Trắc nghiệm Toán 11 Bài 6: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc có đáp án (Mới nhất)
138 câu hỏi
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ).
Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c .
Đáp án C.
+) Đáp án A sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ chỉ phương.
+) Đáp án B sai vì có thể là góc 90o
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b ).
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) .
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a và b song song.
Đáp án B.
+) Đáp án A sai vì khi đường thẳng đó vg với mặt phẳng.
+) Đáp án C, D: Vẽ hình thấy có vô số đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn.
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (Q) (hoặc (R) trùng với (Q) ).
Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì mặt phẳng (R) song song với mặt phẳng (Q) .
Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Đáp án B.
+) Đáp án A sai vì vì có thể là vuông.
+) Đáp án C sai vì chẳng hạn (Q) và (R) cắt nhau, (P) là mặt phẳng phân giác.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là α. Khi đó tanαnhận giá trị nào trong các giá trị sau:
tanα=22
tanα=1
tanα=2
tanα=3
Đáp án B.
Ta có: CD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥SAD⇒α=SDA^.
Mà △SDA vuông cân tại A nên SDA^=450
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Xét mặt phẳng (A'BD), trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Góc giữa mặt phẳng (A'BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
Góc giữa mặt phẳng (A'BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng nhau.
Góc giữa mặt phẳng (A'BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng α mà tanα=12
Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Đáp án A.
Đáp án B, C vì giả sử ta xác định góc giữa (A'BD) và (ABCD) là góc A'IA^ với I là trung điểm của BD và
cosAIA'^=AI2+A'I2−AA'22.AI.A'I=a222+a622−a22.a22.a62=2a24+6a24−a22a2124=4a22a212=13
⇒cosα=13⇒tanα≠12
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một mặt bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Có hai cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
Có ba cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
Có năm cặp mặt phẳng vuông góc nhau.
Đáp án B.
Giả sử hình chóp đó là S.ABCD . Ta có SAB⊥ABCD;SAB⊥SAD;SAD⊥ABCD
Cho hình lập phương ABCD.EFGH, hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→, DH→?
45o
90o
120o
60o
Đáp án B.
AB→;DH→=DC→;DH→=900
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu a và b cùng vuông góc với thì a // b .
Nếu a // b , c⊥a thì c⊥b
Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b
Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng α và c//α thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c .
Đáp án B.
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, ASB^=BSC^=CSA^. Hãy xác định góc giữa SB và AC.
60o
120o
45o
90o
Đáp án D.
Từ giả thiết suy ra các mặt của hình chóp đều là các tam giác đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SC, BC . Giả sử cạnh hình chóp đều là a thì MN=NP=a2;MP⊥SA vì tam giác SAPcân tại P.
PM=a322−a22=3a24−a24=a22;cosMNP^=MN2+NP2−MP22.MN.NP=a24+a24−2a242.a2.a2
cosMNP^=0⇒SB,AC^=900
Cách 2: Lấy I là trung điểm của AC ta có: AC⊥SIB⇒AC⊥SB
Cách 3: SB→.AC→=SB→SC→−SA→=SB→.SC→−SB→.SA→=0
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là
120o
60o
90o
30o
Đáp án C.
Gọi I là trung điểm của AB⇒AB⊥(IDC)⇒AB⊥CD
Ngoài ra ta cũng có thể sử dụng tích vô hướng để giải quyết bài toán này.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' . Giả sử tam giác AB'C, A'DC' là các tam giác nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc nào sau đây?
AB'C^
DA'C^
BB'C^
DAC^
Đáp án B.
Ta có: AC//A'C'⇒AC,A'D^=A'C',A'D^=DA'C'^ (góc nhọn).
Trong các mện đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án A.
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA và BD. Khi đó góc giữa AB và CD là:
JIK^
ABC^
IJK^
JKI^
Đáp án A.
Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA = a và vuông góc với (ABC). Tính góc giữa SD và BC
60o
90o
45o
arctan2
Đáp án C.
Ta có: AD//BC⇒SD,BC^=SD,AD^=ADS^=450
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Cho AB = 2a, CD = 2a2 và MN = a5. Tính góc φ=AB,CD^
135o
60o
90o
45o
Đáp án D.
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác: IN//CD;IN=12CD=a2IM//AB;IM=12AB=a
⇒φ=AB,CD^=IM,IN^. Áp dụng định lý cosin ta có:
cosφ=IM2+IN2−MN22.IM.IN=−22=22⇒φ=450
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC, SA = a, tam giác ABC đều cạnh a. Tính góc giữa SB và (ABC)
arctan2
60o
45o
90o
Đáp án C.
Ta có SA⊥ABC⇒AB là hình chiếu của trên mặt phẳn ABC⇒φ=ASB^=SD,AD^=450
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC, SA = a, tam giác ABC đều cạnh a . Tính tanSC,SAB^?
35
53
12
2
Đáp án A.
Hình câu 16.
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: CI⊥ABCI⊥SA⇒CI⊥SAB
=> SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng SAB⇒β=CSI^=SC,SAB^
⇒tanβ=CISI=CISA2+AI2=a32a2+a22=35
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC). Tính cosφ?
3
13
33
12
Đáp án B.
Gọi M là trung điểm CB và G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có BC⊥AGM⇒φ=AMG^. Có DM=a32⇒GM=a36;AM=a32
⇒cosφ=GMAM=a36a32=13
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a; SA⊥ABCD và SA = a. Tính góc φ giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBC)?
