19 bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai có đáp án

a) \[\sqrt {96.125}  = \sqrt {{2^5}{{.3.5}^3}}  = \sqrt {{2^4}{{.5}^2}.30}  = 20\sqrt {30} \].

b) \[\sqrt {{a^4}{b^5}}  = {a^2}{b^2}\sqrt b \].

c) \[\sqrt {{a^6}{b^{11}}}  = \left| {{a^3}.{b^5}} \right|\sqrt b \].

d) Với \(a > 1:\) \[\sqrt {{a^3}{{\left( {1 - a} \right)}^4}}  = \sqrt {{a^2}.a.{{\left[ {{{\left( {1 - a} \right)}^2}} \right]}^2}}  = a{\left( {1 - a} \right)^2}\sqrt a \].

a) Với \[x \ge 0\]: \[x\sqrt {13}  = \sqrt {13{x^2}} \].

b) Với \[x < 0\]:\[x\sqrt 2  =  - \sqrt {2{x^2}} \].

c) Với \[x < 0\]:\[x\sqrt { - \frac{{11}}{x}}  =  - \sqrt { - \frac{{11}}{x}{x^2}}  =  - \sqrt { - 11x} \].

a) Ta có \(\sqrt {50}  - \sqrt {32}  + 3\sqrt 8  = \sqrt {25.2}  - \sqrt {16.2}  + 3\sqrt {4.2}  = 5\sqrt 2  - 4\sqrt 2  + 3.2.\sqrt 2  = 7\sqrt 2 \).

b) \(\sqrt {25a}  + 2\sqrt {160a}  - 3\sqrt {10a}  = \sqrt {25.10a}  + 2.\sqrt {16.10a}  - 3\sqrt {10a} \)

\( = 5\sqrt {10a}  + 2.4.\sqrt {10a}  - 3\sqrt {10a}  = 10\sqrt {10a} \).

c) \(\left( {2\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)\sqrt 7  - \sqrt {84}  = 2\sqrt 7 .\sqrt 7  + \sqrt 3 .\sqrt 7  - \sqrt {4.21} \)

\( = 2.7 + \sqrt {21}  - 2\sqrt {21}  = 14 - \sqrt {21} \).

d) \(\left( {\sqrt {63}  - \sqrt 8  - \sqrt 7 } \right)\sqrt 7  + 2\sqrt {14}  = \sqrt {63} .\sqrt 7  - \sqrt 8 .\sqrt 7  - \sqrt 7 .\sqrt 7  + 2\sqrt {14} \)

\( = \sqrt {9.7.7}  - 2\sqrt 2 .\sqrt 7  - 7 + 2\sqrt {14}  = 3.7 - 2\sqrt {14}  - 7 + 2\sqrt {14}  = 14\).

a) \(\left( {\sqrt {2x}  - 1} \right)\left( {2x + \sqrt {2x}  + 1} \right) = \left( {\sqrt {2x}  - 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} + \sqrt {2x} .1 + {1^2}} \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^3} - 1 = 2x\sqrt 2 x - 1\).

b) \(\left( {\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left( {x - 2\sqrt {xy}  + 4y} \right) = \left( {\sqrt x  + 2\sqrt y } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .2\sqrt y  + {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {2\sqrt y } \right)^3} = x\sqrt x  + 8y\sqrt y \).

c) \(\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x  - \sqrt y } \right) = \sqrt x .2\sqrt x  - \sqrt x .\sqrt y  + \sqrt y .2\sqrt x  - \sqrt y .\sqrt y \)

\( = 2x - \sqrt {xy}  + 2\sqrt {xy}  - y = 2x + \sqrt {xy}  - y\).

a) Với \(x > 0,\,y > 0\):

\(\frac{{\left( {x\sqrt y  - y\sqrt x } \right)\left( {2\sqrt y  + 2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt {xy} }} = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)2.\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{2\sqrt {xy} }}\)\( = \left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right) = x - y.\)

Vậy \(\frac{{\left( {x\sqrt y  - y\sqrt x } \right)\left( {2\sqrt y  + 2\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt {xy} }} = x - y\) với \(x > 0,\,y > 0\).

b) Với \(x \ge 5\):

\({\left( {\sqrt 5  + \sqrt {x - 5} } \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.\sqrt 5 .\sqrt {x - 5}  + {\left( {\sqrt {x - 5} } \right)^2}\)\( = 5 + 2\sqrt {5x - 25}  + x - 5 = x + 2\sqrt {5x - 25} \).

