Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 2)
29 câu hỏi
Cho hai biểu thức:
A=2xx+3+x+1x−3+3−11x9−x và B=x−3x+5 với x≥0; x≠9.
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 49
2) Rút gọn biểu thức A
3) Tìm tất cả các giá trị của x để P = AB có giá trị là một số nguyên.
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Lúc 7 giờ sáng, một ca nô xuôi dòng sông từ bến A đến bến B dải 36 km. Khi đến bến B, ca nô nghỉ 30 phút. Sau đó, ca nô lại ngược dòng từ bến B về đến bến A lúc 10 giờ 48 phút cùng ngày. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 2 km/h
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Một quả bóng đá tiêu chuẩn thường được sử dụng tại các giải thi đấu có diện tích bề mặt là 484π cm2. Coi quả bóng đá có dạng hình cầu, tính thể tích của quả bóng (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân và lấy π≈3,140).
Note note
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Giải hệ phương trình sau: 30x+1−4y−1=229x+1+6y−1=21.
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol P:y=x2 và đường thẳng y = 5xx - m - 1 với m là tham số.
a) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Tìm tất cả các giá trị của m đề (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 là các số tự nhiên.
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (O), (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với MO; E và F là các giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn (O) (với ME < MF)
1) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh MO⊥AB và HE.HF = HM.HO
3) Kẻ đường kính BP của đường tròn (O). Đường thẳng MP cắt đường tròn (O) tại điểm N (N khác P) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MH. Chứng minh MHN^=MPO^ và ba điểm A, N, I thẳng hàng.
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Xét các số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+2b+1+bb−a.
Đề thi thử dành cho học sinh tự rèn luyện nên không có lời giải
Căn bậc hai số học của 81 là
9.
\[ - 9.\]
\( \pm 9.\)
\[6\,\,561.\]
Đáp án đúng là: A
Căn bậc hai số học của 81 là 9 vì \({9^2} = 81.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho điểm \(C\left( {2\,;\,\,4} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = a{x^2},\) với \(a \ne 0.\) Điểm \(C'\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục tung \[Oy.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
Điểm \(C'\left( {2\,;\, - 4} \right)\) và \(C' \notin \left( P \right)\).
Điểm \(C'\left( { - 2\,;\,4} \right)\) và \(C' \in \left( P \right)\).
Điểm \(C'\left( { - 2\,;\,4} \right)\) và \(C' \notin \left( P \right)\).
Điểm \(C'\left( {4\,;\, - 2} \right)\) và \(C' \in \left( P \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2},\) với \(a \ne 0\) đối xứng qua trục \(Oy\) nên điểm \(C'\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục tung \[Oy\] thì \(C' \in \left( P \right)\) và \({x_{C'}} = - {x_C};\,\,{y_{C'}} = {y_C}\) nên \(C'\left( { - 2\,;\,4} \right)\).
Trong các phương trình sau, phương trình bậc hai một ẩn là
\({x^2}\sqrt 2 + 3x - 2 = 0\).
\(2{x^2} + 3\sqrt x - 2 = 0\).
\({x^2} \cdot \sqrt 2 + \frac{3}{x} - 2 = 0\).
\({x^2} \cdot \sqrt 2 + 3x - \frac{2}{{{x^2}}} = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) với \(a \ne 0.\)
Do đó phương trình bậc hai một ẩn trong các phương án ở trên là \({x^2}\sqrt 2 + 3x - 2 = 0\).
Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực tuỳ ý sao cho \(a < b\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\( - 2025a + 1 < - 2025b + 2\).
\(2025a + 1 > 2025b + 2\).
\( - 2025a < - 2025b - 2\).
\(2025a + 1 < 2025b + 2\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(a < b\) nên \(2025a < 2025b\), suy ra \(2025a + 1 < 2025b + 1 < 2025b + 2\).
Vậy ta chọn phương án D.
Cặp số \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 6}\\{2x + 3y = 10,5}\end{array}} \right.\)?