π4
π3
2π3
π6
Đáp án A.
Ta có giao tuyến BC⊥SBA⇒φ=SBA^ (góc nhọn). Mà ΔSBA vuông cân tại A nên φ=450
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a; SA⊥ABCD và SA = a. Tính góc φ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)?
2π3
π6
π4
π3
Đáp án D.
(Hình vẽ của câu 19)
Hai tam giác vuông SBC và SDC nên có chung chân đường cao M kẻ từ B và D
⇒β=MB,MD^. Ta đi tính góc BMD^
Trong tam giác vuông SBC ta có:
1BM2=1SB2+1BC2=1a22+1a2=32a2⇒BM2=2a23. Tương tự DM2=2a23
Áp dụng định lý cosin cho ΔBMD ta có:
cosBMD^=MB2+MD2−BD22.MB.MD=4a24−2a22.a232=−12⇒BMD^=1200⇒β=1800−1200=600
Hay π3
Cho ba tia Ox, Oy, Oz trong không gian sao cho xOy^=120∘, zOy^=90∘, xOz^=60∘. Trên ba tia ấy lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Gọi α, β lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC) và mặt phẳng (OAC). Tính tanα⋅tanβ?
12
2
32
1
Đáp án A.
ΔOAB đều => AC = a. Tam giác OBC vuông BC=a2. Áp dụng định lý cosin cho ΔOAB
⇒AB=a3⇒ΔABC có AB2=AC2+BC2⇒ΔABC vuông tại C
Gọi H là trung điểm của AB => H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC⇒OH⊥ABC
⇒α=OIH^;β=OJH^ (với I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC).
⇒tanα.tanβ=OHHI.OHHJ=OH2HI.HJ=a22a2.a22=12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA⊥ABCD và SA=a3. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
60o
30o
45o
90o
Đáp án A.
Vì BC//AD,SAD^=900⇒SD,BC^=SDA^⇒tanSDA^=SASD=3⇒SD,BC=600
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA⊥ABCD và SA=a3. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SC . Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và BD
90o
60o
arctan13
45o
Đáp án A.
(Hình vẽ như câu 22)
Ta có IJ//AC,IJ,BD^=AOB^=900
Cho tứ diện ABCD có CD=43AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, DB. Biết IK=56AB.Tính góc giữa hai đường thẳng CD và IJ
90o
60o
45o
30o
Đáp án A
Đặt AB = a. Ta có: IJ=AB2=a2
IK=CD2=23AB=2a3;JK=56AB=5a6
Ta có: IJ2+IK2=a24+4a29=25aa16=JK2
Vậy tam giác IJK vuông tại I
Ta có IK//CD⇒AB,CD^=JIK^=900
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và C'D'
90o
45o
60o
30o
Đáp án B.
Ta có: AB//C'D'⇒MN,C'D'^=MN,AB^=BMN^=450
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AD'
90o
45o
60o
30o
Đáp án C.
(Hình vẽ câu 25)
Có B'D'//BD⇒BD,AD'^=B'D',AD'^=AD'B'^=600 vì ΔAB'D' đều cạnh a2
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP
90o
45o
60o
30o
Đáp án B.
(Hình vẽ câu 25)
MN//AC⇒MN,AP^=AC,AP^=CAP^ (góc nhọn). Ta có: AC=a2
Trong tam giác vuông CC'P có CP=a52. Trong tam giác vuông APA' có AP=3a2
Áp dụng định lý cosin cho ΔCAP ta có: cosCAP^=12⇒MN,AP^=450
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, C'D'. Tính góc giữa hai đường thẳng DN và A'P
90o
45o
60o
30o
Đáp án A.
(Hình vẽ câu 25)
Gọi N' là trung điểm của B'C' . Ta có ND//N'D'⇒ND,A'P^=N'D',A'P^
Có △N'C'D'=△PD'A'⇒C'D'N'^=D'A'P'^
Mà C'D'N'^+A'D'N'^=900
⇒D'A'P^+A'D'N'^=900
⇒DIA'^=900 hay DN,A'P^=900
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA⊥ABCD và SA=a6. Tính cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB)
13
16
18
37
Đáp án C.
Ta có: CB⊥SAB⇒SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
⇒SC,SAB^=SC,SB^=CSB^
Do tam giác CSB vuông tại B nên:
sinCSB^=BCSC=BCSA2+AC2=aa8=18
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) cà SA=a6. Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng (SBC)
13
16
17
37
Đáp án D.