Vậy \(x + 2\sqrt {5x - 25}  = {\left( {\sqrt 5  + \sqrt {x - 5} } \right)^2}\) với \(x \ge 5\).

Ta có: \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}}  = 2\frac{{\sqrt {60} }}{{20}} = 2.\frac{{2\sqrt {15} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\]

\[\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{{60}}}  = \frac{{\sqrt {60} }}{{60}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{60}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{30}}\\\sqrt {\frac{1}{{15}}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\end{array}\]

Vậy \[2\sqrt {\frac{3}{{20}}}  + \sqrt {\frac{1}{{60}}}  - \sqrt {\frac{1}{{15}}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{5} + \frac{{\sqrt {15} }}{{30}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}} = \sqrt {15} \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{30}} - \frac{1}{{15}}} \right) = \frac{{\sqrt {15} }}{6}\].

a) Ta có \(\frac{9}{{\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{3} = 3\sqrt 3 \)

b) \[\frac{3}{{\sqrt 5  - \sqrt 2 }} = \frac{{3\left( {\sqrt 5  + \sqrt 2 } \right)}}{{5 - 2}} = \sqrt 5  + \sqrt 2 \]

c). \[\frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}}{{2 - 1}} = 3 + 2\sqrt 2 \]

d) \(\frac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{5 - 3}} = \frac{{8 - 2\sqrt {15} }}{2} = 4 - \sqrt {15} \)

e) \(\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a  + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} = 1 + \sqrt a  + a\)

f) \(\frac{1}{{\sqrt {18}  + \sqrt 8  - 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 2  - 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{6}\)

g) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}}{{3 + 2\sqrt 2  - 3}} = \frac{{1 + \sqrt 2  + \sqrt 3 }}{2}\)

h) \(\frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 2  - \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2  + \sqrt 5 }}{{5 + 2\sqrt 6  - 5}} = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2  + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3  + \sqrt {30} }}{{12}}\).

a) \(A = \frac{1}{{7 + 4\sqrt 3 }} + \frac{1}{{7 - 4\sqrt 3 }} = \frac{{7 - 4\sqrt 3  + 7 + 4\sqrt 3 }}{{49 - 48}} = 14\)

b) \[B = \frac{{15}}{{\sqrt 6  + 1}} + \frac{4}{{\sqrt 6  - 2}} - \frac{{12}}{{3 - \sqrt 6 }} - \sqrt 6  = \frac{{15\left( {\sqrt 6  - 1} \right)}}{{6 - 1}} + \frac{{4\left( {\sqrt 6  + 2} \right)}}{{6 - 4}} - \frac{{12\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - \sqrt 6 \].

\[ = 3\left( {\sqrt 6  - 1} \right) + 2\left( {\sqrt 6  + 2} \right) - 4\left( {3 + \sqrt 6 } \right) - \sqrt 6  =  - 11\]

a). Ta có \[\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \frac{{2b}}{{a - b}}{\rm{   (a}} \ge {\rm{0}}{\rm{,b}} \ge {\rm{0}}{\rm{,a}} \ne {\rm{0);}}\]

\[\begin{array}{l}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) - \sqrt b \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}} - \frac{{2b}}{{a - b}}\\ = \frac{{a + \sqrt {ab}  - \sqrt {ab}  + b}}{{a - b}} - \frac{{2b}}{{a - b}}\end{array}\]

