15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều tạo Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số có đáp án
15 câu hỏi
I. Nhận biết
Cho biểu thức \(A < 0.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sqrt {{A^2}} = A\).
\(\sqrt {{A^2}} = - A\).
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).
\(\sqrt {{A^2}} = - \left| A \right|\).
Đáp án đúng là: B
Với \(A < 0,\) ta có: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = - A\).
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\sqrt {AB} = \sqrt A \cdot \sqrt B \) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0.\)
\(\sqrt {AB} = \sqrt { - A} \cdot \sqrt { - B} \) với \(A < 0,\,\,B < 0\).
\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0.\)
\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt { - A} }}{{\sqrt { - B} }}\) với \(A < 0,\,\,B < 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) khi \(A \ge 0,\,\,B > 0.\)
Cho biểu thức \(A \ge 0,\,\,B < 0\), khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sqrt {A{B^2}} = A\sqrt B \).
\(\sqrt {A{B^2}} = - A\sqrt B \).
\(\sqrt {A{B^2}} = - B\sqrt A \).
\(\sqrt {A{B^2}} = B\sqrt A \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {A{B^2}} = \sqrt A .\sqrt {{B^2}} = \sqrt A \cdot \left| B \right| = - B\sqrt A \) (do \(B < 0\)).
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Nếu \(a\) là một số dương và \(b\) là một số không âm thì \(\sqrt {{a^2}b} = a\sqrt b \).
Nếu \(a\) và \(b\) là hai số không âm thì \(\sqrt {{a^2}b} = a\sqrt b \).
Nếu \(a\) là một số âm và \(b\) là một số không âm thì \(a\sqrt b = \sqrt {{a^2}b} \).
Với các biểu thức \(A,B\) và \(B > 0\), ta có: \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\).
Đáp án đúng là: C
Nếu \(a\) là một số âm và \(b\) là một số không âm thì \(a\sqrt b = - \sqrt {{a^2}b} \) nên phương án C là khẳng định sai.
Vậy ta chọn phương án C.
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B > 0.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
\[\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\].
\(\frac{1}{{A + \sqrt B }} = \frac{{A - \sqrt B }}{{{A^2} - B}}\).
\(\frac{1}{{A - \sqrt B }} = \frac{{A + \sqrt B }}{{{A^2} - B}}\).
\(\frac{1}{{B - \sqrt B }} = \frac{{B - \sqrt B }}{{{B^2} - B}}\).
Đáp án đúng là:
Với \(B > 0,\) ta có:
⦁ \[\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\];
⦁ \(\frac{1}{{A + \sqrt B }} = \frac{{A - \sqrt B }}{{\left( {A + \sqrt B } \right)\left( {A - \sqrt B } \right)}} = \frac{{A - \sqrt B }}{{{A^2} - B}}\);
⦁ \[\frac{1}{{A - \sqrt B }} = \frac{{A + \sqrt B }}{{\left( {A - \sqrt B } \right)\left( {A + \sqrt B } \right)}} = \frac{{A + \sqrt B }}{{{A^2} - B}}\];
⦁ \(\frac{1}{{B - \sqrt B }} = \frac{{B + \sqrt B }}{{\left( {B - \sqrt B } \right)\left( {B + \sqrt B } \right)}} = \frac{{B + \sqrt B }}{{{B^2} - B}}.\)
Vậy phương án D là khẳng định sai, ta chọn phương án D.
II. Thông hiểu
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{3}} - 3\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{27}}} \) với \(a > 0,\) ta được kết quả là
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\(a\sqrt 3 \).
\( - \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
\( - a\sqrt 3 \).
Đáp án đúng là: A
Với \(a > 0,\) ta có: \(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{3}} - 3\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{27}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} }}{{\sqrt 3 }} - 3 \cdot \frac{{\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {{3^2} \cdot 3} }} = \frac{{\left| {2a} \right|}}{{\sqrt 3 }} - \frac{{3 \cdot \left| a \right|}}{{3\sqrt 3 }}\)
\( = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} - \frac{a}{{\sqrt 3 }}\) (do \(a > 0\) nên \(\left| a \right| = a)\)
\( = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy ta chọn phương án A.