(Hình vẽ giống câu 29)
Kẻ AH⊥SB⇒BC⊥AH⇒AH⊥SBC⇒AH là hình chiếu của AC lên mặt phẳng SBC⇒AC,SBC^=AC,HC^=ACH^
Tam giác SAB vuông ⇒AH=SA.ABSB=a6.aa7=a67
Vì tam giác AHC vuông tại H⇒sinACH^=AHAC=37
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC cân đỉnh A, ABC^=α, BC' tạo đáy góc β . Gọi I là trung điểm của AA', biết BIC^=900. Tính tan2α+tan2β
12
2
3
1
Đáp án D
Ta có: tanβ=BB'B'C'. △AHB vuông tại H
( H là trung điểm của BC)
⇒tanα=AHBH=2AHBC
⇒tan2α+tan2β=4AI2+AH2BC2 (*)
Mà tam giasc AIH vuông tại nên AI2+AH2=IH2
△BIC vuông tại I⇒IH=BC2⇒BC2=4IH2 Thay vào (*)
Ta có: tan2α+tan2β=1
Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Cho BSC^=450, gọi ASB^=α. Tìm sinα để góc giữa hai mặt phẳng (ASC) và (BSC) bằng 60o
sinα=155
sinα=22
sinα=329
sinα=15
Đáp án A
Dựng BJ⊥SC (1), BI⊥AC⇒SA⊥BI
⇒BI⊥SAC⇒BI⊥SC
Từ (1) và 2⇒SC⊥BIJ⇒IJ⊥SC
=> Góc giữa hai mặt phẳng (ASC) và (BSC) là BJI^=600
Do △BIJ vuông tại nên BJI^=600
⇒BI=32BJ⇒1BI2=43.1BJ2 (3)
Tam giác SBC có BSC^=450⇒ΔSBC vuông cân tại B. Trong tam giác SJB vuông tại J có JSB^=450⇒SB=2BJ⇒1BJ2=2BC2
Từ (3) và 4⇒1BC21sin2α+1=43.2BC2
Giải phương trình ta được sinα=155
Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không nằm trong (P). Đặt d1=dA;P và d2=dB;P. Trong các kết luận sau thì kết luận nào đúng?
d1d2=1 khi và chỉ khi AB // (P)
d1d2≠1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt (P)
d1d2≠1 khi đoạn thẳng AB cắt (P)
Nếu đường thẳng AB cắt (P) tại điểm I thì IAIB=d1d2
Chọn D.
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Giả sử AB = 1, AC = 2, AD = 3. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng:
75
57
67
711
Chọn C.
Vì 1d2=112+122+132=4936⇒d=67
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và AC' là:
bcb2+c2
aba2+b2
bca2+b2
12a2+b2
Chọn B.
dBB';AC'=dBB';ACC'A'=dB;ACC'A'=BH=aba2+b2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
a77
a721
a217
a73
Chọn C.
Gọi I là trung điểm của AB, ta có SI⊥AB và SAB⊥ABCD⇒SI⊥ABCD
Gọi E là trung điểm của CD, trong mặt phẳng (SIE) dựng IH⊥SEH∈SE thì IH⊥SCD⇒dI;SCD=IH
Ta có SI=a32, IE=a
⇒dA;SCD=dI;SCD=IH=SI.IESI2+IE2=a217
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD) bằng a3
Độ dài AC'=a3
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CDD'C') bằng a2
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng 3a2
Chọn B.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi A' là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD). Độ dài cạnh AA' là:
a63
a64
a32
a63
Chọn A.
Ta có BA'=a33; AA'=AB2−BA'2=a2−3a29=a63
Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC⊥BD. Tính MN
a63
2a33
3a22
a102
Chọn D.
Lấy P là trung điểm của AB . Khi đó: PM//BD, PN//AC
Vì AC⊥BD⇒PM⊥PN và PM=3a2;PN=a2
⇒MN=PM2+PN2=9a24+a24=a102
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a. Tính tích AB.EG?
a23
a2
a22
2a2
Chọn C.
Ta có AB=a, EG=a2⇒AB.EG=a22
Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 3. Góc giữa AB và CD bằng 60o. Điểm M nằm trên đoạn BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt AC, AD và BD lần lượt tại N, P, Q. Tính diện tích MNPQ?
22
23
3
32
Chọn B.
Giao tuyến của (P) với (ABC) là MN//AB
Tương tự NP // MQ // CD. Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành và NM;NP^=60o
Có MNAB=MCCB=13⇒MN=13AB=2; NPCD=ANAC=BMBC=23⇒NP=23CD=23.3=2
⇒SMNPQ=MN.NP.sinMNP^=2.2.32=23
Cho tứ diện ABCD có AB⊥CD, AB = CD = 6, .là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = xBC (0 < x < 1) Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, AC, AD, BD tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là:
9
6
10
12
Chọn A.
Ta có MNAB=CMCB=x⇒MN=xAB=6x
NPCD=ANAC=BMBC=BC−CMBC=1−CMBC=1−x⇒NP=61−x⇒SMNPQ=36x1−x=9−3614−x+x2=9−3612−x2≤9⇒maxSMNPQ=9
Cho tứ diện ABCD có DA⊥ABC, AC = AD = 4, AB = 3, CD = 5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
125
1234
634
343
Chọn B.
Vì AB2+AC2=BC2 nên ΔABC vuông tại A
Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác vuông
Dựng AI⊥BC⇒AI.BC=AB.AC⇒AI=AB.ACBC=3.45=125
Dựng AH⊥DI⇒AH⊥BCD⇒AH=dA;BCD
1AH2=1AD2+1AI2=116+114425=116+25144=34144⇒AH=14434=1234
Cách 2: Vì tứ diện vuông tại nên áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta có:
1AH2=1AB2+1AC2+1AD2=19+116+116⇒AH=1234
Nhận xét: Trong 2 cách trên thì cách 2 nhanh hơn nhiều khi sử dụng tính chất tứ diện vuông.
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC, SA = 3a, AB = BC = 2a, ABC^=120o. Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
a
2a
a32
3a2
Đáp án D.
Kẻ AH⊥BC và AK⊥SH
Ta có: BC⊥AH và
BC⊥SA⇒BC⊥SAH⇒AK⊥SBC⇒AK=dA;SBC
Trong tam giác vuông BAH ta có: AH=AB.sin60°=a3
Trong tam giác vuông SAH ta có:
AK=AS.AHSH=3a.a39a2+3a2=32a⇒dA;SBC=32a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA⊥ABC và SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a
a37
3a7
a37
3a7
Đáp án A.