\(\left( {\frac{3}{2}\,;\,3} \right)\).
\(\left( {3\,;\,\frac{3}{2}} \right)\).
\(\left( {3\,;\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(\left( {\frac{2}{3}\,;\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím
Trên màn hình hiện lên kết quả \(x = 3;\) ấn tiếp phím = màn hình hiện kết quả \(y = \frac{3}{2}.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left( {3;\,\,\frac{3}{2}} \right).\) Ta chọn phương án B.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Đường tròn có vô số tâm đối xứng và chỉ có một trục đối xứng.
Đường tròn chỉ có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.
Đường tròn chỉ có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.
Đường tròn có vô số tâm đối xứng và vô số trục đối xứng.
Đáp án đúng là: B
Đường tròn có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.
Cho hình vuông \[MNPQ\] (Hình 1). Phép quay thuận chiều tâm \(O\) biến điểm \(M\) thành điểm \(Q\) thì các điểm \[N,\,\,P,\,\,Q\] tương ứng thành các điểm![Cho hình vuông \[MNPQ\] (Hình 1). Phép quay thuận chiều tâm \(O\) biến điểm \(M\) thành điểm \(Q\) thì các điểm \[N,\,\,P,\,\,Q\] tương ứng thành các điểm A. \[P,{\rm{ }}N,\,\,M\]. B. \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\]. C. \[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\]. D. \[P,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid1-1728612638.png)
\[P,{\rm{ }}N,\,\,M\].
\[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\].
\[M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\].
\[P,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N\].
Đáp án đúng là: C
Do \[MNPQ\] là hình vuông nên \(MP \bot NQ,\) do đó \(\widehat {MON} = \widehat {NOP} = \widehat {POQ} = \widehat {QOM} = 90^\circ \).
Ta có phép quay thuận chiều tâm \(O\) biến điểm \(M\) thành điểm \(Q\) có góc quay là
\(\widehat {MON} + \widehat {NOP} + \widehat {POQ} = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ .\)
Ta thấy \(\widehat {NOP} + \widehat {POQ} + \widehat {QOM} = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ .\)
Do đó phép quay thuận chiều\(270^\circ \) tâm \(O\) biến điểm \(N\) thành điểm \(M\).
Tương tự, phép quay thuận chiều\(270^\circ \) tâm \(O\) biến điểm \(P,\,\,Q\) lần lượt thành các điểm \(N,\,\,P\).
Vậy ta chọn phương án C.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[C.\] Biết \(BC = 110\;\,{\rm{m}}\,;\,\,\widehat {BAC} = 20^\circ .\) Độ dài cạnh \[AC\] là
(Đơn vị tính: \(m;\) Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
326.
328.
330.
302.
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[C.\] Biết \(BC = 110\;\,{\rm{m}}\,;\,\,\widehat {BAC} = 20^\circ .\) Độ dài cạnh \[AC\] là A. 326. B. 328. C. 330. D. 302. (Đơn vị tính: \(m;\) Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid3-1728612719.png)
Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn tâm \(O\), kẻ hai tiếp tuyến \[MA,{\rm{ }}MB\] \[\left( {A,\,\,B} \right.\] là các tiếp điểm). Nếu \(AM = 4\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\,\,\widehat {AMB} = 60^\circ \) thì
\(BM = 4\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 60^\circ \).
\(BM = 8\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 30^\circ \).
\(BM = 4\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 30^\circ \).
\(BM = 8\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 60^\circ \).
![Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn tâm \(O\), kẻ hai tiếp tuyến \[MA,{\rm{ }}MB\] \[\left( {A,\,\,B} \right.\] là các tiếp điểm). Nếu \(AM = 4\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\,\,\widehat {AMB} = 60^\circ \) thì A. \(BM = 4\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 60^\circ \). B. \(BM = 8\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 30^\circ \). C. \(BM = 4\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 30^\circ \). D. \(BM = 8\;{\rm{cm}};{\rm{ }}\widehat {AMO} = 60^\circ \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid4-1728612803.png)
Một doanh nghiệp sản xuất thùng bằng tôn có dạng hình trụ với hai đáy (Hình 2).