\[ = \frac{{a - b}}{{a - b}} = 1\]

b). Ta có \[\frac{{a\sqrt b  + b}}{{a - b}}\sqrt {\frac{{ab + {b^2} - 2\sqrt {a{b^3}} }}{{a\left( {a + 2\sqrt b } \right) + b}}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right){\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right).\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\sqrt {\frac{{b\left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)}}{{{a^2} + 2a\sqrt b  + b}}} \left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}.\sqrt {\frac{{b{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{{{{\left( {a + \sqrt b } \right)}^2}}}} \\ = \frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}.\frac{{\sqrt b \left( {a + \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}} = b\end{array}\]

a) Điều kiện: \[x \ge 1\]

\[\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sqrt {x - 1}  - \frac{3}{2}\sqrt {9x - 9}  + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{64}}}  =  - 17{\rm{ }} \Leftrightarrow x = 290.\\\frac{1}{2}\sqrt {x - 1}  - \frac{3}{2}\sqrt {9(x - 1)}  + 24\sqrt {\frac{{x - 1}}{{{8^2}}}}  =  - 17{\rm{ }}\\\frac{1}{2}\sqrt {x - 1}  - \frac{9}{2}\sqrt {x - 1}  + \frac{{24}}{8}\sqrt {x - 1}  =  - 17 \Leftrightarrow  - \sqrt {x - 1}  =  - 17 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 17\\x - 1 = 289\\x = 290.\end{array}\]

Đối chiếu với điều kiện ta được: \[x = 290.\]

b) (Điều kiện \[x \ge 0\]

\[\begin{array}{l}3x - 7\sqrt x  + 4 = 0\\3x - 3\sqrt x  - 4\sqrt x  + 4 = 0\\3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {3\sqrt x  - 4} \right) = 0\end{array}\]

\[3\sqrt x  - 4 = 0\] hoặc \[\sqrt x  - 1 = 0\]

\[\sqrt x  = \frac{4}{3}\] hoặc \[\sqrt x  = 1\]

\[x = \frac{{16}}{9}\] hoặc \[x = 1\]

Đối chiếu với điều kiện ta được: \[x = \frac{{16}}{9};x = 1\].

c) Điều kiện \[x \ge 0\]

\[\begin{array}{l} - 5x + 7\sqrt x  + 12 = 0\\ - 5x - 5\sqrt x  + 12\sqrt x  + 12 = 0\\ - 5\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( { - 5\sqrt x  + 12} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt x  + 1 = 0\] hoặc \[ - 5\sqrt x  + 12 = 0\]

\[\sqrt x  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt x  = \frac{{12}}{5}\]

\[x = \frac{{144}}{{25}}.\]

Đối chiếu điều kiện ta được: \[x = \frac{{144}}{{25}}.\]

a) (ĐK\[{\rm{ a}} \ge 0\])

\[\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a \left( {{{\sqrt a }^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1 = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {a - \sqrt a  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\\,\,\,\,\, = a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 1 + 1 = a - \sqrt a \end{array}\]

b) Với \[{\rm{ a}} \ge 1\] hay \[\sqrt a  \ge 1\] nên \[\sqrt a  - 1 \ge 0\] và \[a \ge 1\], suy ra \[a \ge 0\]

Suy ra \[A = a - \sqrt a  = \sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) \ge 0\]

Khi đó \[A \ge 0 \Rightarrow \left| A \right| = A\]

Vậy \[\left| A \right| = A\].

c) Tìm \(a\) để \(A = 2\)

\[\begin{array}{l}a - \sqrt a  = 2\\a - \sqrt a  - 2 = 0\\a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt a  + 1} \right) = 0\\\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) = 0\end{array}\]

\[\sqrt a  + 1 = 0\] hoặc \[\sqrt a  - 2 = 0\]

\[\sqrt a  =  - 1\] (vô nghiệm) hoặc \[\sqrt a  = 2\].

\[a = 4\]

Đối chiếu điều kiện ta được \[a = 4\] thì \[{\rm{A = 2}}\].

d). \[A = a - \sqrt a  = a - 2\sqrt a \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\]

Vì \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\] với mọi a.

