10 bài tập Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải
10 câu hỏi
Cho hàm số y = f(x) có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1\] và\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - 1\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = −1.
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1.
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án D.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
y = −2;
y = 1;
x = −1;
x = 2.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\).
Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 1}}{{x - 1}}\) là
y = 1;
\(y = \frac{1}{5}\);
\(y = - 1\);
y = 5.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5\).
Suy ra y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\) là
x = 2;
x = −2;
x = 1;
x = −1.
Đáp án đúng là: C
Tập xác định D = ℝ\{1}.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \,\infty \,;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \,\infty \), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\) là:
x = 2;
x = 0;
x = 1;
x = −1.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \).
Vậy tiệm cận đứng là: x = −1.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) có tiệm cận xiên là đường thẳng:
y = x;
y = x – 1;
y = 2x – 1;
y = x + 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\).
Vậy tiệm cận xiên là: y = x + 1.
Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận xiên?
y = x2;
y = x3 – 3x + 4;
\[y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\];
\[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\].
Đáp án đúng là: D
Hàm số đa thức bậc hai và ba không có tiệm cận nên loại phương án A và B.
Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) chỉ có tiệm cận đứng và ngang nên loại phương án C.
Ta có: \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0.\]
Vậy hàm số \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\] có tiệm cận xiên y = x.
Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}}\). Tọa độ giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:
(−2; 3);
(2; 1);
(2; −1);
(3; 2).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0\].
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 1.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \).
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là (2; −1).
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}}\) là
0;
2;
1;
0.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}\] \[ = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\]
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2\] nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng y = 2.
Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \] và
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty \] nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −2. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) có đồ thị (C).
Chọn câu sai?
Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của (C);
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C);
Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞);
Đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của (C).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{2 + \frac{4}{x}}} = \frac{2}{2} = 1\).
y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}} = + \infty \) nên x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có \(y' = \frac{{10}}{{{{\left( {2x + 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2\). Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2 ) và (−2 ; +∞). Do đó hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 4}}\) đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞).
