Ôn tập cuối năm (p1)
27 câu hỏi
Chứng minh các hệ thức sau: sinα + sinα + 14π3 + sinα - 8π3 = 0
Chứng minh các hệ thức sau: sin4α1 + cos4α.cos2α1 + cos2α = cot3π2 - α
Chứng minh các hệ thức sau: cos a - cos b2 - sina - sinb2 = -4sin2 a - b2cosa + b
Chứng minh các hệ thức sau: sin2450 + a - sin230o - a - sin15ocos15o + 2a = sin2a
Biến đổi thành tích 1 + cosπ2 + 3a - sin3π2 - 3a + cot5π2 + 3a
Biến đổi thành tích cos7a - cos8a - cos9a + cos10asin7a - sin8a - sin9a + sin10a
Biến đổi thành tích -cos5a.cos4a - cos4a.cos3a + 2cos22a.cosa
Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng: sinCcosA.cosB = tanA + tanB
HD: Thay sinC = sin(A + B).
Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng: sinA + sinB + sinC = 4cosA2cosB2cosC2
Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng: sinA + sinB + sinCsinA + sinB - sinC = cotA2cotB2
ta có
sinA + sinB – sinC = 4sin (A/2) sin(B/2) cos(C/2) (2)
suy ra điều phải chứng minh.
Cho hàm số y = sin4x
a) Chứng minh rằng sin4(x + kπ/2) = sin4x với k ∈ Z
Từ đó vẽ đồ thị của hàm số
y = sin4x; (C1)
y = sin4x + 1. (C2)
b) Xác định giá trị của m để phương trình: sin4x + 1 = m (1)
- Có nghiệm
- Vô nghiệm
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm có hoành độ x0 = π/24
a) Ta có sin4(x + kπ/2) = sin(4x + k2π) = sin4x với k ∈ Z.
Từ đó suy ra hàm số y = sin4x là hàm số tuần hoàn với chu kì π/2.
Vì hàm số y = sin4x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.
Các hàm số y = sin4x (C1) và y = sin4x + 1 (C2) có đồ thị như trên hình 1 và hình 2.
b) Vì sin4x + 1 = m ⇔ sin4x = m – 1
và -1 ≤ sin4x ≤ 1
nên -1 ≤ m – 1 ≤ 1
⇔ 0 ≤ m ≤ 2.
Từ đó, phương trình (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ≤ 2 và vô nghiệm khi m > 2 hoặc m < 0.
c) Phương trình tiếp tuyến của (C2) có dạng
y - yo = y’(xo)(x - xo).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = sin2x + 4sinx.cosx - 3cos2x + 1
Giải các phương trình sin2x = cos4x2 - sin4x2
x = π/2 + kπ; x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π.
Giải các phương trình 3sin5x - 2cos5x = 3
x = π/10 + k2π/5; x = 2/5arctan5 + k2π/5.
Giải các phương trình cosπ2 + 5x + sinx = 2cos3x
x = (2k + 1) π/6; x = (4k – 1) π/4.
Giải các phương trình sin2z + cos2z = 2sin3z
x = (8k + 1) π/4; x = (8k + 3) π/20
Giải các phương trình cos2x + cos22x - cos23x - cos24x = 0
x = kπ/2; x = kπ/5.
Giải các phương trình cos4x.cosπ + 2x - sin2xcosπ2 - 4x = 22sin4x
x = (2k + 1) π/4;
x = -1(k+1) π/8 + kπ/2.
Giải các phương trình tan120o + 3x - tan140o - x = 2sin80o + 2x
x = -40o + k60o
Giải các phương trình tan2x2 + sin2x2.tanx2 +cos2x2.cotx2 + cot2x2 + sinx = 4
x = (4k + 1) π/2x = -1(k+1)arcsin2/3 + kπ.
Giải các phương trình sin2t + 2cos2t - 1cost - cos3t + sin3t - sint = cost
t = (4k + 1) π/4.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số, trong đó có đúng hai chữ số 2?
Giả sử chữ số 2 đứng đầu. Khi đó, chữ số 2 kia sẽ được xếp vào một trong 7 chỗ còn lại. Có 7 cách. Khi đã sắp xếp xong hai chữ số 2, còn 6 chỗ, ta xếp 9 chữ số khác 2 vào 6 chỗ đó. Ta có 96 cách. Theo quy tắc nhân, có 7. 96 số gồm 8 chữ số mà chữ số hai đướng đầu.
• Chữ số 2 không đứng đầu. Khi đó, trong 8 chữ số khác 0 và khác 2, ta chọn một chữ số để xếp vào vị trí đầu. Có 8 cách.
Chọn 2 chỗ trong 7 chỗ để xếp hai chữ số 2. Có C72 cách.
Xếp 9 chữ số (khác 2) vào năm vị trí còn lại, có 95 cách.
Theo quy tắc nhân, có 8. C72. 95 số mà chữ số 2 không đứng đầu.
Theo quy tắc cộng , số các số có 8 chữ số mà có đúng hai chữ số 2 là
7. 96 + 8. C72. 95 = 13640319
Một tổ có 10 học sinh trong đó có An, Bình, Chi, Dung và Hương. Có bao nhiêu các xếp 10 bạn đó vào 10 ghế sắp thành hàng ngang sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau và Chi, Dung, Hương cũng ngồi cạnh nhau?
Đầu tiên ta chỉ dung 7 ghế và xếp An, Chi và 5 bạn không thuộc nhóm An, Chi vào 7 ghế. Ta có 7! cách xếp. Sau đó xếp Bình ngồi cạnh An. Có 2! cách. Cuối cùng xếp Chi, Hương ngồi cùng nhóm với Dung. Ta có 3! cách. Theo quy tắc nhân, có 7! 2! 3! = 60480 cách.
Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sau cho 3 số trên nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác xuất để B mở được cửa phòng học đó.
Số cách chọn 3 nút để ấn là A103 = 720.
Số trường hợp đạt yêu cầu là: (0, 1, 9); (0, 2, 8); (0, 3, 7); (0, 4, 6); (1, 2, 7); (1, 3, 6);
(1, 4, 5) ; (2, 3, 5).
Xác xuất để B mở được cửa là 8/720 = 1/90.
Tìm cấp số cộng a1, a2, a3, a4, a5, biết rằng
a1 + a3 + a5 = -12 và a1a3a5 = 80
Kí hiệu công sai là d, ta có
Giải ra ta được d = ± 3.
Các cấp số cộng phải tìm là
2, -1, -4, -7, …
Và -10, -7, -4, -1,….
Viết ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết rằng tổng n số hạng đầu tiên của cấp số này là: Sn = 4n2 - 3n
Tìm số hạng thứ nhất a1 và công bội q của một cấp số nhân (an), biết rằng
a4 - a2 = -11332 và a6 - a4 = -45512
Ta có hệ phương trình