Nên \[{\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\] với mọi a.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \[ - \frac{1}{4}\] khi và chỉ khi \[\sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\]

a). Điều kiện \[ - 1 < a < 1\]

\[\begin{array}{l}B = \left( {\frac{3}{{\sqrt {a + 1} }} + \sqrt {1 - a} } \right):\left( {\frac{3}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + 1} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - a} .\sqrt {a + 1} }}{{\sqrt {a + 1} }}} \right):\left( {\frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {1 - {a^2}} }}} \right) = \frac{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }}{{\sqrt {a + 1} }}.\frac{{\sqrt {a + 1} .\sqrt {1 - a} }}{{3 + \sqrt {1 - {a^2}} }} = \sqrt {1 - a} \end{array}\]

b). Với \[a = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }};\]Khi đó:

\[B = \sqrt {1 - a}  = \sqrt {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}}  = \sqrt {\frac{{2 + \sqrt 3  - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}}  = \sqrt {\frac{{2.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}}  = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{{4 - 3}}}  = \sqrt 3  + 1\]

c). Với \[ - 1 < a < 1\], ta có:\[{\rm{ }}\sqrt B  > B\] hay \[\sqrt B \left( {1 - {\rm{ }}\sqrt B } \right) > 0\]

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B  > 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B  > 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}B > 0\\{\rm{ }}\sqrt B  < 1\end{array} \right.\], suy ra \[0 < B < 1\].

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt B  < 0\\1 - {\rm{ }}\sqrt B  < 0\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Khi đó \[0 < \sqrt {1 - a}  < 1\] hay \[0 < 1 - a < 1\] nên \[0 < a < 1.\]

Kết hớp với điều kiện \[ - 1 < a < 1\] ta được \[0 < a < 1\]

Vậy \[0 < a < 1\] thì\[{\rm{ }}\sqrt B  > B\].

a). Với \(a \ge 0\), ta có: \(3\sqrt {2a}  - \sqrt {18{a^3}}  + 4\sqrt {\frac{a}{2}}  - \frac{1}{4}\sqrt {128a} \)

\( = 3\sqrt {2a}  - 3a\sqrt {2a}  + 2\sqrt {2a}  - 2\sqrt {2a} \)

\( = 3\sqrt {2a}  - 3a\sqrt {2a}  = 3\left( {1 - a} \right)\sqrt {2a} .\)

b). Với \(x > y > 0\), ta có: \(2y\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{a}{{ax - ay}}}  - \sqrt {{x^3} - {x^2}y} \)

\( = 2y\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{a}{{a\left( {x - y} \right)}}}  - \sqrt {{x^2}\left( {x - y} \right)} \)

\( = 2y\sqrt {x - y}  - \left| x \right|\sqrt {x - y}  + x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}}  - x\sqrt {\frac{1}{{x - y}}} \)

\( = \sqrt {x - y} \left( {2y - x} \right)\) (do \(x > 0\)).

c). Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), ta có:
\(\frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{\sqrt a  - \sqrt b }} + \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = \frac{{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}\)

\( = \frac{{a + 2\sqrt {ab}  + b + a - 2\sqrt {ab}  + b}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}} = \frac{{2a + 2b}}{{a - b}}\).

a). Ta có: \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 2}} - \frac{2}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 )}} - \frac{2}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}}\)

\( = \frac{{\sqrt 2  - 1 - 2 + 2 + 2\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 (\sqrt 2  + 1)}} = \frac{3}{{\sqrt 2  + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\)

b). Ta có: \(\frac{{2 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }} = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\( = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} }} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{2 + \sqrt 5  + 1}} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{2 - \sqrt 5  + 1}} = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt {10} }}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt {10} }}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left( {2\sqrt 2  + \sqrt {10} } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + \left( {2\sqrt 2  - \sqrt {10} } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{6\sqrt 2  - 2\sqrt {10}  + 3\sqrt {10}  - \sqrt {50}  + 6\sqrt 2  + 2\sqrt {10}  - 3\sqrt {10}  - \sqrt {50} }}{{9 - 5}}\)