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {{a^2}{{\left( {5 - a} \right)}^2}} \) với \(a > 5\) ta được kết quả là
\(a\left( {5 - a} \right)\).
\(a\left( {5 + a} \right)\).
\(a\left( {a - 5} \right)\).
\( - a\left( {5 + a} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {{a^2}{{\left( {5 - a} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left[ {a\left( {5 - a} \right)} \right]}^2}} \)\( = \left| {a\left( {5 - a} \right)} \right|.\)
Với \(a > 5\) ta có \(a > 0\) và \(5 - a < 0\) nên \(a\left( {5 - a} \right) < 0,\) do đó \[ = \left| {a\left( {5 - a} \right)} \right| = a\left( {a - 5} \right).\]
Như vậy, \(\sqrt {{a^2}{{\left( {5 - a} \right)}^2}} = \left| {a\left( {5 - a} \right)} \right| = a\left( {a - 5} \right).\)
Vậy ta chọn phương án C.
Giá trị biểu thức \(\sqrt {\frac{{5{a^6}}}{{4{b^2}}}} \) với \(b \ne 0\) bằng
\(\frac{{5{a^3}}}{{4b}}\).
\(5{a^2}\left| {\frac{a}{{2b}}} \right|\).
\(\frac{{\sqrt 5 {a^3}}}{{2b}}\).
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2}{a^2}\left| {\frac{a}{b}} \right|\).
Đáp án đúng là: D
Với \(b \ne 0\), ta có: \[\sqrt {\frac{{5{a^6}}}{{4{b^2}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 {a^3}} \right)}^2}}}{{{{\left( {2b} \right)}^2}}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 5 {a^3}}}{{2b}}} \right)}^2}} = \left| {\frac{{\sqrt 5 {a^3}}}{{2b}}} \right| = \frac{{\sqrt 5 }}{2}{a^2}\left| {\frac{a}{b}} \right|\].
Vậy ta chọn phương án D.
Với \(xy \ne 0\) thì biểu thức \(0,3{x^3}{y^2}\sqrt {\frac{9}{{{x^4}{y^8}}}} \) bằng
\(\frac{{0,9x}}{{{y^2}}}\).
\(\frac{{0,9\left| x \right|}}{{{y^2}}}\).
\[\frac{{0,3x}}{{{y^2}}}\].
\(\frac{{0,3\left| x \right|}}{{{y^2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Với \(xy \ne 0\), ta có: \(0,3{x^3}{y^2}\sqrt {\frac{9}{{{x^4}{y^8}}}} \)\( = 0,3{x^3}{y^2} \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{{x^2}{y^4}}}} \right)}^2}} \)
\( = 0,3{x^3}{y^2} \cdot \left| {\frac{3}{{{x^2}{y^4}}}} \right| = 0,3{x^3}{y^2} \cdot \frac{3}{{{x^2}{y^4}}}\)\( = \frac{{0,9x}}{{{y^2}}}\).
Khử mẫu biểu thức \( - xy\sqrt {\frac{1}{{xy}}} \) với \(x\) và \(y\) cùng dấu, ta được kết quả là
\(\sqrt {xy} \)
\( - \sqrt {xy} \).
\(1\).
\( - 1\).
Đáp án đúng là: B
Với \(x\) và \(y\) cùng dấu, ta có: \( - xy\sqrt {\frac{1}{{xy}}} = - xy \cdot \frac{1}{{\sqrt {xy} }} = - xy \cdot \frac{{\sqrt {xy} }}{{xy}} = - \sqrt {xy} .\)
Rút gọn biểu thức \(\frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{x - 2\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta được kết quả là
\(\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).