Hình trụ đó có đường kính đáy khoảng \[59{\rm{ cm}}\] và chiều cao khoảng \[91{\rm{ cm}}.\] Chi phí để sản xuất thùng tôn đó là \[100\,\,000\] đồng \(/{{\rm{m}}^2}.\) Số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \[1\,\,000\] thùng tôn là
(Đơn vị tính: Đồng. Lấy \(\pi \approx 3,14,\) làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
\[323\,\,238\,\,000.\]
\[223\,\,238\,\,000.\]
\[123\,\,238\,\,000.\]
Đáp án khác.
Đáp án đúng là: B
Bán kính đáy của thùng tôn có dạng hình trụ là \(R = \frac{{59}}{2} = 29,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích toàn phần của thùng tôn đó là:
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 2\pi \cdot 29,5 \cdot 91 + 2 \cdot \pi \cdot 29,{5^2} = 7\,\,109,5\pi \approx 7\,\,109,5 \cdot 3,14 = 22\,\,323,83{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Đổi \[22\,\,323,83{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} = 2,232383{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\]
Số tiền mà doanh nghiệp cần chi để sản xuất \[1\,\,000\] thùng tôn là:
\(\left( {2,232383 \cdot 100\,\,000} \right) \cdot 1\,\,000 \approx 223\,\,238\,\,000\) (đồng).
Bạn Lan gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất và quan sát mặt xuất hiện của đồng xu, thì không gian mẫu nhận được là
\[\left( {S,\,S} \right);\,\,\left( {S,\,N} \right);\,\,\left( {N,\,S} \right);\,\,\left( {N,\,N} \right)\].
\(\left( {S,S} \right);\,\,\left( {N,N} \right)\).
\(\left( {S,N} \right);\,\,\left( {N,S} \right)\).
\(\left( {S,\,S} \right);\,\,\left( {S,\,N} \right);\,\,\left( {N,\,S} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét phép thử “Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất và quan sát mặt xuất hiện của đồng xu”.
Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left\{ {\left( {S,\,S} \right);\,\,\left( {S,\,N} \right);\,\,\left( {N,\,S} \right);\,\,\left( {N,\,N} \right)} \right\}.\)
Gieo một con xúc xắc 50 lần cho kết quả như bảng sau:
Số chấm xuất hiện | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tần số | 8 | 7 | ? | 8 | 6 | 11 |
Tần số tương đối xuất hiện của mặt 3 chấm là
\(20\% \).
\(10\% \).
\(8\% \).
\(6\% \).
Đáp án đúng là: A
Tần số xuất hiện mặt 3 chấm là: \(50 - 8 - 7 - 8 - 6 - 11 = 10.\)
Tần số tương đối xuất hiện của mặt 3 chấm là: \(f = \frac{{10}}{{50}} \cdot 100\% = 20\% \).
Một trường trung học cơ sở mua 500 quyển vở bao gồm \(x\) quyển vở loại thứ nhất và \(y\) quyển vở loại thứ hai \(\left( {x,y \in \mathbb{N}*} \right)\) để làm phần thưởng cho học sinh. Giá bán của mỗi quyển vở loại thứ nhất, loại thứ hai lần lượt là \[8\,\,000\] đồng và \[9\,\,000\] đồng. Biết tổng số tiền nhà trường đã dùng để mua 500 quyển vở đó là \[4\,\,200\,\,000\] đồng. Mỗi học sinh Xuất sắc được thưởng 02 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai; mỗi học sinh Giỏi được thưởng 01 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai; các học sinh khác không được thưởng và số học sinh này chiếm \(40\% \) tổng số học sinh cả trường.
a) \(x + y = 500\).