Gọi M là trung điểm BC. Do ΔABC đều nên AM⊥BC⇒BC⊥SAM
Dựng AH⊥SM⇒AH⊥SBC⇒AH=dA;SBC
Trong tam giác vuông SAM ta có:
Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng tính chất tứ diện vuông bằng cách sử dụng thêm D thuộc tia BC sao cho CAD^=90°
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a, cạnh SD vuông góc với (ABCD), SD = a. Tính dA;SBC
a33
a3
a66
a63
Đáp án C.
Kẻ dài AD cắt BC tại I
Ta có: AB là đường trung bình của ΔIDC⇒DI=2a.
dA;SBC=dA;SIC=12dD;SIC
Áp dụng tính chất tứ diện vuông cho tứ diện SIC ta có:
1d2D;SIC=1a2+14a2+14a2=64a2⇒dD;SIC=2a6⇒dA;SBC=a6=a66.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA⊥ABCD, SA = a. Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC đến (SBD).
a33
a3
a32
2a3
Đáp án B.
Kẻ AH⊥BD và AK⊥SH
Ta có BD⊥SH và BD⊥SA nên BD⊥SAH⇒DB⊥AK
Ta có: AK+SH và BD⊥AK nên AK⊥SBD
ΔABD vuông ⇒AH=AD.ABBD=2a5
ΔSAH vuông ⇒AK=SA.AHSH=a.2a5a2+4a25=2a3
Gọi O=AC∩BD, SO cắt AI tại G => G là trọng tâm ΔSAC
⇒dI;SBDdA;SBD=GIGA=12⇒dI;SBD=12AK=a3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA⊥ABCD, SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
a
a2
a3
2a
Đáp án A.
dSB;CD=dCD;SAB=dC;SAB=a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA⊥ABCD, SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào sau đây?
a22
a
a2
2a
Đáp án B.
( Hình vẽ câu 16 )
dM;SAB=dC;SAB=a.
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC đôi một vuông góc và SA = AB = BC = 1. Tính độ dài SC
2
3
2
32
Đáp án B.
Ta có SA⊥ABSA⊥BC⇒SA⊥ABCD⇒SA⊥AC⇒AC=2⇒SC=SA2+AC2=3.
Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC và BCD^=60o, ADC^=90o, ADB^=120o. Trong các mặt của tứ diện đó:
Tam giác ABD có diện tích lớn nhất.
Tam giác ACD có diện tích lớn nhất.
Tam giác BCD có diện tích lớn nhất.
Tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Đáp án D.
Gỉa sử DA=DB=DC=a⇒BC=a,AC=a2,AB=a3
SABD=12DA.DBsin120°=12a2.32=a234SBCD=12DB.DCsin60°=a234SACD=12DA.DC=12a2
Tam giác ABC có AC2+BC2=AB2 (cùng bằng 3a2) ⇒ΔABC vuông tại C
⇒SABC=12AC.BC=12a2.a=a222
So sánh 4 kết quả trên ta thấy a22 là lớn nhất nên chọn D.
Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện còn lại của tứ diện. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Thiết diện là hình thang.
Thiết diện là hình bình hành.
Thiết diện là hình chữ nhật.
Thiết diện là hình vuông.
Đáp án C.
Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ABCD, SA=a3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
a2
a32
3a2
a3
Đáp án B.
Dựng AH⊥SB
Ta có:
AH⊥SBAH⊥BCvì BC⊥SAB⇒AH⊥SBC⇒dA;SBC=AH
Áp dụng tính chất cho tam giác vuông SAB ta có: AH=SA.ABSB=SA.ABSA2+AB2=a32
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD = 2a, SA⊥ABCD và SA=a3. Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
a
a32
a35
a37
Đáp án C.
Trong mặt phẳng (ABCD), dựng AH⊥BC tại ⇒BC⊥SAH
Trong mặt phẳng (SAH). dựng AP⊥SH⇒AP⊥SBC tại P⇒dA;SBC=AP
Mà AH=AB2−BH2=a32⇒1AP2=1AS2+1AH2=a35
Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh OA, OB, OC. Gọi h là khoảng cách từ O đến (ABC) thì h có giá trị là:
h=1a+1b+1c
h=1a2+1b2+1c2
h=a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2
h=abca2b2+b2c2+c2a2
Đáp án D.
Ta có: 1h2=1a2+1b2+1c2=b2c2+c2a2+a2b2a2b2c2⇒h=abca2b2+b2c2+c2a2.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, đường chéo AC = a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và (ABCD) bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ I đến (SBC).
3a1326
a34
a1326
3a1316
Đáp án A.
Ta có: SI⊥AB,SAB⊥ABCD⇒SI⊥ABCD
Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE
Ta có:
AE⊥BC,IF//AE⇒IF⊥BC
BC⊥IF,BC⊥SI⇒BC⊥SBC
Trong mặt phẳng (SIF), dựng IH⊥SF và H∈SF
Ta có IH⊥SF,IH⊥BC⇒IH⊥SBC
Do đó dI;SBC=IH. Góc giữa SC và ABCD là SCI^ nên
SCI^=60°,CI=a32⇒SI=CI.tanSCI^=3a2
AE=a32⇒IF=AE2=a34
Từ đó 1IH2=1IS2+1IF2=49a2+163a2=529a2⇒IH=3a52
⇒dI;SBC=IH=3a52=3a1326
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của AD, hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính theo a khoảng cách từ A đến (SBC).
a155
3a1510
2a1510
2a155
Đáp án D.
