10 bài tập Tích vô hướng và ứng dụng có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2; - 4; - 2} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng
8;
−8;
12;
−12.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8\).
Trong không gian Oxyz, côsin của góc tạo bởi hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0; - 2;1} \right)\) là
\(\frac{4}{5}\);
\( - \frac{4}{5}\);
\(\frac{4}{{25}}\);
\( - \frac{4}{{25}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 1} \right).0 + 2.\left( { - 2} \right) + 0.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{4}{5}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3; - 2;m} \right),\overrightarrow b = \left( {2;m; - 1} \right)\) với m là tham số nhận giá trị thực. Tìm giá trị của m để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau.
m = 1;
m = 2;
m = −1;
m = −2.
Đáp án đúng là: B
Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
\( \Leftrightarrow 3.2 + \left( { - 2} \right).m + m.\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của m để góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) bằng 60°?
1;
0;
2;
3.
Đáp án đúng là: A
Ta có:\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{ - m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{ - m}}{{\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2}} }}\).
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{m^2} - 1 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow m = - 1\).
</>
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; −2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2). Cosin của góc \(\widehat {BAC}\) là
\(\frac{9}{{\sqrt {35} }}\);
\( - \frac{9}{{\sqrt {35} }}\);
\( - \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\);
\(\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\).
Ta có \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} .\sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;1;0} \right)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\).
14;
16;
22;
10.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( { - 3;4;3} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1.\left( { - 3} \right) + 2.4 + 3.3 = 14\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; −1; 2), B(5; 2; 1) và C(2; 0; 3). M(x; 0; 0) trên trục Ox sao cho AM BC. Tìm x.
x = −5;
x = 1;
x = 2;
x = −1.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 2;2} \right)\).
Ta có AM BC \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = 0\)
(x – 1).(−3) + 1.(−2) + (−2).2 = 0 x – 1 = −2 x = −1.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; 3; −4). Khoảng cách từ I đến trục Ox bằng
2;
5;
\(\sqrt {13} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: B
Gọi H là hình chiếu của I trên trục Ox. Khi đó H(2; 0; 0).
Khi đó khoảng cách từ I đến trục Ox bằng IH \( = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} = 5\).
A. Bài 9. Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
A. (0; −9; 9);
B. (0; 6; 9);
C. (0; 9; −9);
D. (0; 6; −9).
Đáp án đúng là: D
B. Gọi I là trung điểm của BC.
C. Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} = 2.\frac{3}{2}\overrightarrow {AG} = 3\overrightarrow {AG} = \left( {0;6; - 9} \right)\).
D. Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m + 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1; - 3;2} \right)\). Với giá trị nào của m sau đây thì \(\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3\)?
A. 4;
B. 0;
C. 2;
D. −3.
Đáp án đúng là: B
A. Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( {m + 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).2 = - 3\left( {m + 1} \right)\).
B. Để \(\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = 3\)\( \Leftrightarrow 3\left| {m + 1} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left| {m + 1} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\).
Cho tam giác ABC biết A(2; −1; 3) và trọng tâm của tam giác có tọa độ là G(2; 1; 0). Khi đó AB→+AC→ có tọa độ là
(0; −9; 9);
(0; 6; 9);
(0; 9; −9);
(0; 6; −9).
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm của BC.
Khi đó AB→+AC→=2AI→=2.32AG→=3AG→=(0;6;−9).
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→=(2;m+1;−1) và b→=(1;−3;2). Với giá trị nào của m sau đây thì |a→⋅b→|=3?
4;
0;
2;
−3.
Đáp án đúng là: B
Ta có a→.b→=2.1+(m+1).(−3)+(−1).2=−3(m+1).
Để |a→⋅b→|=3⇔3|m+1|=3⇔|m+1|=1⇔[m+1=1m+1=−1⇔[m=0m=−2.