b) \(9x + 8y = 4\,\,200\,\,000\).
c) \(x = 300;y = 200\).
d) Tổng số học sinh của trường trung học cơ sở đó là 600 học sinh.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
a) Tổng số quyển vở đã mua là 500 quyển nên \(x + y = 500\).
b) Tổng số tiền nhà trường mua 500 quyển vở là 4 200 000 đồng nên \(8\,\,000x + 9\,\,000y = 4\,\,200\,\,000\) hay \(8x + 9y = 4\,\,200\)
c) Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 500}\\{8x + 9y = 4\,\,200.}\end{array}} \right.\)
Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình (1) ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 300}\\{y = 200}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
d) Gọi \(u,\,\,v\) lần lượt là số học sinh Xuất sắc và số học sinh Giỏi \(\left( {u,\,\,v \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Mỗi học sinh Xuất sắc được thưởng 02 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai nên ta có phương trình \(2u + v = 300.\)
Mỗi học sinh Giỏi được thưởng 01 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai nên ta có phương trình \(u + v = 200.\)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2u + v = 300}\\{u + v = 200}\end{array}} \right.\) (2).
Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình (2) ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = 100}\\{v = 100}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có tổng \(100 + 100 = 200\) học sinh Xuất sắc và Giỏi, chiếm \(40\% \) tổng số học sinh cả trường.
Do đó, tổng số học sinh của trường là \(200:40\% = 500\) (học sinh).
Một chiếc áo có giá niêm yết là \[120\,\,000\] đồng. Để thanh lí chiếc áo, đầu tiên người ta giảm giá \(x\% \) so với giá niêm yết. Do vẫn chưa bán được chiếc áo nên người ta tiếp tục giảm giá \(x\% \) so với giá vừa được giảm. Sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn \[76\,\,800\] đồng.
a) Giá của chiếc áo sau lần giảm giá thứ nhất là: \(120\,\,000 - 1200x\) (đồng).
b) Giá của chiếc áo sau hai lần giảm giá là: \(12{x^2} - 2\,\,400x + 120\,\,000\) (đồng).
c) Theo bài, sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn \[76\,\,800\] đồng nên ta có phương trình \({x^2} - 200x + 3\,\,600 = 0\).
d) \(x = 180\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) Giá của chiếc áo sau lần giảm giá thứ nhất là \(120\,\,000 - 120\,\,000 \cdot x\% = 120\,\,000 - 1\,\,200x\) (đồng).
b) Giá của chiếc áo sau hai lần giảm giá là:
\(\left( {120\,\,000 - 1\,\,200x} \right) - \left( {120\,\,000 - 1\,\,200x} \right) \cdot x\% \)
\( = 120\,\,000 - 1\,\,200x - 1\,\,200x + 12{x^2}\)
\( = 12{x^2} - 2\,\,400x + 120\,\,000\) (đồng).
c) Theo bài, sau hai đợt giảm giá, giá của chiếc áo còn \[76\,\,800\] đồng nên ta có phương trình \(12{x^2} - 2\,\,400x + 120\,\,000 = 76\,\,800\) hay \(12{x^2} - 2\,\,400x + 43\,\,200 = 0\).
d) Giải phương trình ta được hai nghiệm \({x_1} = 180\) (không thỏa mãn) và \({x_2} = 20\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = 20\).
Lưu ý: \(0 < x < 100\).
