3.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {14} }}\).

Phương trình mặt cầu cần lập là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{72}}{7}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 1;2; - 4} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 4} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(4 \ne 10\) nên (P) // (Q).

b) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;0} \right)\), \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4;8;5} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua O và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 4;8;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 4x + 8y + 5z = 0\).

Suy ra \(a = - 4;b = 8;d = 0\). Khi đó \(a + b + d = 4\).

c) Lấy điểm B(0; 0; 1) ∈ (P).

Ta có \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 4 + 10} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {21} }}\).

d) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {21} }}\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.\left( { - 1} \right) - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\) .

b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 4 = 0\) .

c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) .

d) Gọi d là đường thẳng đi qua C và vuông góc với (P) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\) .

Gọi H = d  (P).

Vì H  d  \(H\left( {1 + 2t;3 + 2t; - 2 - t} \right)\) .

Mà H  (P) nên \(2 + 4t + 6 + 4t + 2 + t + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{9}\) .

Suy ra \(H\left( { - \frac{{17}}{9};\frac{1}{9}; - \frac{5}{9}} \right)\) .

Suy ra \(a = - \frac{{17}}{9};b = \frac{1}{9};c = - \frac{5}{9}\) . Khi đó \(T = a - b + 9c = - \frac{{17}}{9} - \frac{1}{9} + 9.\left( {\frac{{ - 5}}{9}} \right) = - 7\) .

Đáp án: a) Sai; b) Sai ; c) Đúng; d) Sai.

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Khi đó \(\sin \gamma = \frac{{\left| {40} \right|}}{{\sqrt {{{150}^2} + {{150}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}\) \( \Rightarrow \gamma \approx 11^\circ \).

Trả lời: 11.

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - z + 4 = 0\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 + 2.3 - 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).

Trả lời: 2.

Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Giả sử đường thẳng △ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \).

Do \(0^\circ \le \left( {\Delta ,{d_2}} \right) \le 90^\circ \) mà theo giả thiết  tạo d₂ góc lớn nhất nên \(\left( {\Delta ,{d_2}} \right) = 90^\circ \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \).

Lại có △ ⊥ d₁ nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \). Do đó chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).

Ta có phương trình đường thẳng △ là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y + 1}}{5} = \frac{{z - 2}}{3}\).

Vậy a = 5; b = 3 → \({a^2} + {b^2} = 34\).

Trả lời: 34.

Gọi M = d ◠ d' → M(1; 2; 4).

Ta có N ∈ d' → N(1; 2; 1 + 3t') \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;0;3t' - 3} \right)\). Theo giả thiết MN = 6.

Suy ra \(\left| {3t' - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {1;2;10} \right)\\N\left( {1;2; - 2} \right)\end{array} \right.\).

Vì c < 0 nên \(N\left( {1;2; - 2} \right)\).

Vậy a = 1, b = 2, c = −2  a – b + c = −3.

Trả lời: −3.

Phương trìnhquỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình chuyển động của viên đạn ta được \[\left\{ \begin{array}{l}8 = 2 + 2t\\4 = 1 + t\\18 = 3 + 5t\end{array} \right. \Rightarrow t = 3\].

Vậy viên đạn bay trúng mục tiêu trong 3 giây.

Trả lời: 3.