10 bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua M(0; −2; 1) và có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;0;3} \right)\).
3x – 5y – z – 9 = 0;
3x – 5y – z + 9 = 0;
3x + 5y – z + 9 = 0;
3x – 5y + z – 9 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 5; - 1} \right)\) nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 3x – 5y – z – 9 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
2y + 3z – 11 = 0;
2x – 3y – 11 = 0;
x – 3y + 2z – 5 = 0;
3y + 2z – 11 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2; 4; 1) suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là 0(x – 2) + 8(y – 4) + 12(z – 1) = 0 2y + 3z – 11 = 0.
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; −1), B(−1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P).
2x – y + 3 = 0;
x + z = 0;
−x + y + z = 0;
3x – y + z = 0.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right).\]
Khi đó, \[\overrightarrow {{n_Q}} = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_P},} \,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;\,\,0;\,\,1} \right).\]
Mặt phẳng (Q) nhận \[\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)\] làm 1 vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 2; –1) nên có phương trình là:
1.(x ‒ 1) + 0.(y ‒ 2) + 1.(z + 1) = 0 hay x + z = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – z = 0 có phương trình là
4x – 3y + 2z + 3 = 0;
4x – 3y – 2z + 3 = 0;
2x + y – 3z – 1 = 0;
4x + y – 2z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)\), vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q): \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P): 4x – 3(y – 1) – 2z = 0 4x – 3y – 2z + 3 = 0.
Cho hai mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 7 = 0, (β): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả (α) và (β) là:
2x – y – 2z = 0;
2x – y + 2z = 0;
2x + y – 2z = 0;
2x + y – 2z + 1 = 0.
Đáp án đúng là: C
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α), (β) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Suy ra mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 2z = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 4; 1), B(−1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 11 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a + b + c = 5;
a + b +c = 15;
a + b + c = −5;
a + b + c = −15.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;8;12} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q): 0(x + 1) + 8(y – 1) + 12(z – 3) = 0 2y + 3z – 11 = 0.
Do đó a = 0; b = 2; c = 3. Do đó a + b + c = 5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): ax + by + cz – 9 = 0 chứa hai điểm A(3; 2; 1), B(−3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.
S = −12;
S = 2;
S = −4;
S = −2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)\); \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)\) .
Phương trình mặt phẳng (P): 2(x – 3) + 9(y – 2) – 15(z – 1) = 0
2x + 9y – 15z – 9 = 0.
Suy ra a = 2; b = 9; c = −15. Do đó a + b + c = 2 + 9 + (−15) = −4.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 1; 1) và hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 1 = 0, (Q): y = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
3x – y + 2z – 4 = 0;
3x + y – 2z – 2 = 0;
3x – 2z = 0;
3x – 2z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1;0} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3;0;2} \right)\).
Mặt phẳng (R) có phương trình là −3x + 2z + 1 = 0 3x − 2z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A(0; 1; 0), B(2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 1 = 0 là:
x – y + z – 1 = 0;
x + y – z + 1 = 0;
x – y – z – 1 = 0;
x + y – z – 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;1} \right)\). Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 1(x – 0) + 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0
x + y – z – 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(−1; 3; 1), B(1; −1; 2), C(2; 1; 3), D(0; 1; −1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:
8x + 3y – 4z + 3 = 0;
x + 2y + 6z – 11 = 0;
x + 2z – 4 = 0;
2x + y – 1 = 0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;0; - 4} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {16;6; - 8} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P): 16(x + 1) + 6(y – 3) – 8(z – 1) = 0
8x + 3y – 4z + 3 = 0.
