11 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 2. Phép quay có đáp án

Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: \(\frac{{(5 - 2){{.180}^0}}}{5}\, = \,{108^0}\)

Mỗi góc của ngũ lục đều bằng: \(\frac{{(6 - 2){{.180}^0}}}{6}\, = \,{120^0}\)

Mỗi góc của bát giác đều bằng: \(\frac{{(8 - 2){{.180}^0}}}{8}\, = \,{135^0}\)

Gọi \[n\] là số cạnh của đa giác đều.

Ta có \[\frac{{\left( {n - 2} \right).180^\circ }}{n} = 135^\circ \]

nên \[\frac{{n - 2}}{n} = \frac{{135}}{{180}} = \frac{3}{4}\].

Do đó \[4\left( {n - 2} \right) = 3n\].

Vậy \[n = 8\].

a) \(\widehat {AOC} = \frac{{360^\circ }}{5}.2 = 144^\circ \)

Phép quay thuận chiều \(144^\circ \) tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \[C\] thì các điểm \(B,C,D,E\) tương ứng biến thành các điểm \[D,E,A,B\]

b) Các phép quay tâm \(O\) giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho là:

⦁ Năm phép quay thuận chiều \[\alpha ^\circ \] tâm \[O\] với \[\alpha ^\circ \]lần lượt nhận các giá trị\[72^\circ ;144^\circ ;216^\circ ;288^\circ ;360^\circ \] .

⦁ Năm phép quay ngược chiều \[\alpha ^\circ \] tâm \[O\] với \[\alpha ^\circ \] lần lượt nhận các giá trị \[72^\circ ;144^\circ ;216^\circ ;288^\circ ;360^\circ \]

Cách dựng: Phép quay ngược chiều 90^o tâm A , biến điểm B biến thành điểm \(B'\).

Xác định điểm \({{\rm{B}}^\prime }\) theo hướng dẫn sau:

Vẽ đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) và tia \(Ax\) sao cho BAx^=90°, tia \(Ax\) cắt đường tròn \(\left( {A;AB} \right)\) tại điểm \(B'\).

Tương tự ta dựng được c điểm \({\rm{C'}}\).

a) Phép quay ngược chiều \({72^^\circ }\) tâm O biến điểm A biến B thì các điểm \(B,C,D,E\) lần lượt biến thành các điểm \(C,D,E\)và A .

b) Ba phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều:

1. Phép quay ngược chiều \({144^^\circ }\);

2. Phép quay ngược chiều \({216^^\circ }\);

3. Phép quay thuận chiều \({72^^\circ }\).

Bạn hãy tìm thêm những phép quay còn lại giữ nguyên hình ngũ giác đều.

Phép quay thuận chiều \({60^^\circ }\) tâm O biến điểm M thành điểm N là hình d , vì ta có \(OM = ON\) và MON^=60°

Phép quay ngược chiều 60^o tâm O biến A thành D. Ta có: \(OD = OA\) và AOD^=60° nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều \[ \Rightarrow AD = OA = OD = R\] (R là bán kính đường tròn \(\left( O \right)\)).

Chứng minh tương tự, ta có: \(BE = CF = R\)\( \Rightarrow AD = BE = CF = R(*)\)

Tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn \(\left( {\rm{O}} \right)\), ta có: \({\rm{OD}} = {\rm{OA}} = {\rm{OB}}\) (1)

Lại có AOB^=120° mà AOD^=60° (cmt) ⇒DOB^=60°(2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác \(DOB\) là tam giác đều.

Chứng minh tương tự các tam giác \(EOC\) và \(FOA\) cũng là tam giác đều.\( \Rightarrow DB = EC = EA = R\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**)\( \Rightarrow AD = DB = BE = EC = CE = EA\left( { = R} \right)\left( 3 \right)\)

Dễ thấy \(\widehat {{\rm{ADB}}} = \widehat {{\rm{DBE}}} = \widehat {{\rm{BEC}}} = \widehat {{\rm{ECF}}} = \widehat {{\rm{CFA}}} = \widehat {{\rm{FAD}}}\) (4)

Từ (3) và \((4) \Rightarrow ADBECF\) là một lục giác đều.

Đa giác đều 12 cạnh \[ABCDEFGHIKLM\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) (Xem hình vẽ).

Ta có: AOB^=360°12=30° và AOB^=BOC^=COD^=DOE^=…=30°

Và \(OA = OB = OC = OD = \ldots \) (bán kính đường tròn ngoại tiếp)

Ta chọn phép quay thuận chiều (hoặc ngược chiều) góc quay 30°,60°,90°,120° biến đa giác đã cho thành chính nó.

Diện tích là \(259,8:6 = 43,3\left( {\;c{m^2}} \right)\). Ta có \(\widehat {FOE} = 360^\circ :6 = 60^\circ \).

Do đó \(\widehat {OEH} = 60^\circ \) ( \(\Delta OFE\) là tam giác đều). Diện tích \(\Delta OFE:S = \frac{1}{2}.OH.EF = \frac{1}{2}EF.\sqrt {O{E^2} - H{E^2}} \).

Mà \(OE = EF;HE = \frac{1}{2}EF\).

Nên \(S = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot \sqrt {F{E^2} - {{\left( {\frac{1}{2}EF} \right)}^2}} = \frac{1}{2}.EF.\sqrt {F{E^2} - \frac{1}{4}F{E^2}} = \frac{1}{2}.EF.\sqrt {\frac{3}{4}F{E^2}} = \frac{{F{E^2}}}{4}\sqrt 3 \).

Suy ra \(43,3 = \frac{{F{E^2}}}{4}\sqrt 3 \Rightarrow F{E^2} = \frac{{43,3.4}}{{\sqrt 3 }} \approx 100 \Rightarrow FE = \sqrt {100} = 10\left( {\;cm} \right)\).

Lưu ý: Diện tích tam giác đều có cạnh \(a\) là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Bán kính hình tròn: \(20:2 = 10\left( {\;cm} \right)\).

Vì \(\Delta OAB\) là tam giác đều nên diện tích tam giác là: \(\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} = 25\sqrt 3 \left( {\;c{m^2}} \right)\).

Diện tích gương là \(25\sqrt 3 .6 \approx 260\left( {\;c{m^2}} \right)\).

Vì vòng quay mặt trời gồm mười hai cabin nên hai cabin liền kề cách nhau một góc bằng: \(360^\circ :12 = 30^\circ \)

Do vậy để cabin \(A\) di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm một góc bằng: \(30^\circ .4 = 120^\circ \)