10 Bài tập Cách sử dụng các kí hiệu với mọi, tồn tại (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho mệnh đề: “∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇒ x2 < 9”.
Mệnh đề trên được phát biểu như thế nào?
Tồn tại số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9;
Với mọi số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9;
Không có số thực x nào mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9;
Có duy nhất một số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9.
Đáp án đúng là: B.
Ta có mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x < 3 ⇒ x2 < 9” được phát biểu như sau:
“Với mọi số thực x mà nếu số đó bé hơn 3 thì bình phương của nó bé hơn 9”.
Đối chiếu với các đáp án, ta thấy phương án B là hợp lý nhất.
Cho mệnh đề sau: “… x ∈ ℝ, 4x2 – 1 = 0”.
Chỗ trống trong mệnh đề trên có thể điền kí hiệu nào dưới đây để mệnh đề đúng?
∀;
∃;
Cả hai kí hiệu ∀ và ∃ đều được;
Không có kí hiệu nào thỏa mãn.
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
4x2 – 1 = 0 (*) ⇔ x2 = 14 ⇔ x = 12 hoặc x = -12.
Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị của x là x = 12 và x = -12 thỏa mãn.
Vì vậy ta dùng kí hiệu ∃ cho mệnh đề trên.
Mệnh đề “Mọi số chẵn đều chia hết cho 2” có mệnh đề phủ định là:
Mọi số chẵn đều không chia hết cho 2;
Có ít nhất một số chẵn chia hết cho 2;
Mọi số chẵn đều không chia hết cho 2;
Có ít nhất một số chẵn không chia hết cho 2.
Đáp án đúng là: D.
Ta có :
+ Phủ định của “mọi” là “có ít nhất”.
+ Phủ định của “chia hết” là “không chia hết”.
Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là “Có ít nhất một số chẵn không chia hết cho 2”.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
∃x ∈ ℤ, x2 – 4 = 0;
∀x ∈ ℤ, x2 + 1 chia hết cho 3;
∀x ∈ ℤ, x2 > x;
∃x ∈ ℤ, x2 + 1 = 0.
Đáp án đúng là: A.
A. Ta có:
x2 – 4 = 0 (*) ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2.
Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.
Do đó mệnh đề ở câu A đúng.
B. Giả sử với x = 0 thì x2 + 1 = 02 + 1 = 1 không chia hết cho 3.
Do đó mệnh đề trên dùng kí hiệu “với mọi” là sai.
Vì vậy mệnh đề ở câu B sai.
C. Ta giả sử với x = 0.
⇒ x2 = 02 = 0 = x.
Do đó mệnh đề trên dùng kí hiệu “với mọi” là sai.
Vì vậy mệnh đề ở câu C sai.
D. Ta có:
x2 + 1 = 0 (**) ⇔ x2 = – 1 (vô nghiệm vì x2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0).
Suy ra không có giá trị nguyên x nào thỏa mãn phương trình (**).
Do đó mệnh đề ở câu D sai.
Cho hai mệnh đề sau:
A: “∀x ∈ ℝ: x2 – 4 ≠ 0” ;
B: “∃x ∈ ℝ: x2 = x”.
Xét tính đúng sai của hai mệnh đề trên.
A đúng, B sai;
A sai, B đúng;
A đúng, B đúng;
A sai, B sai.
Đáp án đúng là: B.
- Xét mệnh đề A, ta có:
x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⟺ x = 2 hoặc x = – 2.
Ta thấy phương trình x2 – 4 = 0 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2, hay nói cách khác là có hai giá trị để x2 – 4 bằng 0.
Do đó mệnh đề A dùng kí hiệu “với mọi” là sai.
Vậy mệnh đề A sai.
- Xét mệnh đề B, ta có:
x2 = x ⇔ x2 – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Ta thấy phương trình x2 = x có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình x2 = x tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 0 và x = 1 thỏa mãn.
Do đó mệnh đề B đúng.
Vậy mệnh đề A sai, mệnh đề B đúng.
