2 bài tập Đường tròn liên quan đến ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy (có lời giải)

Cho tam giác\(ABC\) có ba góc nhọn, \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(BE\), \(CF\) là các đường cao và \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AEHF\) cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai \[I\] (\[A\] không trùng với \[I\]). Chứng minh hai tam giác \[IBC\] và \[IFE\] đồng dạng với nhau.

c) Hai đường thẳng \[BC\] và \[EF\] cắt nhau tại \[K\]. Chứng minh ba điểm \[A,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\]thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác BD \(\left( {K \in AB,\;D \in AC} \right)\). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.

a) Chứng minh tứ giác CDKI nội tiếp.

b) Chứng minh AC.AD = DH.AB.

c) Gọi F là trung điểm của AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M ( M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.