20 Bộ đề ôn luyện thpt quốc gia môn Toán có lời giải (Đề số 5)

Chọn đáp án B

Đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{2x-1}{2x+3}$ có hai đường tiệm cận, trong đó đường tiệm cận đứng là $x=-\frac{3}{2}$ và đường tiệm cận ngang là y = 1

Chọn đáp án B

+ Đồ thị (C₁) của hàm số $y=x^3-3x^2+4$ có tâm đối xứng chính là điểm uốn U của đồ thị. Hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình $y^{\text{'}\text{'}}=0$

+ Đồ thị (C₂) của hàm số $y=-x^4+x^2-3$ không có tâm đối xứng, tuy nhiên đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng (do hàm số là hàm chẵn).

+ Đồ thị (C₃) của hàm số $y=\frac{5x+2}{x-1}$ có tâm đối xứng là điểm $I\left(1;5\right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Chọn đáp án B

Từ giả thiết, ta có hệ phương trình

Chọn đáp án C

- Phương án A: Sai. Vì hàm số $y=3^x$ luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ 

- Phương án B: Sai. Vì hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ luôn nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$.

- Phương án C: Đúng. Trên đồ thị hàm số $y=3^x$ lấy một điểm $A\left(a;3^a\right)$ bất kì.

Khi đó điểm đối xứng với A qua trục tung là $B\left(-a;3^a\right)$

Suy ra $y_B=3^a=\frac{1}{3^{-a}}=\frac{1}{3^{x_B}}$ và điểm B luôn luôn nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3^x}$ cố định.

Suy ra đồ thị hàm số $y=3^x$ và $y=\frac{1}{3^x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ đối xứng nhau qua trục tung.

- Phương án D: Sai. Vì đồ thị hàm số $y=3^x$ luôn đi qua điểm (3;27) chứ không phải điểm (3;1).

Ngoài ra, đồ thị hàm số $y=3^x$ còn luôn đi qua điểm (1;3).

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Đặt $t=2\sin x\Rightarrow dt=2\cos xdx$. Đổi cận

Suy ra

$I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(2\sin x\right).\cos xdx$= 3 

Chọn đáp án C

$I={\int }_{-1}^2\left[x+2f\left(x\right)+3g\left(x\right)\right]dx$

$\Rightarrow I=\frac{5}{2}$

Chọn đáp án B

Gọi các kích thước của khối hộp là a (cm), b(cm), c (cm) với a, b, c là các số nguyên dương.

Từ giả thiết ta có

Lại có $9=b+c\ge 2\sqrt{bc}\Rightarrow bc\le \frac{81}{4}$

Mà b, c là các số nguyên dương nên $bc\le 20$ 

Từ b +c =9

$\Rightarrow$ trong hai số b, c có 1 số lẻ và 1 số chẵn $\Rightarrow$ bc chẵn.

Từ $a=\frac{42}{bc}$ và a nguyên dương nên bc là ước nguyên dương của 42.

Nếu bc =6 thì b, c là nghiệm của phương trình $X^2-9X+6=0$ (loại vì nghiệm của phương trình này không là số nguyên).

Nếu bc =14 thì b, c là nghiệm của phương trình

$\Rightarrow bc=14$ thỏa mãn. Vậy chiều cao của khối hộp là $a=\frac{42}{bc}=3\left(cm\right)$

Chọn đáp án A

Ta có $w=z-z^{\text{'}}=4+3i$

$\Rightarrow \left|w\right|=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Chọn đáp án B

Áp dụng công thức $V=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$ với $V=36\mathrm{\pi },\mathrm{r}=3$ ta có

Chọn đáp án C

Ta có $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\left(0;2;-1\right),\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=\left(-1;1;2\right)$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=\left(-1;m+2;p\right)$.

Suy ra $\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right]=\left(5;1;2\right)$

$\Rightarrow \left[\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right].\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=m+2p-3$ 

Để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng thì $\left[\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right].\stackrel{\rightharpoonup }{AD}$

$\iff m+2p=3$

Chọn đáp án D

Đặt $z=x+yi,\left(x,y\in \mathrm{ℝ}\right)$

Suy ra z có điểm biểu diễn là $M\left(x;y\right)$ 

Ta có

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình

Chọn đáp án A

Ta có $F\left(x\right)=\int \left(e^x+\cos x\right)dx$=$e^x+\sin x+C$

Chọn đáp án A

Điều kiện:

Ta có $\log \left(x^2-7x+12\right)=\log \left(2x-8\right)$

 $\iff x^2-9x+20=0$

Loại nghiệm $x=4$ do không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Chọn đáp án D

Vậy hình 1 không phải là khối đa diện.

