Ôn tập chương 1

Điều kiện: cos(x- π/3) ≠ 0 và tan(x- π/3) ≠ -1.

⇔ x- π/3 ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z và x- π/3 ≠ (-π)/4 + kπ, k ∈ Z.

⇔ x ≠ 5π/6 + kπ, k ∈ Z và x ≠ π/12 + kπ, k ∈ Z.

Vậy tập xác định của hàm số là

D = R \ [(5π/6 + kπ,k ∈ Z)] ∪ [(π/12 + kπ,k ∈ Z)].

Điều kiện: cosx ≠ 0; sinx ≠ 0 và sin2x ≠ 1.

⇔ x ≠ kπ/2, k ∈ Z và x ≠ π/4 + kπ, k ∈ Z.

Vậy tập xác định của hàm số là

D \ R [(kπ/2,k ∈ Z)] ∪ [(π/4 + kπ,k ∈ Z)].

$y = {\sin }^3 x – \tan x là hàm số lẻ.$

$y = \frac{\cos x+ co{t}^2 x}{\sin x} là hàm số lẻ$

-1 ≥ 3 – 4sinx ≥ 7

$1 \ge 2 - \sqrt{\cos x} \ge 2$

$$\begin{gathered} {\sin }^2 x - {\cos }^2 x = {\cos }^{4}x \\ \iff -\cos 2x = \cos 4x \\ \iff 2\cos 3x.\cos x = 0 \end{gathered}$$

cos 3x – cos 5x = sin x

\[ \Leftrightarrow \]2sin 4x sin x = sin x

\[ \Leftrightarrow \] sin x (2sin 4x – 1) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\2\sin 4x - 1 = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin 4x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\4x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\4x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\,\,\,(\,k \in \mathbb{Z})\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = k\pi \]; \[x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\]; \[x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\]\[(\,k \in \mathbb{Z})\]

$3{\sin }^{2}x + 4\cos x - 2 = 0$

Điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \sin 2x\ne 0 \\ \iff x\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z}) \end{gathered}$$

2tanx + 3cotx = 4.

$\iff 2\tan x+3\frac{1}{\tan x}-4=0$

$\iff 2{\tan }^{2}x-4\tan x+3=0$ (*)

Phương trình (*) vô nghiệm đối với tan x, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

$2{\cos }^{2}x - 3{\sin }^{2}x + {\sin }^{2}x = 1$

- cosx = 0 thỏa mãn phương trình ⇒ phương trình có nghiệm x = π/2+kπ,k ∈ Z.

- Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho ${\cos }^2 x$, tìm được tanx = 1/6.

Vậy phương trình có các nghiệm x = π/2+kπ,k ∈ Z và x = arctan1/6 + kπ,k ∈ Z.

$$\begin{gathered} 2{\sin }^2 x + \sin x.\cos x - {\cos }^2 x = 3 \\ \Rightarrow {\tan }^2 x – \tan x + 4 = 0 \end{gathered}$$

Phương trình vô nghiệm

3sinx – 4cosx = 1 ⇔ 3/5sinx - 4/5cosx = 1/5.

⇔ sin(x – α) = 1/5 (với cosα = 3/5 , sinα = 4/5)

4sin3x + sin5x – 2sinx.cos2x = 0

⇔ 4sin3x + sin5x – (sin3x – sinx) = 0

⇔ 4sin3x + sin5x – sin3x + sinx = 0

⇔ 3sin3x + sin5x + sinx = 0

⇔ 3sin3x + 2sin3x.cos2x = 0

⇔ sin3x(3 + 2cos2x) = 0.

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\3 + 2\cos 2x = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k\pi \\\cos 2x =  - \frac{3}{2}(L)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = \frac{{k\pi }}{3}\,\,(k \in \mathbb{Z})\].

Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\\tan x \ne  - 1\end{array} \right.\]

\[\cot x - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \frac{{sinx}}{{\cos x}}}} + {\sin ^2}x - \frac{1}{2}\sin 2x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = \frac{{\cos 2x\,.\,\,\cos x\,}}{{\cos x + sinx}} + {\sin ^2}x - \sin x\,\cos x\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = \frac{{({{\cos }^2}x - si{n^2}x)\,.\,\,\cos x\,}}{{\cos x + sinx}} + \sin x(\sin x - \,\cos x)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = \frac{{(\cos x + sinx)(\cos x - sinx)\,.\,\,\cos x\,}}{{\cos x + sinx}} + \sin x(\sin x - \,\cos x)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = (\cos x - sinx)\,.\,\,\cos x + \sin x(\sin x - \,\cos x)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} - (\cos x - sinx)\,.\,\,\cos x + \sin x(\cos x - sinx) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (\cos x - sinx)\left[ {\frac{1}{{\sin x}} - \,\cos x + \sin x} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x - sinx = 0\\\frac{1}{{\sin x}} - \,\cos x + \sin x = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = sinx\\1 - \,\cos x\,.\,\sin x + {\sin ^2}x = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = sinx\\1 - \,\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\sin 2x + \cos 2x = 3\,\,(VL)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\]

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có nghiệm \[x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\].