Ôn tập chương 4
28 câu hỏi
Tính các giới hạn sau lim -3n + 2.5n1 - 5n
lim -3n + 2.5n1 - 5n = -2
Tính các giới hạn sau lim 1 + 2 +3 +... + nn2 + n + 1
lim 1 + 2 +3 +... + nn2 + n + 1 = 12
Tính các giới hạn sau lim n2 + 2n + 1 - n2 + n - 1
lim n2 + 2n + 1 - n2 + n - 1 = 12
Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = -1nn2 + 1
Ta có: 
Đặt 
(1)
Ta có: 
Do đó, |vn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ (1) suy ra, |un| = vn = |vn|
Vậy |un| cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim un = 0
Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = 2n - n3n + 1
Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.
2,131131131...
(Vì 
là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội 
)
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1un+1 = 2un + 3un + 2 với n≥1
a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n.
b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Cho dãy số (un) thoả mãn un > M với mọi n. Chứng minh rằng nếu lim un = a thì a ≤ M
Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.
Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao của lần rơi ngay trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai này. Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến:
- Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d1 = 63
- Thời điểm chạm đất lần thứ hai là:
- Thời điểm chạm đất lần thứ ba là:
- Thời điểm chạm đất lần thứ tư là:
....
- Thời điểm chạm đất lần thứ n (n > 1) là
(Có thể chứng minh khẳng định này bằng quy nạp).
Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến khi nằm yên trên mặt đất là :
Vì 
là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = 1/10 nên ta có
Vậy
Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos(1/x) không có giới hạn khi x → 0
Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là 
và 
.
Tính và so sánh lim f(an) và lim f(bn) để kết luận về giới hạn của f(x) khi x → 0
Tìm các giới hạn sau: limx→-2 x + 5x2 + x - 3
limx→-2 x + 5x2 + x - 3 = -3
Tìm các giới hạn sau: limx→3- x2 + 8x + 3
limx→3- x2 + 8x + 3 = 6
Tìm các giới hạn sau: limx→+∞ x3 + 2x2x - 1
limx→+∞ x3 + 2x2x - 1 = +∞
Tìm các giới hạn sau: limx→-1 2x3 - 5x - 4x + 12
limx→-1 2x3 - 5x - 4x + 12 = -∞
Tìm các giới hạn sau: limx→0 x2 + 1 - 14 - x2 + 16
limx→0 x2 + 1 - 14 - x2 + 16 = 4
Tìm các giới hạn sau: limx→1 x - xx - 1
limx→1 x - xx - 1 = 1
Tìm các giới hạn sau: limx→+∞ 2x4 + 5x - 11 - x2 + x4
limx→+∞ 2x4 + 5x - 11 - x2 + x4 = 2
Tìm các giới hạn sau: limx→-∞ x + 4x2 - x + 11 - 2x
limx→-∞ x + 4x2 - x + 11 - 2x = 12
Tìm các giới hạn sau: limx→+∞ xx2 + 1 - x
Tìm các giới hạn sau: limx→2+ 1x2 - 4 - 1x - 2
Xác định một hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau
f(x) xác định trên R\ {1}
limx→1 f(x) = +∞; limx→+∞ f(x) = 2; limx→-∞ f(x) = 2
Chẳng hạn 
.
Dễ dàng kiểm tra được rằng f(x) thoả mãn các điều kiện đã nêu
Xét tính liên tục của hàm số f(x)= x2 + 5x + 4x3 +1 nếu x≠-11 nếu x = 1 trên tập xác định của nó.
Hàm số liên tục trên R
Xác định một hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau
f(x) xác định trên R
y = f(x) liên tục trên (−∞;0) và trên [0;+∞) nhưng gián đoạn tại x = 0
Chẳng hạn xét
Chứng minh rằng phương trình: x5 − 5x – 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm
Xét hàm số f(x) = x5 − 5x – 1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]
Chứng minh rằng phương trình: mx − 13.(x2 − 4) + x4 – 3 = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Xét hàm số f(x) = mx − 13.(x2 − 4) + x4 – 3 trên các đoạn [−2; 1], [1; 2]
Chứng minh rằng phương trình: x3 - 3x = m có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m ∈ (-2; 2)
Xét hàm số f(x) = x3 − 3x – m trên các đoạn [−1; 1], [1; 2]
Cho hàm số f(x) = x3 + 8x + 1x - 2 . Phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không
a) trong khoảng (1; 3)?
b) trong khoảng (-3; 1)?
Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn [0; 0,5]
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
g(0).g(0,5) = [f(0) − f(0,5)].[f(0,5) − f(0)] = −f(0) − f(0,5) 2 ≤ 0.
- Nếu g(0).g(0,5) = 0 thì x = 0 hay x=0,5 là nghiệm của phương trình g(x) = 0
- Nếu g(0).g(0,5) < 0 (1)
Vì y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số y = g(x) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên [0; 0,5] (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình g(x) = 0 hay f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn (0;0,5)