Ta có SBI⊥ABCDSCI⊥ABCD⇒SI⊥ABCD
Trong mặt phẳng (ABCD), dựng IK⊥BC,K∈BC
Trong mặt phẳng (SIK), dựng IH⊥SK,H∈SK
Từ IH⊥SBC⇒dI;SBC=IB
SIBC=SABCD−SDIC−SABI=3a2−a22−a2=3a22BC=2a2+a2=a5⇒IK=2SIBCBC=3a55
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là SKI^. Nên SKI^=60°⇒SI=IK.tanSKI^=3a155
Ta có: 1IH2=1IS2+1IK2=527a2+59a2=2027a2⇒dI;SBC=IH=3a1510
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AD và BC thì E=AI∩SBC
⇒dA;SBC=43dI;SBC=2a155
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp đẻ điền vào đẳng thức vectơ : MN→=kAC→+BD→
k=12
k=13
k=3
k=2
Đáp án A.
(quy tắc trung điểm)
mà 
(vì M là trung điểm AB)
Cho ba vectơ a→,b→,c→. Điều kiện nào sau đây khẳng định a→,b→,c→ đồng phẳng?
Tồn tại ba số thực m, n, p thoả mãn m+n+p=0 và ma→+nb→+pc→=0
Tồn tại ba số thực m, n, p thoả mãn m+n+p≠0 và ma→+nb→+pc→=0
Tồn tại ba số thực m, n, p thoả mãn ma→+nb→+pc→=0
Giá của a→,b→,c→ đồng quy.
Đáp án B.
Theo giả thuyết 
nên tồn tại ít nhất một số khác 0.
Giả sử 
. Từ 
đồng phẳng (theo định lí về sự đồng phẳng của ba vectơ).
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'D có AA'→=a→,AB→=b→,AC→=c→.. Hãy phân tích ( biểu thị) vectơ B'C→ qua các vectơ a→,b→,c→.
B'C→=a→+b→+c→.
B'C→=a→+b→+c→.
B'C→=a→+b→+c→.
B'C→=a→+b→+c→.
Đáp án D.
( quy tắc hình bình hành)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Nếu AB→=12BC→ thì B là trung điểm của đoạn AC
Từ AB→=−3AC→ ta suy ra CB→=AC→
Vì AB→=3AC→+5AD→ nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng.
Từ AB→=3AC→ ta suy ra BA→=−3CA→
Đáp án C.
A. Sai vì 
A là trung điểm của BC.
B. Sai vì 
C. Đúng theo định lí sự đồng phẳng của 3 vectơ.
D. Sai vì 
(nhân 2 vế cho -1)
Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
Ba vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương
Ba vectơ a→,b→,c→ đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0→
Vectơ x→=a→+b→+c→ luôn luôn đồng phẳng với hai vectơ a→ và b→
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' ba vectơ AB'→,C'A'→,DA'→ đồng phẳng.
Đáp án C.
A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng
B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng
C. Sai
D. Đúng vì 
đồng phẳng.
Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a. Ta có AB→.EG→ bằng:
a2.
a2.
a3.
a22.
Đáp án A.
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Nếu SA→+SB→+2SC→+2SD→=6SO→ thì ABCD là hình thang.
Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→
Nếu ABCD là hình thang thì SA→+SB→+2SC→+2SD→=6SO→
Nếu SA→+SB→+SC→+SD→=4SO→ thì ABCD là hình bình hành.
Đáp án C
A. Đúng vì 
Vì O, A, C và O, B, D thẳng hàng nên đặt:
mà 
không cùng phương nên 
và 
B. Đúng. HS tự biến đổi bằng cách thêm điểm O vào vế trái.
C. Sai vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1 và m = -1 => O là trung điểm hai đường chéo.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
Từ hệ thức AB→=2AC→−8AD→ ta suy ra ba vectơ AB→,AC→,AD→ đồng phẳng.
Vì NM→+NP→=0→ nên N là đoạn trung điểm của đoạn MP
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI→=12OA→+OB→.
Vì AB→+BC→+CD→+DA→=0→ nên bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng.
Đáp án D
A. Đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng của ba vectơ
B. Đúng.
C. Đúng vì 
mà (I là trung điểm của AB)
D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Đặt AB→=a→;BC→=b→. M là điểm xác định bởi OM→=12a→−b→. Khẳng định nào sau đây đúng?
M là trung điểm của BB'
M là tâm hình bình hành BCC'B'
M là tâm hình bình hành ABB'A'
M là trung điểm của CC'
Đáp án A.
M là trung điểm BB' 
(qt trung điểm).
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữ cặp vectơ AB→ và DH→?
45°
90°
120°
60°
Đáp án B.
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và A'B'C'D' có cạnh chung AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và OO'→?
60°
45°
120°
90°
Đáp án D.
Ta có: OO' // DD' mà 
nên 
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB^=BSC^=CSA^. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SB→ và AC→?
60°
120°
45°
90°
Đáp án D.
Ta có: 
Do đó tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì hình chóp S.ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G hay 
Ta có 
Vậy góc giữa cặp vectơ 
và 
bằng 90°
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?
120°
60°
90°
30°
Đáp án C.
Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC và tam giác ABD là các tam giác đều nên 
Suy ra 
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạch đều bằng A. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:
90°
45°
30°
60°
Đáp án D.