\( = \frac{{12\sqrt 2  - 2\sqrt {50} }}{4} = \frac{{12\sqrt 2  - 10\sqrt 2 }}{4} = \frac{{2\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

a) \({\rm{VT}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {{a^2} + {x^2}}  + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}{{{a^2} + {x^2} - \left( {{a^2} - {x^2}} \right)}} - \sqrt {\frac{{{a^4} - {x^4}}}{{{x^4}}}} \)\( = \frac{{2{a^2} + 2\sqrt {{a^4} - {x^4}} }}{{2{x^2}}} - \frac{{\sqrt {{a^4} - {x^4}} }}{{{x^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}}\)

b) Chú ý: \(5 + 2\sqrt 6  = {(\sqrt 3  + \sqrt 2 )^2}\).

c) \(x\sqrt x  - y\sqrt y  = {(\sqrt x )^3} - {(\sqrt y )^2} = (\sqrt x  - \sqrt y )(x + \sqrt {xy}  + y)\).

a) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\), ta có:\(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2 + 2x - 4\sqrt x  - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

b) Khi \(A = 2\) ta được \(\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\sqrt x  = 2\left( {\sqrt x  + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16{\rm{ }}(tm{\rm{ }}x \ge 0,x \ne 4)\)

Vậy \(x = 16\).

a) Với điều kiện: \(a > b > 0\), ta có:\(B = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \left( {1 + \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}} \right):\frac{b}{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \frac{{\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}}  + a} \right)}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}.\frac{{\left( {a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} } \right)}}{b}\\ = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} - \frac{b}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }} = \frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} = \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \end{array}\)

b) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}b\) thay vào ta được \(B = \sqrt {\frac{{\frac{3}{2}b - b}}{{\frac{3}{2}b + b}}}  = \sqrt {\frac{{\frac{1}{2}b}}{{\frac{5}{2}b}}}  = \sqrt {\frac{1}{5}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

c) Khi \(B < 1\) ta có: \(\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}}  < 1 \Leftrightarrow \) \(\frac{{\sqrt {a - b} }}{{\sqrt {a + b} }} < 1 \Leftrightarrow \sqrt {a - b}  < \sqrt {a + b} \)

\( \Leftrightarrow a - b < a + b \Leftrightarrow  - b < b \Leftrightarrow 2b > 0 \Leftrightarrow b > 0.\)

Vậy với \(a > b > 0\) thì \(B < 1.\)

a) ĐK: \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có:

\(C = \left( {\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\)

\( = \frac{{ - \sqrt x {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {1 - x} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)\)

b) Ta có:\(C > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x  > 0 \Leftrightarrow 1 > \sqrt x  \Rightarrow 0 \le x < 1.\)

c) Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có\(C = \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) = \sqrt x  - x =  - \left( {x - \sqrt x } \right) =  - \left( {x - 2\sqrt x .\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) =  - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)

Vì \( - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \ge 0\) nên \( - {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\).

Do đó: \(C \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \ge 0\)

GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(\sqrt x  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.\)

Vậy GTLN của \(C = \frac{1}{4}\) khi \(x = \frac{1}{4}\).

Ta có: \[\left( {\frac{{2\sqrt {xy} }}{{x - y}} + \frac{{\sqrt x  - \sqrt y }}{{2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  - \sqrt x }}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{4\sqrt {xy}  + {{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  - \sqrt x }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}}.\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  - \sqrt x }}\\ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} + \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x  - \sqrt y }}\end{array}\]

\( = \frac{{\sqrt x  - \sqrt y }}{{\sqrt x  - \sqrt y }} = 1\) (đpcm).

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.