Người ta muốn dựng một khung cổng hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng \[3{\rm{ cm}}\] được bao bởi một khung thép có dạng nửa đường tròn tâm \(F\) bán kính \[FA\] (như hình 3).
a) Độ dài đoạn thẳng \[OA\] là \(1,5\sqrt 2 \;\,{\rm{m}}\).
b) Độ dài đoạn thẳng \(HG = 3\sqrt 5 \;\,{\rm{m}}\).
c) Độ dài cung \[GAH\] là \(3\sqrt 5 \pi \,\,{\rm{m}}\).
d) Người ta muốn sơn toàn bộ nửa hình tròn (không sơn phần cổng \[ABCD).\] Giá tiền sơn\(30\,\,000\) đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\) Biết \(\pi = 3,14\) kết quả làm tròn đến nghìn đồng. Số tiền sơn là \[1\,\,059\] (nghìn đồng).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(BC = CD = AD = AB = 3{\rm{\;m}}\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {3^2} = 18.\)
Suy ra \(AC = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Do đó \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt 2 = 1,5\sqrt 2 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
b) Ta có \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên \(FD = FC = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta ADF\) vuông tại \(D\), theo định lí Pythagore, ta có:
\(F{A^2} = A{D^2} + D{F^2} = {3^2} + 1,{5^2} = 11,25\).
Suy ra \(FA = \sqrt {11,25} = 1,5\sqrt 5 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Do đó \(HG = 2FA = 2 \cdot 1,5\sqrt 5 = 3\sqrt 5 {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
c) Độ dài cung \[GAH\] là \(\pi \cdot FA = \pi \cdot 1,5\sqrt 5 = 1,5\sqrt 5 \pi {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
d) Diện tích cần sơn là \(\frac{1}{2}\pi \cdot F{A^2} - {S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot 3,14 \cdot {\left( {1,5\sqrt 5 } \right)^2} - {3^2} = 8,6625{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Số tiền sơn là \(8,6625 \cdot 30\,\,000 \approx 260\,\,000\) (đồng).
Một hộp chứa 15 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 15 và 5 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 16 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp.
a) Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh bằng xác suất để lấy được quả cầu màu đỏ.
b) Xác suất để lấy được quả cầu ghi số chẵn là \[0,5.\]
c) Xác suất để lấy ra quả cầu có màu xanh và ghi số lẻ là \[0,4.\]
d) Xác suất để lấy ra quả cầu màu đỏ hoặc ghi số chẵn là \[0,8.\]
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Xác suất lấy được quả cầu màu xanh là \(\frac{{15}}{{20}} = 0,75\).
Xác suất lấy được quả cầu màu đỏ là \(\frac{5}{{20}} = 0,25\).
Ta thấy \(0,75 \ne 0,25\) nên khẳng định a) là sai.
b) Trong 20 quả cầu, có 10 quả cầu ghi số chẵn là: \[2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10;\,\,12;\,\,14;\,\,16;\,\,18;\,\,20.\]
Xác suất lấy được quả cầu ghi số chẵn là \(\frac{{10}}{{20}} = 0,5\).
c) Trong 20 quả cầu, có \(8\) quả cầu màu xanh và ghi số lẻ là: \(1;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,9;\,\,11;\,\,13;\,\,15\).
Xác suất lấy ra quả cầu màu xanh và ghi số lẻ là \(\frac{8}{{20}} = 0,4\).
d) Trong 20 quả cầu, có \(12\) quả cầu màu đỏ hoặc ghi số chẵn là: \(2;\,\,4;\,\,6;\,\,8;\,\,10;\,\,12;\,\,14;\,\,16;\,\,17;\,\,18;\,\,19;\,\,20.\)
Xác suất lấy ra quả cầu màu đỏ hoặc ghi số chẵn là \(\frac{{12}}{{20}} = 0,6\).
Cho \(P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\). Tìm giá trị của \(x\) để giá trị của \(P\) là \[0,25.\]
Đáp số: \(x = 361.\)
Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\), ta có:
\(P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{5 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right) + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {5 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\[ = \frac{{2\sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 2 - 5 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{5\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{5\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}.\]
Do đó, với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) thì \(P = \frac{5}{{\sqrt x + 1}}.\)
Theo bài, \(P = 0,25\) nên ta có \(\frac{5}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{4}\).
Giải phương trình:
\(\frac{5}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{4}\)
\(\sqrt x + 1 = 5 \cdot 4\)
\(\sqrt x = 19\)
\(x = 361\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy \(x = 361\).