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Ta có OJ // CD. Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ .
Xét tam giác JOJ có: 
Nên tam giác OIJ đều. Vậy góc giữa IJ và CD bằng có giữa IJ và OJ bằng góc 
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc nào sau đây?
AB'C^.
DA'C'^.
BB'D^.
BDB'^.
Đáp án B.
Ta có: AC // A'C' nên góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc giữa hai đường thẳng A'C' và A'D bằng góc nhọn 
(vì tam giác A'DC' đều có 3 góc nhọn).
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án A.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB^=BSC^=CSA^. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→?
120°
45°
60°
90°
Đáp án D.
Ta có:
Vì SA = SB = SC và 
. Do đó 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN, SC) bằng:
45°
30°
90°
60°
Đáp án C.
Ta có: 
vuông tại S.
Khi đó: 
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?
Góc giữa AC và B1D1 bằng 90o
Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 60o
Góc giữa AD và B1C bằng 45o
Góc giữa BD và A1C1 bằng 90o
Đáp án B.
Ta có: 
(vì 
và 
).Do đó: 
Cho hình lập phương 
có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị 
là:
Đáp án A.
Ta có: 
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng b thì a vuông góc với c
Cho ba đường thẳng a, b, c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a, b)
Đáp án C.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→?
90°
60°
45°
120°
Đáp án C.
Ta có: EG // AC (Do ACGE là hình chữ nhật) 
Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, α là góc giữa AC và BM. Chọn khẳng định đúng?
Đáp án C.
Gọi O là trọng tâm của 
. Trên đường thẳng d qua C và song song với BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra: 
Có: 
và
Cho 
góc giữa 
bằng 
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Đáp án D.
Ta có: 
Cho hình lập phương 
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ 
và 
?
Đáp án B.
Đặt cạnh của hình lập phương là a. Gọi I là trung điểm của EG. Qua A kẻ đường thẳng d // FI. Qua I kẻ đường thẳng d' // FA. Suy ra d cắt d' tại J.
Từ đó suy ra 
.
Mặt khác:
Cách 2: Ta có: 
.
Mà tam giác AFC đều (vì 
). Suy ra 
Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?
Đáp án A.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính 
Đáp án B.
Ta có: 
mặt khác 
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. M là điểm thuộc BC sao cho MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
9
11
10
8
Đáp án A.
Xét tứ giác MNPQ có 
là hình bình hành. Mặt khác,
. Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.
Vì 
nên 
.
Theo giả thiết 
Vì 
nên 
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: 
Ta có 
khi 
. Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC
Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, DA. Góc giữa IE và JF là:
Đáp án D.
Tứ giác IJEF là hình bình hành. Mặt khác 
mà AB = CD nên IJ = JE. Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra 
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Đáp án D.
Theo nhận xét phần 2 đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.
Cho hai vec tơ 
thỏa mãn 
, 
. Gọi α là góc giữa hai véc tơ a→ và b→. Chọn khẳng định đúng:
Đáp án A.
Ta có: 
. Do đó: 
Cho tứ diện ABCD. Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: 
k = 1
k = 2
k = 0
k = 4
Đáp án C.
Ta có:
Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho giá trị của biểu thức 
đạt giá trị nhỏ nhất.
M là trọng tâm tam giác ABC
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
M là trực tâm tam giác ABC
M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Đáp án A.
Gội G là trọng tâm tam giác ABC => G là cố định và 
Dấu bằng xảy ra 
.
Vậy 
với 
là trọng tâm tam giác ABC
Cho hai vec tơ 
thỏa mãn 
; 
. Độ dài của vec tơ 
là:
25
9
Đáp án B.
Cho hai vec tơ 
thỏa mãn 
; 
. Xét hai véc tơ 
; 
. Gọi α là góc giữa hai véc tơ x→ và y→. Chọn khẳng định đúng:
Đáp án D.
Ta có:
Trong không gian cho tam giác ABC có diện tích S. Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: 
k = 14
k = 0
k = 12
k = 1
Đáp án C.
Trong không gian cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với d
Vô số
2
3
1
Đáp án A.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC tại điểm I nằm giữa S và C. Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là:
Đáp án A.
Kẻ 
. Thiết diện là tam giác AIB. Ta có
Gọi J là trung điểm của AB. Dễ thấy tam giác AIB cân tại I, suy ra 
và
Do đó: 
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng:
Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD^
Góc giữa AC và (CBD) là góc ACB^
Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB^
Góc giữa AC và (ABD) là góc CBA^
Đáp án B.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ 
, 
. Khẳng định nào sau đây đúng:
H trùng với trung điểm của AC
H là trọng tâm tam giác ABC
H là trực tâm tam giác ABC
H trùng với trung điểm của BC
Đáp án A.
Ta có tam giác ABC vuộng tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trung trực của tam giác 
tại H
Mặt khác: SA = SB = SC nên điểm 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC)
Đáp án C.
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên 
vậy AH là hình chiếu của SH lên mp 
Ta có: 
Mà 
Vậy tam giác SAH vuông cân tại 
.
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho ) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Đáp án B.
Câu B sai vì: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau, chéo nhau.
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, BSC^=120∘, CSA^=60∘. Vẽ 
, 
. Khẳng định nào sau đây đúng:
H trùng với trung điểm của AB
H là trọng tâm tam giác ABC
H trùng với trung điểm của BC
H trùng với trung điểm của AC
Đáp án D.