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các bạn học sinh x trong lớp 10A1, P(x) là mệnh đề chứa biến “x đạt học sinh giỏi”. Mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” khẳng định rằng:
Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A1 đều đạt học sinh giỏi;
Bất cứ ai đạt học sinh giỏi đều học lớp 10A1;
Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi;
Tất cả các bạn học sinh trong lớp 10A1 đều không đạt học sinh giỏi.
Đáp án đúng là: C.
Ta có mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” được phát biểu như sau:
“Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi”.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án C là phù hợp nhất.
Mệnh đề “∀x ∈ ℤ, x2 + 1 > 0” được phát biểu là:
Với mọi số nguyên x, ta có x2 + 1 luôn lớn hơn 0;
Tồn tại duy nhất một số nguyên x để x2 + 1 luôn lớn hơn 0;
Tồn tại ít nhất một số nguyên x để x2 + 1 luôn lớn hơn 0;
Không có số nguyên nào thỏa mãn bất đẳng thức x2 + 1 > 0.
Đáp án đúng là: A.
Mệnh đề “∀x ∈ ℤ, x2 + 1 > 0” được phát biểu như sau:
Với mọi số nguyên x, ta có x2 + 1 luôn lớn hơn 0.
Đối chiếu các đáp án, ta thấy đáp án A là phù hợp nhất.
Mệnh đề nào sau đây sai?
∀x ∈ ℕ, x ≤ 2x;
∀x ∈ ℝ, x≥ 0;
∃x ∈ ℕ, x2 = x;
∀x ∈ ℝ, x > 0.
Đáp án đúng là: D.
A. Mệnh đề “∀x ∈ ℕ, x ≤ 2x” được phát biểu như sau:
“Với mọi số tự nhiên x, ta luôn có bất phương trình x ≤ 2x”.
Ta thấy mệnh đề này đúng vì mọi số tự nhiên x luôn thỏa mãn x ≤ 2x.
B. Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x ≥ 0” được phát biểu như sau:
“Với mọi số thực x thì căn bậc hai số học của số đó luôn lớn hơn hoặc bằng 0”.
Mệnh đề này đúng vì căn bậc hai số học của một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
C. Mệnh đề “∃x ∈ ℕ, x2 = x” được phát biểu như sau:
“Tồn tại ít nhất một số tự nhiên x để bình phương của một số bằng chính số đó”.
Ta có:
x2 = x ⇔ x2 – x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Ta thấy phương trình x2 = x có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình x2 = x tồn tại hai giá trị của x là x = 0 và x = 1 thỏa mãn, chính là tồn tại số tự nhiên để bình phương của nó bằng chính nó.
Do đó mệnh đề ở câu C đúng.
D. Mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x > 0” được phát biểu như sau:
“Mọi số thực x luôn luôn lớn hơn 0”.
Mệnh đề này sai vì số thực x có thể âm hoặc bằng 0.
Cho mệnh đề : “∀x ∈ ℝ, x3 – 5x + 6 ≥ 0”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:
∃x∈ℝ, x3 – 5x + 6 ≥0;
∀x∈ℝ, x3 – 5x + 6 <0;
∀x∉ℝ, x3 – 5x + 6 ≥0;
∃x∈ℝ, x3 – 5x + 6 <0.
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
+ Phủ định của “∀” là “∃”.
+ Phủ định của “≥” là “<”.
Do đó mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: “∃x∈ℝ, x3 – 5x + 6 <0”.
Cho các mệnh đề sau:
(1) ∀x∈ℝ,|x|>1⇒x>1.
(2) ∃x∈ℤ,2x2 –8=0.
(3) ∀x ∈ℕ, 2x + 1 là số nguyên tố.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B.
(1) Thay x = – 1 vào mệnh đề (1) ta có:
|– 1| > 1 ⇒– 1 > 1 (vô lý).
Do đó mệnh đề (1) sai.
(2) Ta có:
2x2 –8=0 (*) ⇔2x2 –8⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = – 2.
Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, hay nói cách khác phương trình (*) tồn tại hai giá trị nguyên của x là x = 2 và x = – 2 thỏa mãn.
Do đó mệnh đề (2) đúng.
(3) Thay x = 3 vào mệnh đề (3) ta có:
23 + 1 = 8 + 1 = 9.
Ta thấy 9 không phải là số nguyên tố vì số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó nên mệnh đề (3) sai.
