10 bài tập Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn có lời giải
10 câu hỏi
Tứ giác nào sau đây luôn nội tiếp được đường tròn?
Hình thoi.
Hình bình hành.
Hình thang.
Hình chữ nhật.
Đáp án đúng là: D
Hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn, có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định dưới đây.
Tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.
Cả A và B đều đúng.
Cả A và B đều sai.
Đáp án đúng là: C
Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên BD
⊥ AC và CE ⊥ AB.
Suy ra \[\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \].
Xét ∆AEH vuông tại E nên H, E, A thuộc đường tròn đường kính AH (1)
Xét ∆ADH vuông tại D nên D, A, H thuộc đường tròn đường kính AH (2).
Từ (1) và (2) suy ra A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra ADHE là tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác BCDE. Gọi O là trung điểm của BC.
Vì BD, CE là các đường cao của ∆ABC nên DB ⊥ AC và CE ⊥ AB.
Suy ra \[\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \].
Xét tam giác BDC, có \[\widehat {BDC} = 90^\circ \] và DO là trung tuyến nên OD = OC = OB = \[\frac{1}{2}BC\].
Xét tam giác BEC có \[\widehat {BEC} = 90^\circ \] và EO là trung tuyến nên OE = OC = OB = \[\frac{1}{2}BC\].
Từ đấy suy ra OE = OC = OB = OD.
Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm BC.
Tứ giác ở hình nào dưới đây là tứ giác nội tiếp?
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Hình 5.
Đáp án đúng là: C
Trong các hình trên, nhận thấy Hình 4 là tứ giác nội tiếp.
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chọn câu đúng
AHCK là tứ giác nội tiếp.
AHCK không nội tiếp đường tròn.
\[\widehat {EAO} = \widehat {HCK}\].
AH.AB = AD.BD.
Đáp án đúng là: A
Xét (O) có CH
⊥ AB (gt) nên \[\widehat {CHA} = 90^\circ \]; CK ⊥ AK (gt) nên \[\widehat {CKA} = 90^\circ \].
Có ∆CAH vuông tại H nên H, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Có ∆CKA vuông tại K nên K, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Do đó, K, H, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Suy ra AHCK là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh được ∆HAD ᔕ ∆DAB (g.g) nên \[\frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}\] hay AH.AB = AD2.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF, Bx của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó, tứ giác OBDF là
Hình thang.
Hình thang cân.
Tứ giác nội tiếp.
Hình bình hành.
Đáp án đúng là: C
Xét tứ giác BDFO, có:
\[\widehat {DBO} = \widehat {OFD} = 90^\circ \] nên
bốn điểm B, O, D, F cùng thuộc đường tròn đường kính DO.
Hay BOFD là tứ giác nội tiếp.
Cho hình vẽ sau.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây
Bốn điểm M, Q, N, C nằm trên một đường tròn.
Bốn điểm A, N, M, B nằm trên một đường tròn.
Đường tròn qua ANB có tâm là trung điểm của đoạn AB.
Bốn điểm A, B, M, C nằm trên một đường tròn.
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\widehat {BNA} = 90^\circ ,\widehat {AMB} = 90^\circ \].
Xét ∆BAN vuông tại N nên B, A, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
Xét ∆AMB vuông tại M nên A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
Do đó, A, N, M, B cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc cung nhỏ AC (cung CM bé hơn cung AM). Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC tại I. Khẳng định đúng là
MICH là hình chữ nhật.
MICH là hình vuông.
MICH không là tứ giác nội tiếp.
MICH là tứ giác nội tiếp.
Đáp án đúng là: D
Xét tứ giác IMHC, ta có:
\[\widehat {MIC} = 90^\circ ,\widehat {CHM} = 90^\circ \].
Suy ra M, I, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính MC.
Do đó, tứ giác IMHC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Nhận thấy, tứ giác IMHC chưa đủ điều kiện để trở thành hình chữ nhật hay hình vuông.
Do đó, chọn đáp án D.
Cho hình vẽ bên, số tứ giác nội tiếp được đường tròn là
Có 3 tứ giác nội tiếp.
Có 4 tứ giác nội tiếp.
Có 5 tứ giác nội tiếp.
Có 6 tứ giác nội tiếp.
Đáp án đúng là: B
Nhận thấy có 4 tứ giác nội tiếp.
• Tứ giác NHMB nội tiếp do bốn điểm N, H, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH.
• Tứ giác PHMC nội tiếp do bốn điểm P, H, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC.
• Tứ giác BNPC nội tiếp do bốn điểm B, N, P, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
• Tứ giác NHPA nội tiếp do bốn điểm N, H, P, A cùng thuộc đường tròn đường kính AH.
Cho hình vẽ sau. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.
Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.
Tứ giác DEFC nội tiếp đường tròn.
\[\widehat {DEF} + \widehat {FCD} = 180^\circ \].
Tứ giác DEFC không nội tiếp đường tròn.
Đáp án đúng là: D
• Quan sát hình vẽ, nhận thấy bốn điểm A, B, C, D đều thuộc đường tròn nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
• Có ∆DEC vuông tại E nên D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC.
Có ∆DFC vuông tại F nên F, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC.
Từ đây, suy ra D, E, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính DC hay tứ giác DEFC nội tiếp.
• Vì tứ giác DEFC nội tiếp đường tròn nên \[\widehat {DEF} + \widehat {FCD} = 180^\circ \] (tính chất).
Do đó, ý D sai.
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại E. Khi đó:
(I). Tứ giác ABCD nội tiếp.
(II). Tứ giác ABCE nội tiếp.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
Chỉ (I) đúng.
Chỉ (II) đúng.
Cả (I), (II) đều đúng.
Cả (I), (II) đều sai.
Đáp án đúng là: A
• Ta có \[\widehat {MDC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC nên \[\widehat {MDC} = 90^\circ \] (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét ∆ABC vuông tại A nên A, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Xét ∆BDC vuông tại D nên D, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Do đó, A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác ABCD nội tiếp.
• Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\] (cùng nhìn đoạn AD).
Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M, C, D, E cùng thuộc đường tròn nên tứ giác MCED là tứ giác nội tiếp.
Suy ra \[\widehat {MDA} = \widehat {ECM}\] (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (1)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) nên \[\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\] (cùng nhìn đoạn AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {BCA} = \widehat {ACE}\] \[\left( { = \widehat {ADB}} \right)\].
Hay CA là phân giác của \[\widehat {ECB}\]
• Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp thì \[\widehat {AEB} = \widehat {BCA}\] (hai góc cùng nhìn đoạn AB)
Mà \[\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\]; \[\widehat {BDA} \ne \widehat {BEA}\] (xét trong đường tròn đường kính CM).
Suy ra \[\widehat {BCA} \ne \widehat {BEA}\], do đó tứ giác ABCE không nội tiếp.
Do đó, ý (II) sai.
