(Trả lời ngắn) 13 bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí \(A\) cách vị trí điều khiển \(150\;{\rm{m}}\) về phía nam và \(200\;{\rm{m}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(50\;{\rm{m}}\). Flycam II ở vị trí \(B\) cách vị trí điều khiển \(180\;{\rm{m}}\) về phía bắc và \(240\;{\rm{m}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(60\;{\rm{m}}\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\)với gốc \(O\) là vị trí người điều khiển, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\)có hướng trùng với hướng nam, trục \(Oy\)trùng với hướng đông, trục \(Oz\)vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )?

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {3;2; - 1} \right),B\left( { - 1; - x;1} \right),C\left( {7; - 1;y} \right)\). Khi \(A,B,C\) thẳng hàng thì giá trị biểu thức \(x + y\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\), \(B\left( {4;1; - 1} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA}  = 4MB.\overrightarrow {MB} \). Giá trị biểu thức \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 2; - 4;9} \right)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA = 2MB\). Bình phương độ dài đoạn thẳng \(OM\)  bằng bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\) cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\). Ba đỉnh \(A\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 1} \right)\),\(B\left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu}  - 1} \right)\)\(C\left( {6;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} 0} \right)\) và hình thang có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \). Giả sử đỉnh \(D\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + b + c\)

Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho 3 điểm \[A\left( {5\,;\, - 2;0} \right)\,,\,B\left( {4\,;\,5; - 2} \right)\] và \[C\left( {0\,;\,3;2} \right)\]. Điểm \(M\) di chuyển trên trục \[Ox\]. Đặt \(Q = 2\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\). Biết giá trị nhỏ nhất của \(Q\) có dạng \(a\sqrt b \) trong đó \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(a + b\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 2;3;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( { - 3; - 1;1} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm sao cho \(ABCD\) là hình thang có cạnh đáy \(AD\) và diệt tích hình thang \(ABCD\) bằng \(4\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(a + b + c\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( { - 2;0; - 3} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho tứ diện \[ABCD\] có \[A\left( {2; - 1;1} \right)\], \[B\left( {3;0; - 1} \right)\], \[C\left( {2; - 1;3} \right)\], \[D \in Oy\] và thể tích tứ diện \[ABCD\] bằng \[5\]. Tổng tung độ của các điểm \[D\] thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc \(20\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(10\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,7\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông \(30\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(25\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( {km} \right)\). Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông \(100\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(80\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(1\left( {km} \right)\). Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc \(70\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(60\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(0,8\left( {km} \right)\).

Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai.

Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông \(60\left( {km} \right)\) và về phía Nam \(40\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(2\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc \(80\left( {km} \right)\) và về phía Tây \(50\left( {km} \right)\), đồng thời cách mặt đất \(4\left( {km} \right)\). Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.