20 câu Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp có đáp án
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right)} .\]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}} .\]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha - 1}}}}{{\alpha - 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right){\rm{. }}} \]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^\alpha }}}{\alpha } + C{\rm{ }}} .\]
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\int {f\left( x \right)g\left( x \right)dx{\rm{ }}} = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx.} } \]
\[\int {f'\left( x \right)dx{\rm{ }}} = f\left( x \right) + C.\]
\[\int {\sin xdx{\rm{ }}} = - \cos x + C.\]
\[\int {\frac{1}{x}dx{\rm{ }}} = \ln \left| x \right| + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\] nếu
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln x}},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \ln x,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\]
Trong các mệnh đề sau, chọn mệnh đề đúng.
\[\frac{1}{x} + C\]là họ nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\]trên \[\left( {0; + \infty } \right).\]
\[3{x^2}\]là một nguyên hàm của hàm số \[y = {x^3}\]trên \[\left( { - \infty ; + \infty } \right).\]
\[\frac{1}{5}{x^4}\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{4}{5}{x^3}.\]
Hàm số \[y = 2x\]là nguyên hàm của hàm số \[y = {x^2}.\]
Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
\[\int {\frac{{dx}}{x} = \ln x + C.} \]
\[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C{\rm{ }}\left( {\alpha \ne - 1} \right).} \]
\[\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right).} \]
\[\int {\left( {n + 1} \right){x^n}dx = {n^{n + 1}} + C{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).} \]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 3\cos x - 1\] bằng
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - x + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x - x + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = 3\sin x - 1 + C.} \]
\[\int {\left( {3\cos x - 1} \right)dx = - 3\sin x + x + C.} \]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\] là
\[2x - 3 - \frac{1}{{{x^2}}} + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
\[\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln x + C.\]
Hàm số \[F\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\[f\left( x \right) = 2\sin x - 3\cos x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = 2\cos x + 3\sin x.\]
\[f\left( x \right) = - 2\cos x - 3\sin x.\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{3}{2}{e^{ - 2x}} + C.\]
\[{e^{3x}} - 3{e^{ - 2x}} + C.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x + 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x - 2.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x.\]
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \cos x + \frac{1}{2}.\]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]
\[{e^2} - e - 6.\]
\[{e^2} + e - 6.\]
\[{e^2} - e + 6.\]
\[{e^2} + e + 6.\]
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
1.
2.
3.
4.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = 2x + {e^x}\]. Tìm một nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2024.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022.\]
\[F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024.\]
Cho hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] với \[f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\] biết \[F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\]. Tính \[F\left( 2 \right)\].
\[F\left( 2 \right) = 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = - 2 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 1 + 9\ln 2.\]
\[F\left( 2 \right) = 7.\]
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x\] là
\[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
\[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C.\]
\[\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
\[\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{2} + C.\]
Biết \[\int {\sin 3x{e^x}dx = F\left( x \right) + C} \] và \[F\left( 0 \right) + C = 1\]. Khi đó C bằng
\[ - \frac{7}{{10}}.\]
\[\frac{{13}}{{10}}.\]
\[ - \frac{3}{{10}}.\]
\[\frac{3}{{10}}.\]
Giả sử \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.\] Tính tích \[P = abc\].
4.
−4.
5.
1.
Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \sin x{e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} + C.\]
\[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]
Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\] với \[x > - 3\] sao cho \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)\] bằng
\[\frac{2}{3}\ln 2 + \frac{5}{6}\ln 5.\]
\[0.\]
\[\frac{7}{3}\ln 2.\]
\[\frac{{10}}{3}\ln 2 - \frac{5}{6}\ln 5.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f\left( 1 \right) = 1\] và \[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Giá trị của \[f\left( 2 \right)\] bằng
\[\frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{3}{2}.\]
\[ - \frac{5}{2}.\]
\[\frac{5}{2}.\]