Biết hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 - 2\left( {x + y} \right) = - 3y}\\{x - 1 = 2y + 3}\end{array}} \right.\) có nghiệm \(\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) duy nhất. Tính giá trị của biểu thức \(T = 2\,\,025{x_0} - 2\,\,026{y_0}.\)
Đáp số: \(6\,\,076.\)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 - 2\left( {x + y} \right) = - 3y}\\{x - 1 = 2y + 3}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = 5}\\{x - 2y = 4}\end{array}} \right.\).
Sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = - 1.\end{array} \right.\)
Do đó \(T = 2\,\,025{x_0} - 2\,\,026{y_0} = 2\,\,025 \cdot 2 - 2\,\,026 \cdot \left( { - 1} \right) = 6\,\,076\).
Một người đứng trên tháp (tại \(B)\) của ngọn hải đăng cao \[75{\rm{ m}}\] quan sát hai lần một con tàu đang hướng về ngọn hải đăng. Lần thứ nhất người đó nhìn thấy tàu tại \(C\) với góc hạ là \(20^\circ ,\) lần thứ hai người đó nhìn thấy tàu tại \(D\) với góc hạ là \(30^\circ \) (hình 4). Hỏi con tàu đã đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: \(76{\rm{\;m}}.\)
Ta có \(Bx\) và \(AC\) cùng nằm trên phương ngang nên \(Bx\,{\rm{//}}\,AC,\) do đó \[\widehat {ACB} = \widehat {xBC} = 20^\circ ;\] \(\widehat {ADB} = \widehat {xBD} = 30^\circ \) (các cặp góc so le trong).
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có \[AC = AB \cdot \cot C = \frac{{AB}}{{\tan C}} = \frac{{75}}{{\tan 20^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), ta có \(AD = AB \cdot \cot D = \frac{{AB}}{{\tan D}} = \frac{{75}}{{\tan 30^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Ta có \(CD = AC - AD = \frac{{75}}{{\tan 20^\circ }} - \frac{{75}}{{\tan 30^\circ }} \approx 76{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Vậy con tàu đã đi được xấp xỉ \(76{\rm{\;(m)}}\) giữa hai lần quan sát.
Nước từ vòi phun nước (đặt cách mặt nước \[0,2{\rm{ m)}}\] được phun lên cao sẽ đạt một độ cao nào đó rồi rơi xuống. Giả sử nước được từ đầu vòi phun (vị trí \[A)\] và rơi xuống vị trí \(B.\) Đường đi của nước là một phần của parabol dạng \(y = - \frac{1}{8}{x^2}\) trong hệ trục tọa độ \[Oxy\] với \(O\) là điểm cao nhất của nước được phun ra so với mặt nước, trục \[Ox\] song song với \[AB,{\rm{ }}x\] và \(y\) tính bằng đơn vị mét. Biết \(AB = 12\;\,{\rm{m}}\,{\rm{.}}\) Tính chiều cao \(h\) từ điểm \(O\) đến mặt nước (Hình 5).
![Nước từ vòi phun nước (đặt cách mặt nước 0,2m được phun lên cao sẽ đạt một độ cao nào đó rồi rơi xuống. Giả sử nước được từ đầu vòi phun (vị trí A] và rơi (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid10-1728613927.png)
Đáp số: \(4,7{\rm{\;m}}.\)
Đồ thị hàm số \(y = - \frac{1}{8}{x^2}\) đối xứng qua trục \(Oy,\) do đó \(A,\,\,B\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy.\)
Gọi \(H\) là giao điểm của \[AB\] và \[Oy,\] khi đó ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\) nên \[BH = \frac{1}{2}AB = 6{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Thay \(x = 6\) vào hàm số \(y = - \frac{1}{8}{x^2}\), ta được \(y = - \frac{1}{8} \cdot {6^2} = - 4,5\).