Gọi SA = SB = SC = a
Ta có: tam giác SAC đều => AC = SA = a.
Tam giác SAB vuông cân tại 
vuông tại A . Gọi I là trung điểm của BC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thì d đi qua I và 
Mặt khác: SA = SB = SC nên 
.
Vậy 
nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA⊥(ABCD). Khẳng định nào sau đây sai:
Đáp án D.
Ta có 
. Do tứ giác ABCD là hình thoi nên 
, mà 
nên 
hay 
. AD không vuông góc với SC.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC và 
. Gọi I là điểm tùy ý trên OH ( không trùng với O và H). Xét mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với OH. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là:
Hình thang cân.
Hình thang vuông.
Hình bình hành.
Tam giác vuông.
Đáp án A.
Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên (P) song song với SO. Suy ra 
theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SO cắt SH tại K.
Từ giả thiết suy ra (P) // BC, do đó (P) sẽ cắt (ABC), (SBC) lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB, AC, SB, SC lần lượt tại M, N, P, Q. Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ.
Ta có MN và PQ cùng song song với BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ, lại có tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ nên MNPQ là hình thang cân.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và 
. Gọi I là trung điểm của SC. Khẳng định nào sau đây sai:
SA = SB = SC
(SAC) là mặt phẳng trung trực của BD
Đáp án D.
Ta có 
và O là trung điểm của BD => (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. Ta có OI song song SA suy ra 
. Vậy SA = SB = SC là khẳng đính sai.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 
và 
. Gọi α là góc giữa SC và (ABCD). Chọn khẳng định đúng:
Đáp án D.
Vì 
là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Suy ra góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa 
Xét tam giác SAC vuông tại A có: 
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABC) là:
Trọng tâm tam giác ABC
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trực tâm tam giác ABC
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Đáp án A.
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của S lên các cạnh của AB, AC, BC. Theo định lý ba đường vuông góc ta có M, N, Plần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC, BC.
=> H là tâm đường tròn nội tiếp của 
Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Nếu 
và 
thì a // b
Nếu 
và 
thì 
Nếu a // b và 
thì 
Nếu 
, 
và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng chứa a và c.
Đáp án A.
Nếu 
thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai.
Cho hình chóp S.ABC có 
và 
. Số các mặt của hình chóp S.ABC là tam giác vuông là
1
2
3
4
Đáp án D.
Có 
là tam giác vuông tại B.
Ta có 
là các tam giác vuông tại A.
Mặt khác 
là tam giác vuông tại B.
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông nên đáp án D đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, 
. Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD. Khẳng định nào sau đây đúng:
Đáp án D.
Ta có: 
Vậy: 
Tương tự: 
Từ (1); (2) 
. Vậy đáp án D đúng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi, BAD^=60∘ và A'A = A'B = A'D. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABCD) là:
Trung điểm của AO
Trọng tâm tam giác ABD
Điểm O
Trọng tâm tam giác BCD
Đáp án B.
Vì A'A = A'B = A'D => Hình chiếu của A' trên (ABCD) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (1).
Mà tứ giác ABCD là hình thoi và 
nên là tam giác ABD tam giác đều (2).
Từ (1) và (2) suy ra H là trọng tâm của 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và 
, 
. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC. Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là:
Đáp án C.
Gọi M là trung điểm của BC thì 
(1).
Hiển nhiên 
Mà 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Khi đó, thiết diện của hình chop S.ABC được cắt bởi (P) chính là 
vuông tại A nên: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 
và 
. Gọi 
là góc giữa SC và (ABCD). Chọn khẳng định đúng:
Đáp án A
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên 
AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
là góc giữa SC lên (ABCD)
Tam giác SAC vuông tại A nên:
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi 
là góc giữa AC' và (A'BCD'). Chọn khẳng định đúng:
Đáp án D.
Gọi 
Mà 
=> IH là hình chiếu vuông góc của AC' lên (A'BCD')
là góc giữa AC' lên (A'BCD')
Mà 
Cho tứ diện S.ABC thỏa mãn SA = SB = SC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Đối với tam giác ABC ta có điểm H là
Trực tâm.
Tâm đường tròn nội tiếp.
Trọng tâm.
Tâm đường tròn ngoại tiếp.
Đáp án D.
Xét ba tam giác vuông 
có:
mà 
=> H là tâm đường tròn ngoại tiếp 
Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (SBC) là hai tam giác đều cạnh a, 
. M là điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a). (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và tứ diện SABC có diện tích bằng?
Đáp án C.
Gọi N là trung điểm của BC 
Theo bài ra: 
Kẻ MI // AN, MK // SA
=> Thiết diện của (P) và tứ diện SABC là tam giác KMI
Tam giác ABC và tam giác SBC là hai tam giác đều cạnh a
là tam giác đều cạnh 
là tam giác đều cạnh
Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu a // (P) và 
thì b // (P)
Nếu a // (P) và 
thì 
Nếu a // (P) và 
thì 
Nếu 
và 
thì b // (P)
Đáp án B.
Câu A: sai vì b có thể vuông góc với a.
Câu B đúng bởi: 
sao cho a' // a,
. Khi đó: 
Câu C và câu D sai vì: b có thể nằm trong (P).
Vậy: chọn đáp án B.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SA = a. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).
Đáp án C
Có
nên AM là hình chiếu của SA lên (ABC)
Áp dụng định lý Pytago: 
Xét tam giác SAM có:
Tính chất nào sau đây không phải tính chất của hình lăng trụ đứng?