Chọn đáp án D

* Với $m-1=0\iff m=1$thì hàm số đã cho trở thành $y=x+1$

Hàm số này có đồ thị là một đường thẳng và hàm số luôn đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ 

* Với $m-1\ne 0\iff m\ne 1$thì hàm số đã cho là một hàm số bậc ba có đạo hàm là

Do phương trình $y^{\text{'}}=0$ có nhiều nhất hai nghiệm trên $\mathrm{ℝ}$ nên để hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Do $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $m\in \left\{2;3;4\right\}$

Vậy có 4 giá trị m nguyên để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ là $m\in \left\{1;2;3;4\right\}$

Chọn đáp án D

Trong khoảng $\left(-\infty ;0\right)$

ta có $f\left(x\right)>0$ và $g\left(x\right)<0$ nên phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)$vô nghiệm. Phương án A đúng.

Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$

Ta có bảng biến thiên:

Xét hai hàm số $y_1=f\left(x\right)$ và $y_2=g\left(x\right)-1$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$

Suy ra phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)-1$có ít nhất một nghiệm trên $\left(0;+\infty \right)$. Phương án D sai.

Chọn đáp án D

+ Quan sát bảng biến thiên, ta thấy $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(1;+\infty \right)$

nên hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;1\right), \left(1;+\infty \right)$,  và hàm số không có cực trị. Phương án A, B đúng.

+ Ta vẽ lại bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ như sau:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ không có cực trị và phương trình $f\left(x\right)=0$ có đúng một nghiệm đơn thuộc $\left(-\infty ;1\right)$ nên hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$ có $0+1=1$ điểm cực trị,

hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ có 2.0 +1= 1 điểm cực trị. Phương án C đúng, phương án D sai

Chọn đáp án B

Ta thấy hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ nên a >1; hàm số $y={\log }_{b}x$ nghịch biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nên 0 <b <1

Chọn đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\sqrt{1-x^2}=0\iff x=\pm 1$

Thể tích cần tính là

$\Rightarrow V=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$ (đvtt).

Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB. Từ giả thiết ta có $SH\perp \left(ABCD\right)$ 

Suy ra

$\Rightarrow SHC$ vuông cân tại H.

Do $∆BHC$ vuông tại H nên

$\Rightarrow SH=HC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ 

Thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{5}}{6}\left(đvtt\right)$ là

Chọn đáp án B

Ta có

Mặt phẳng (P) có một vec-tơ pháp tuyến là $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=\left(1;2;3\right)$ 

Do $∆\perp \left(P\right)$ nên hai vec-tơ $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ và $\stackrel{\rightharpoonup }{n}$ cùng phương.

Khi đó  

Chọn đáp án A

Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm $\left(x_0;y_0\right)$ là:

$y=y^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$ 

Từ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ đạo hàm hai vế theo biến x ta được

Phương trình tiếp tuyến là

Chia cả hai vế của (1) cho $a^2{b}^2$ ta được

Chọn đáp án A

Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M ; (Q) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng b và M.

Giả sử c là đường thẳng đi qua M, c cắt cả a và b.

Suy ra

Vậy chỉ có một đường thẳng đi qua M cắt cả a và b.

Chọn đáp án C

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và B trên cạnh CD.

Suy ra ABHK là hình chữ nhật và AB =HK = 1

Quay hình thang ABCD quanh cạnh AB, ta được một khối tròn xoay có thể tích là $V =V_1 -2V_2$ Trong đó:

+ V₁ là thể tích của khối trụ có bán kính đáy r =AH =1 chiều cao h =CD =3

Ta có $V=V_1-2V_2$ (đvtt).

+ V₂ là thể tích của khối nón có bán kính đáy r =AH -1; chiều cao $h^{\text{'}}=DH=1$

Ta có $V_2=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2{\mathrm{h}}^{\text{'}}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(\mathrm{đvtt}\right)$ (đvtt).

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=3\mathrm{\pi }-2.\frac{1}{3}\mathrm{\pi }=\frac{7}{3}\mathrm{\pi }$ (đvtt)

Chọn đáp án D

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ ta có bảng biến thiên dưới đây:

Đặt $t=f\left(x\right)$ với $x\in \left[-1;2\right]$ thì $\frac{13}{4}\le t\le 6$

Ta có $g\left(x\right)=t^3-3t$

Xét hàm số $h\left(t\right)=t^3-3t$ trên đoạn $\left[\frac{13}{4};6\right]$ 

Ta có $h^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2-3;h^{\text{'}}\left(t\right)=0$

Lại có $h\left(\frac{13}{4}\right)=\frac{1573}{64}; h\left(6\right)=198$

Suy ra

Vậy