Vậy chiều cao từ điểm \(O\) đến mặt nước là \[\left| { - 4,5} \right| + 0,2 = 4,7{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Để giúp tàu hỏa chuyển từ đường ray theo hướng này sang đường ray theo hướng khác người ta làm một đoạn đường ray hình vòng cung (hình 6). Biết độ rộng của đường ray là \(AB \approx 1,1\;\,{\rm{m}}\) và đoạn \(BC \approx 28,4\,\;{\rm{m}}\). Hãy tính bán kính \(R = OA\) của đoạn đường ray hình vòng cung. (Tính bằng đơn vị: \(m,\) làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có \(OA = OC = R;\,\,OB = R - 1,1{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(OBC\) vuông tại \(B\), ta có:
\(O{C^2} = O{B^2} + B{C^2}\) hay \({R^2} \approx {\left( {R - 1,1} \right)^2} + 28,{4^2}\)
Hay \({R^2} \approx {R^2} - 2,2R + 1,21 + 806,56\)
Do đó \( - 2,2R + 807,77 \approx 0\)
Suy ra \(R \approx 367{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Có ba chiếc hộp. Hộp \[A\] chứa 2 tấm thẻ lần lượt ghi các số 1 và 2. Hộp \[B\] chứa 3 tấm thẻ lần lượt ghi các số \[1\,;\,\,2\] và 3. Hộp \[C\] chứa 4 quả cầu lần lượt ghi các số \[1\,;\,\,2\,;\,\,3\] và 4. Bạn An rút ngẫu nhiên đồng thời một tấm thẻ từ mỗi hộp \(A\) và \(B\). Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp \(C.\) Tính xác suất của biến cố “Tổng ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu là 6”.
Gọi \(\left( {i;j;k} \right)\) là kết quả thẻ lấy từ hộp \(A\) ghi số \(i\), thẻ lấy tự hộp \(B\) ghi số \(j\), quả cầu lấy từ hộp \(C\) ghi số \[k.\]
Không gian mẫu của phép thử là \[\Omega = \left\{ {\left( {1;1;1} \right);\,\,\left( {1;1;2} \right);\,\,\left( {1;1;3} \right);\,\,\left( {1;1;4} \right);\,\,\left( {1;2;1} \right);\,\,\left( {1;2;2} \right);\,\,\left( {1;2;3} \right);} \right.\] \(\left( {1;2;4} \right);\,\,\left( {1;3;1} \right);\,\,\left( {1;3;2} \right);\,\,\left( {1;3;3} \right);\,\,\left( {1;3;4} \right);\,\,\left( {2;1;1} \right);\,\,\left( {2;1;2} \right);\,\,\left( {2;1;3} \right);\,\,\left( {2;1;4} \right);\,\,\left( {2;2;1} \right);\,\,\left( {2;2;2} \right);\,\,\left( {2;2;3} \right);\)\(\left( {2;2;4} \right);\,\,\left( {2;3;1} \right);\,\,\left. {\left( {2;3;2} \right);\,\,\left( {2;3;3} \right);\,\,\left( {2;3;4} \right)} \right\}.\)
Số kết quả có thể xảy ra là \(n\left( \Omega \right) = 24\).
Vì các tấm thẻ cùng loại, các quả cầu có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.
Gọi \[D\] là biến cố “Tổng ba số ghi trên hai tấm thẻ và quả cầu là 6”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố \[D\] là \[\left( {1;1;4} \right);\,\,\left( {1;2;3} \right);\,\,\left( {1;3;2} \right);\,\,\left( {2;1;3} \right);\,\,\left( {2;2;2} \right);\,\,\left( {2;3;1} \right).\]
Do đó \(n\left( D \right) = 6\).
Vậy xác suất của biến cố \(D\) là \(P\left( D \right) = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{24}} = 0,25\).
Chú ý: HS không được tính \(n\left( \Omega \right) = 2 \cdot 3.4 = 24\) như trên bậc phổ thông mà phải liệt kê các phần tử của không gian mẫu.