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.
Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng song song và bằng nhau
Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau
Đáp án A.
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Đáp án A.
Vì qua một đường thẳng dựng được vô số mặt phẳng.
Cho hình chóp S.ABDC có đáy ABDC là hình bình hành tâm O, AD, SA, AB đôi một vuông góc, AD = 8, SA = 6. (P) là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng ?
20
16
17
36
Đáp án D.
Thiết diện là hình thang vuông đi qua trung điểm các cạnh AB, CD, CS, SB nên diện tích thiết diện là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi g là trọng tâm tam giác ABC . Độ dài SG bằng:
Đáp án C.
Theo bài ra, hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều. Gọi H là trung điểm của BC, ta có: 
Mặt khác, ta có: 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để mặt phẳng (P) cắt SC tai điểm C1 nằm giữa S và C
Đáp án C.
Để C1 nằm giữa S và C thì 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi thoi tâm O. Biết SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án C.
Do hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD, nên 
Cho tứ diện đều cạnh a = 12, AP là đường cao của tam giác ACD. Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mặt phẳng (ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng:
9
6
8
7
Đáp án C.
Ta có: 
Tương tự: 
Suy ra: 
Kẻ KL đi qua trọng tâm G của 
và song song với CD 
=> (P) chính là mặt phẳng (BKL) 
Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều:
Gọi G là trọng tâm ΔACD thì G là tâm 
và 
Trong mp(ACD) kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC, AD lần lượt tại K, L
Ta có: 
Vậy: 
Tam giác ABC có BC = 2a, đường cao 
. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho 
. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC. Diện tích tam giác AEF bằng?
Đáp án C.
Gọi 
Do 
Mà . 
Do H là trung điểm 
Cho hình lập phương 
. Gọi 
là góc giữa 
và mặt phẳng (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Đáp án A.
Kẻ
Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABC là tam giác SAE có diện tích là 
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
(A'BD)
(A'DC')
(A'CD')
(A'B'CD)
Đáp án A.
Ta có:
Từ 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là a khi đó tan α nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
Đáp án C.
Ta có: 
là hình chiếu của S trên (SAB) (1)
=> B là hình chiếu của trên (2)
Từ 
Xét tam giác SAB vuông tại A ta có:
Xét tam giác SBC vuông tại B ta có:
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
Đáp án C.
Ta có: 
Mà 
Cho hình vuông ABCD tâmO và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) có số đo bằng 45o. Tính độ dài SO
Đáp án B.
ABCD là hình vuông cạnh 2a
Ta có: 
là hình chiếu của SA
Vậy góc giữa SA và (ABCD) chính là 
Xét tam giác SAO ta có 
Cho hình chóp S.ABCD trong đó ABCD là hình chữ nhật, 
. Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông.
Đáp án B
Ta có:
Giả sử 
(vô lý)
Hay tam giác SBD không thể là tam giác vuông.
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu của C' trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC' hợp với mặt phẳng (ABC) góc 60o . Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến IC'
Cho lăng trụ có đáy là tam giác đều tâm , cạnh hình chiếu của trên mặt phẳng trùng với tâm của đáy. Cạnh bên hợp với mặt phẳng góc Gọi là trung điểm của Tính khoảng cách từ đến 
Đáp án B
Cách 1: Dựng 
tại K, do đó 
Xét 
, ta có:
Mà:
Cách 2: Dựng 
, ta có 
Sau đó dùng công thức: 
hay OH.IC' = OI.OC'. Suy ra OH.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách từ C đến AC'
Đáp án C.
Vì tam giác CC'A vuông tại C nên ta dựng CH⊥AC' thì CH là khoảng cách từ C đến AC'
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi O là tâm của đáy và 
Tính khoảng cách từ O tới SA
Đáp án A.
Do S.ABC là hình chóp đều nên 
=> Tam giác SAO vuông tại O , dựng 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30o , với M là trung điểm CD. Hãy tính khoảng cách từ D đến (SBM)
Đáp án D.
Cách 1:
Gọi I là hình chiếu của A trên BM
H là hình chiếu của A trên SI
Gọi N là trung điểm của AB
=> DN song song BM
Mặt khác ta có hình chiếu vuông góc của DS lên (SAC) là SO 
Đặt 
Từ 
=> ABCD là hình vuông cạnh a
Mà 
Cách 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và 
Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30o. Tính khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng (SAC)
Đáp án C
Trong mặt phẳng (ABC) dựng 
tại 
Từ giả thiết ta có 
Ta có 
Trong 
ta có 
Do M là trung điểm cạnh BC nên MH song song AC => MH song song (SAC).
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ 
tại D ta có:
Vậy 
Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 
. Gọi O, O' lần lượt là tâm của hai đáy, gọi S là trung điểm của OO'. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SAB) biết OO' = 2a
Đáp án B.
Theo giả thiết 
đều cạnh a
và 
Tứ diện OSAB vuông tại O có
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân, 
Mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy góc 60o . Tính khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (AB'C') theo a
Đáp án A.
Theo giả thiết mặt phẳng (AB'C') tạo với (A'B'C') góc 
nên 
Ta có 
Dựng 
Tính 
Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A1C1, B1C1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A1F
Đáp án C.
Gọi K là trung điểm C1F
Do 
đều nên 
và EK song song A1F
=> A1F song song (DEK)
Dựng 
(vì 
)
Trong tam giác vuông DFK ta có:
