Trắc nghiệm Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác lớp 7 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là
Điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Trọng tâm của tam giác đó.
Trực tâm của tam giác đó.
Đáp án đúng là: B
⦁ Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó;
⦁ Giao điểm của ba đường phân giác của một tam giác là điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó;
⦁ Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến;
⦁ Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho \(\Delta ABC\) nhọn. Trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\):
Nằm bên ngoài tam giác \(ABC\).
Trùng với điểm \(A\).
Nằm bên trong tam giác \(ABC\).
Trùng với điểm \(B.\)
Đáp án đúng là: C
Khi tam giác \(ABC\) nhọn thì trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) nằm bên trong tam giác.
Do đó ta chọn phương án C.
Cho tam giác \(DEF\) có \(I\) là giao điểm của ba đường trung trực. Khi đó ta có
\(ID = IE = IF.\)
\(ID < IE < IF.\)
\(ID > IE = IF.\)
\(ID = IE < IF.\)
Đáp án đúng là: A
Tam giác \(DEF\) có \(I\) là giao điểm của ba đường trung trực.
Suy ra \(ID = IE = IF.\)
Vậy ta chọn phương án A.
Nếu trực tâm \(H\) nằm bên ngoài tam giác \(MNP\) thì tam giác \(MNP\) là
Tam giác vuông cân tại \(N.\)
Tam giác vuông tại \(M.\)
Tam giác nhọn.
Tam giác tù.
Đáp án đúng là: D
Nếu trực tâm \(H\) nằm bên ngoài tam giác \(MNP\) thì tam giác \(MNP\) là tam giác tù.
Vậy ta chọn phương án D.
Gọi \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác \(ABC\). Khi đó:
\(O\) là điểm cách đều ba cạnh của \(\Delta ABC\).
\(O\) là điểm cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\).
\(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
Đáp án B và C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Có \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác \(ABC\) nên \(O\) là điểm cách đều ba đỉnh của \(\Delta ABC\) và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
Do đó, chọn đáp án D.
Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của tam giác thì đó là
Tam giác vuông.
Tam giác cân.
Tam giác đều.
Tam giác vuông cân.
Đáp án đúng là: B
Một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực của tam giác thì đó là tam giác cân.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(\widehat C = 30^\circ \), đường trung trực của \(BC\) cắt \(AC\) tại \(M\). Khẳng định đúng là
\(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).
\(BM = AB\).
\(BM\) là phân giác của \(\Delta ABC\).
\(BM\) là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\).
Xét \(\Delta MBC\) có \(MD\) vừa là đường cao vừa là đường trung trực nên \(\Delta MBC\) cân tại \(M\).
Do đó, \(\widehat {MCB} = \widehat {MBC} = 30^\circ \).
Có \(\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {MBD} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).
Do đó, \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC} = 30^\circ \).
Suy ra \(BM\) là phân giác \(\widehat {ABC}\) của \(\Delta ABC\).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó:
\(AM \bot BC.\)
\(AM\) là đường trung trực của \(BC.\)
\(AM\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên đường trung tuyến \(AM\) vừa là đường cao, đường trung trực và đường phân giác trong \(\Delta ABC\).
Do đó chọn đáp án D.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), kẻ đường cao \(AH.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AK = AH.\) Kẻ \(KD \bot AC\,\,\left( {D \in BC} \right)\). Khẳng định đúng là
\(\Delta AHD = \Delta AKD.\)
\(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(HK.\)
\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {HAK}\).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AKD\), có:
\(AK = AH\) (gt)
\(KD\) chung (gt)
Do đó \(\Delta AHD = \Delta AKD\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Do đó, \(AH = AK;\,\,KD = DH\) (các cặp cạnh tương ứng) nên \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(HK.\)
Đồng thời \(\widehat {KAD} = \widehat {DAH}\) (hai góc tương ứng), do đó \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {HAK}\).
Do đó, chọn đáp án D.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat C = 70^\circ \). Đường cao \(BH\) cắt đường trung tuyến \(AM\,\,\left( {M \in BC} \right)\) tại \(K\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
\(CK \bot AB.\)
\(K\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).
\(\widehat {HKM} = 110^\circ \).
Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng là: D
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến.
Suy ra \(AM\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\).
Mà \(BH\) cũng là đường cao của tam giác \(ABC\) và \(AM\) cắt \(BH\) tại \(K\).
Do đó \(K\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(CK \bot AB\).
Vì vậy phương án A, B đúng.
Ta có \(\widehat {HKM} = \widehat {HKC} + \widehat {CKM}\)
\( = 180^\circ - \left( {\widehat {KHC} + \widehat {HCK}} \right) + 180^\circ - \left( {\widehat {KMC} + \widehat {KCM}} \right)\)
\[ = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {HCK} + 180^\circ - 90^\circ - \widehat {KCM}\]
\[ = 180^\circ - \left( {\widehat {HCK} + \widehat {KCM}} \right)\]
\[ = 180^\circ - \widehat {HCM} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \].
Do đó, phương án C là đúng.
Vậy chọn đáp án D.
Cho tam giác \(ABC\) đều. Gọi \(D\) là điểm nằm giữa \(A,\,\,B\) và \(E\) là điểm nằm giữa \(A,\,\,C\) sao cho \(BD = AE\). Gọi \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \(ABC\).
Khi đó:
\(CE < AD.\)
\(\Delta OAD = \Delta OCE\).
Tam giác \(ODE\) cân tại \(E\).
Đường trung trực của đoạn \(DE\) luôn đi qua điểm \(O.\)
a) Sai.
Ta có \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\)
Suy ra \(OA = OB = OC.\)
Tam giác \(ABC\) đều nên \(AO\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của tam giác \(ABC.\)
Suy ra \(\widehat {BAO} = \widehat {OAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).
Tương tự, ta có \(\widehat {OCE} = 30^\circ \).
Tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = BC = AC.\)
Mà \(CE = AC - AE;\,\,AD = AB - BD\) và \(AE = BD\).
Suy ra \(CE = AD.\)
b) Đúng.
Xét \(\Delta OAD\)và \(\Delta OCE\), có:
\(OA = OC\) (chứng minh trên)
\(\widehat {OAD} = \widehat {OCE} = 30^\circ \).
\(CE = AD\) (chứng minh trên)
Do đó \(\Delta OAD = \Delta OCE\) (c.g.c)
c) Đúng.
Vì \(\Delta OAD = \Delta OCE\) (cmt) nên \(OD = OE\) (cặp cạnh tương ứng)
Suy ra tam giác \(ODE\) cân tại \(O\).
d) Đúng.
Ta có \(OD = OE\) (\(\Delta ODE\) cân tại \(O\))
Suy ra \(O\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(DE\).
Cho \(\widehat {xOy} = 90^\circ \) và điểm \(P\) nằm trong đó . Trên mặt phẳng đó lấy điểm \(A\) sao cho \(Ox\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PA\) và điểm \(B\) sao cho \(Oy\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PB\).
Khi đó:
\(\Delta OAI = \Delta POI\).
\(\Delta OBE = \Delta OPE\).
Ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng.
\(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABP\).
a) Sai.
Xét \(\Delta OAP\) có \(Ox\) là đường trung trực của \(PA\) nên \(OA = OP,\,\,IA = IP\).
Xét hai tam giác vuông \(\Delta OAI\) và \(\Delta POI\), có: \(OA = OP,\,\,IA = IP\).
Do đó, \(\Delta OAI = \Delta OPI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc tương ứng)
b) Đúng.
Xét \(\Delta BOP\) có \(Oy\) là đường trung trực của \(PB\) nên \(OB = OP,\,\,EB = EP\).
Xét hai tam giác vuông \(\Delta OBE\) và \(\Delta OPE\) có: \(OB = OP,\,\,EB = EP\).
Suy ra \(\Delta OBE = \Delta OPE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (hai góc tương ứng).
c) Đúng.
Ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\), \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (cmt)
Lại có \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ \).
Do đó, \(\widehat {AOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Vậy ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng.
d) Đúng.
Ta có: \(OA = OP,\,\,OB = OP\) (cmt).
Suy ra \(OA = OB\left( { = OP} \right)\).
Do đó, \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).
Xét \(\Delta ABP\) có:
\(Ox\) là đường trung trực của \(PA;\)
\(Oy\) là đường trung trực của \(PB;\)
\(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).
Suy ra \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABP\).
Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\,\,\left( {MP < MN} \right)\). Trên cạnh \(MN\) lấy điểm \(Q\) sao cho \(MQ = MP\), trên tia đối của tia \(MP\) lấy điểm \(R\) sao cho \(MR = MN\). Gọi \(RN\) giao \(PQ\) tại \(S\).
Khi đó:
\(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)
\(\widehat {SRP} = 60^\circ \).
\(PQ \bot NR.\)
\(Q\) là trực tâm của \(\Delta PRN\).
a) Đúng.
Ta có: \(MQ = MP\) (gt) nên \(\Delta MPQ\) cân tại \(M.\)
b) Sai.
Có \(\Delta MPQ\) cân tại \(M\) nên \(\widehat {MPQ} = \frac{{180^\circ - \widehat {PMQ}}}{2} = \frac{{180 - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \).
Vì \(MR = MN\) (gt) nên \(\Delta MNR\) cân tại \(M\).
Do đó, \[\widehat {SRP} = \frac{{180^\circ - \widehat {RMN}}}{2} = \frac{{180^\circ - 90^\circ }}{2} = 45^\circ \].
c) Đúng.
Ta có: \[\widehat {RSP} + \widehat {SRP} + \widehat {SPR} = 180^\circ \] (định lí tổng ba góc trong tam giác)
\(\widehat {RSP} = 180^\circ - \left( {\widehat {SRP} + \widehat {SPR}} \right) = 90^\circ \)
Suy ra \(PQ \bot NR\).
d) Đúng.
Xét \(\Delta PRN\) có: \(MN \bot RP\) (gt) và \(PS \bot RN\) (cmt)
Mà \(NM\) giao \(PS\) tại \(Q\).
Do đó, \(Q\) là trực tâm \(\Delta PRN\).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), \(\widehat A > 90^\circ \). Các đường trung trực của \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(O\) và cắt \(BC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Lấy \(H\) là trung điểm \(AB,\) \(K\) là trung điểm của \(AC\)
Khi đó:
\(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)
\(\Delta HBD = \Delta ECK\).
\(BD = CE.\)
\(\Delta ODE\) là tam giác cân.
a) Đúng.
Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)
b) Sai.
Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:
\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)
\(BH = CK\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)
c) Đúng.
Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).
d) Đúng.
\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).
Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).
Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)
Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\) bất kì \(\left( {D \ne A,\,\,B} \right)\). Trên tia đối của tia \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(CD\) và \(BE.\)
Khi đó:
\(\Delta ABE = \Delta ADC\).
\(\widehat {DFB} = 90^\circ \).
\(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\).
\(ED \bot BC\).
a) Sai.
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:
\(AE = AD\) (gt)
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (gt)
\(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\))
Do đó, \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (c.g.c)
b) Đúng.
Vì \(\Delta ABE = \Delta ACD\) (cmt) nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABE}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat {FDB} = \widehat {ADC}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \)
Từ đây, suy ra \(\widehat {FDB} + \widehat {FBD} = \widehat {ADC} + \widehat {DCA} = 90^\circ \).
Trong \(\Delta FDB\) có: \(\widehat {DFB} = 180^\circ - \left( {\widehat {FDB} + \widehat {FBD}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
c) Đúng.
Do \(\widehat {DFB} = 90^\circ \) nên \(CD \bot BE\).
Xét \(\Delta BEC\) có \(AB \bot EC,\,\,CD \bot BE\).
Mà hai đường cao \(AB,\,\,CD\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\).
d) Đúng.
Vì \(D\) là trực tâm của \(\Delta BEC\) nên \(ED\) là đường cao của \(\Delta BEC\).
Suy ra \(ED \bot BC\).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(\widehat A = 40^\circ \), đường trung trực của \(AB\) cắt \(BC\) ở \(D\). Hỏi số đo \(\widehat {CAD}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 30
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).
Vì \(D\) thuộc đường trung trực của \(AB\) nên \(AD = BD\) (tính chất đường trung trực)
Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại \(D\) (dấu hiệu nhận biết).
Suy ra \(\widehat {DAC} + \widehat {CAB} = \widehat {DAB} = \widehat B = 70^\circ \)
Suy ra \(\widehat {DAC} = 70^\circ - \widehat {CAB} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ \).
Vậy \(\widehat {DAC} = 30^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\) trong đó \(\widehat A = 100^\circ \). Các đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) cắt cạnh \(BC\) theo thứ tự ở \(E\) và \(F\). Hỏi số đô \(\widehat {EAF}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 20
Vì \(E\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nên \(AE = EB\) hay \(\Delta EAB\) cân tại đỉnh \(E\).
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat B\) (1)
Vì \(F\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\) nên \(AF = FC\) hay \(\Delta FAC\) cân tại đỉnh \(F\).
Suy ra \(\widehat {{A_2}} = \widehat C\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_1}} = \widehat B + \widehat C\).
Ta có: \(\widehat {EAF} = \widehat {BAC} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\).
Mặt khác \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) nên \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).
Do đó, \(\widehat {EAF} = \widehat {BAC} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 70^\circ \), \(AB < AC\), đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D,\,\,BF \bot AC\) tại \(F,\,\,E\) thuộc \(AE = AB\), \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE\). Hỏi số đo \(\widehat {DHF}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 125
Vì \(AE = AB\) nên \(\Delta ABE\) cân tại \(A\).
Mặt khác \(AD\) là phân giác góc \(A\) của \(\Delta ABC\).
Suy ra \(AI\) là đường cao của \(\Delta ABE\).
Có \(BF \bot AE\) nên \(BF\) là đường cao của \(\Delta ABE\).
Mà \(H\) là giao điểm của \(BF\) và \(AI\) nên \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABE\).
Có \(AD\) là phân giác góc \(A\) của \(\Delta ABC\) nên \(\widehat {HAF} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = 35^\circ \).
Vì \(\Delta AHF\) vuông tại \(F\) nên \(\widehat {AHF} = 90^\circ - \widehat {HAF} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).
Vì \(\widehat {DHF}\) và \(\widehat {AHF}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {DHF} = 180^\circ - \widehat {AHF} = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \)
Vậy \(\widehat {DHF} = 125^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 110^\circ \). Đường trung trực của các cạnh \(AB\) và \(AC\) cắt nhau tại \(I\). Hỏi số đo của \(\widehat {BIC}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 140
Từ giả thiết suy ra \(I\) là đường trung trực của \(BC\).
Suy ra \(IB = IC\).
Do đó, \(\Delta BIC\) cân.
Có \(\widehat {BIA} = 180^\circ - 2\widehat {{A_2}}\); \(\widehat {CIA} = 180^\circ - 2\widehat {{A_1}}\)
Suy ra \(\widehat {BIC} = \widehat {BIA} + \widehat {AIC} = 180^\circ - 2\widehat {{A_1}} + 180^\circ - 2\widehat {{A_2}} = 2\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = 2 \cdot \left( {180^\circ - 110^\circ } \right) = 140^\circ \).
Vậy \(\widehat {BIC} = 140^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\). Hai đường cao \(AH,\,\,BK\) cắt nhau tại \(I.\) Biết rằng \(\widehat {ACH} = 50^\circ \), hỏi số đo \(\widehat {BIH}\) bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: 140
Ta có đường cao \(AH,\,\,BK\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)
Theo tính chất sự đồng quy của ba đường cao suy ra \(CI \bot AB\).
Vì tam giác \(BKC\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {KBC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 40^\circ \).
Mà \(\Delta BIH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {BIH} = 90^\circ - \widehat {KBC}\), suy ra \(\widehat {BIH} = 40^\circ \).
Vì \(\widehat {HIK},\,\,\widehat {BIH}\) kề bù nên có \(\widehat {HIK} = 180^\circ - \widehat {BIH} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
Vậy \(\widehat {HIK} = 140^\circ \).
