Ôn tập chương 3

Cấp số cộng (un) có công sai d.

+ (un) là dãy tăng

⇔ un + 1 > un ∀ n ∈ N

⇔ un + 1 – un > 0 ∀ n ∈ N

⇔ d > 0

+ (un) là dãy giảm

⇔ un + 1 < un ∀ n ∈ N

⇔ un + 1 – un < 0 ∀ n ∈ N

⇔ d < 0

CSN (un) : un = u1.qn – 1, u1 < 0

a. q > 0 ⇒ qn – 1 > 0 ⇒ u1.qn – 1 < 0 (vì u1 < 0)

⇒ un < 0 với mọi n ∈ N*.

Vậy với q > 0 và u1 < 0 thì các số hạng đều mang dấu âm.

b. q < 0.

+ Nếu n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ qn – 1 < 0

⇒ u1.qn – 1 > 0 (vì u1 < 0).

⇒ un > 0.

+ Nếu n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ qn – 1 > 0

⇒ u1.qn – 1 < 0 (Vì u1 < 0).

⇒ un < 0.

Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.

Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.

Xét dãy (an) với an = un + vn

Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)

= (un + d1 + vn + d2) – (un + vn)

= d1 + d2 = const

⇒(an) là cấp số cộng với công sai d1 + d2.

Ví dụ:

CSC (un): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d1 = 3 ;

CSC (vn): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … có công sai d2 = 2.

⇒ (an): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.

Giả sử có hai cấp số nhân (un) với công bội q1 và (vn) với công bội q2.

Xét dãy số (an) với an = un.vn với mọi n ∈ N*.

Ta có:

⇒ (an) là cấp số nhân với công bội q1.q2.

Ví dụ:

+ CSN (un) : 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; … có công bội q1 = 2.

+ CSN (vn) : -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; 1 ; … có công bội q2 = -1.

⇒ CSN (an) : -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; -32 ; 64 ; … có công bội q = -2.

Đặt un = 13n – 1

+ Với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: uk = 13k – 1 chia hết cho 6.

⇒ uk + 1 = 13k + 1 – 1

              = 13k+1 + 13k – 13k – 1

              = 13k(13 – 1) + 13k – 1

              = 12.13k + uk.

Mà 12.13k ⋮ 6; uk ⋮ 6.

⇒ uk + 1 ⋮ 6.

⇒ un ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13n – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

Đặt un = 3n3 + 15n

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: uk = (3k3 + 15k) ⋮ 9

⇒ uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 )

              = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

              = (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18

              = (3k3 + 15k) + 9(k2 + k + 2)

              = uk + 9(k2 + k + 2)

Mà uk ⋮ 9 và 9(k2 + k + 2) ⋮ 9

⇒ uk + 1 ⋮ 9.

Vậy un = 3n3 + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2;

u2 = 2u1 – 1 = 3;

u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9;

u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh un = 2n – 1 + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u1 = 21 - 1 + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta chứng minh: uk+1 = 2k + 1. Thật vậy, ta có:

⇒ uk+1 = 2.uk – 1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k – 1 + 2 – 1 = 2k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy un = 2n – 1 + 1 với mọi n ∈ N.

⇒ un + 1 > un với mọi n ∈ N

⇒ (un) là dãy tăng.

+ Xét tính bị chặn:

(un) là dãy tăng

⇒ u1 = 2 < u2 < u3 < …< un ∀n ∈ N*

⇒ un ≥ 2 ∀n ∈ N*

⇒ (un) bị chặn dưới.

(un) không bị chặn trên.

⇒ un không bị chặn.

Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)n – 1 = -1 ⇒ un < 0

Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ (-1)n – 1 = 1 ⇒ un > 0.

⇒ u1 > u2 < u3 > u4 < u5 > u6 …

⇒ (un) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị chặn :

Với ∀ n ∈ N:

⇒ -1 ≤ un ≤ 1.

Vậy (un) bị chặn.

+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ un + 1 < un với mọi n ∈ N.

⇒ (un) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

un > 0 với mọi n.

⇒ (un) bị chặn dưới.

un ≤ u1 = √2 - 1 với mọi n

⇒ (un) bị chặn trên.

⇒ (un) bị chặn.

a)

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ u1.25 = 192 ⇔ u1 = 6

Vậy u1 = 6 và q = 2

Ta có

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u1(4 – 1) = 72 ⇔ u1 = 12

Vậy u1 = 12 và q = 2

Ta có:

Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được q = 2 thế vào (1):

(1) ⇔ 2u1(1 + 8 - 4) = 10 ⇔ u1 = 1

Vậy u1 = 1 và q = 2

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D (∠A > 0) tạo thành cấp số cộng:

⇒ ∠B = ∠A + d,

    ∠C = ∠A + 2d,

    ∠D = ∠A + 3d.

Theo giả thiết, góc C gấp năm lần góc A nên:

    ∠C = 5∠A

⇒ ∠A + 2d = 5∠A

⇒ 2d = 4∠A

hay d = 2.∠A

Tổng 4 góc của 1 tứ giác bằng 360º nên ta có:

⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

⇒ ∠A + ∠A + d + ∠A + 2d + ∠A + 3d = 360º

=> 4∠A +6d = 360º

⇒ 4∠A + 12∠A = 360º ( do d = 2.ºA)

⇒ 16∠A = 360º

⇒ ∠A = 22º30'

⇒ d = 45º.

Vậy ∠A = 22º30' ; ∠B = 67º30'; ∠C = 112º30’; ∠D = 157º30'

Gọi công bội của CSN x ; y ; z là q.

⇒ y = x.q ; z = x.q2.

Lại có : x ; 2y ; 3z lập thành CSC

⇔ 2y – x = 3z – 2y

⇔ 2.xq – x = 3.xq2 – 2.xq

⇔ x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q)

⇔ x.(3q2 – 4q + 1) = 0

+ Nếu x = 0 ⇒ y = z = 0

⇒ q không xác định.

+ Nếu x ≠ 0 ⇒ 3q2 – 4q + 1 = 0 ⇔ q = 1 hoặc 

Vậy CSN có công bội q = 1 hoặc 

Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S1; S2; S3; …; S11.

+ Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới

Vậy diện tích mặt trên của tầng 11 là 6m2.