\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)
\(\sqrt x + 2.\)
\(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}.\)
Đáp án đúng là: D
Với \(x > 0,\,\,x \ne 4\), ta có: \(\frac{{x - 4\sqrt x + 4}}{{x - 2\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}.\)
Vậy ta chọn phương án D.
Với \(x \ge 0,\) biểu thức \(\frac{1}{{2 - \sqrt x }}\) viết dưới dạng \(\frac{{a\sqrt x + b}}{{x - 4}}\) với \(a,\,b\) là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(a - 2b\) bằng
\( - 3.\)
\(5\).
\(3\)
\( - 5.\)
Đáp án đúng là: C
Với \(x \ge 0,\) ta có: \[\frac{1}{{2 - \sqrt x }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{ - \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{ - \sqrt x - 2}}{{x - 4}}.\]
Khi đó, ta có \(a = - 1,\,\,b = - 2\) nên \(a - 2b = - 1 - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 3.\)
Vậy ta chọn phương án C.
III. Vận dụng
Áp suất \[P\,\,\left( {{\rm{lb/}}\,{\rm{i}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}} \right)\] cần thiết để ép nước qua một ống dài \[L\,\,\left( {{\rm{ft}}} \right)\] và đường kính \[d\] (in) với tốc độ \[v\] (ft/s) được cho bởi công thức: \(P = 0,00161 \cdot \frac{{{v^2}L}}{d}\) (Nguồn: Engineering Problems Illustrating Mathematics, John W. Cell, năm 1943). Biểu thức biểu diễn của \[v\] theo \[P,\,\,L\] và \[d\] là
\(v = \sqrt {\frac{{Pd}}{{0,00161L}}} \).
\(v = P\sqrt {\frac{d}{{0,00161L}}} \).
\(v = d\sqrt {\frac{P}{{0,00161L}}} \).
\(v = L\sqrt {\frac{{Pd}}{{0,00161}}} \).
Đáp án đúng là: A
Từ công thức \(P = 0,00161.\frac{{{v^2}L}}{d}\), ta có: \({v^2}L = \frac{{Pd}}{{0,00161}}\)
Khi đó \({v^2} = \frac{{Pd}}{{0,00161L}}\) nên \(v = \sqrt {\frac{{Pd}}{{0,00161L}}} \) (do \(v > 0).\)
Vậy biểu thức biểu diễn của \[v\] theo \[P,\,\,L\] và \[d\] là \(v = \sqrt {\frac{{Pd}}{{0,00161L}}} \).
Trong thuyết tương đối, khối lượng \[m\] (kg) của một vật khi chuyển động với vận tốc \[v\] (m/s) được cho bởi công thức \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\), trong đó \({m_0}\) là khối lượng của vật khi đứng yên; \[c\] (m/s) là vận tốc của ánh sáng trong chân không. Khối lượng \[m\] của vật còn có thể được tính bằng công thức nào dưới đây?
\[m = \frac{{{m_0}.\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\].
\[m = \frac{{{m_0}}}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\].
\[m = {m_0}.\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \].
\[m = \frac{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \frac{{{m_0} \cdot \sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{{{\left( {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} } \right)}^2}}} = \frac{{{m_0} \cdot \sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\].
Vậy \[m = \frac{{{m_0} \cdot \sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}{{1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}}}\].
Giả sử các căn thức đều có nghĩa. Nếu \(\sqrt {x + 10} - \sqrt {x - 10} = 4\) thì \(\sqrt {x + 10} + \sqrt {x - 10} \) bằng
\( - 4\).
\(4\).
\(5\).
\( - 5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\left( {\sqrt {x + 10} - \sqrt {x - 10} } \right) \cdot \left( {\sqrt {x + 10} + \sqrt {x - 10} } \right) = x + 10 - x + 10 = 20\).
Suy ra \(\sqrt {x + 10} + \sqrt {x - 10} = \frac{{20}}{{\sqrt {x + 10} - \sqrt {x - 10} }} = \frac{{20}}{4} = 5.\)
Vậy ta chọn phương án C.
