Phương trình –315x2 – 27x + 342 = 0 có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

Phương trình 2 022x2 + 2 023x + 1 = 0 có a – b + c = 2 022 – 2 023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

Từ u + v = 8 suy ra u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn v là:

(8 – v)v = 15 hay 8v – v2 = 15.

Vậy phương trình ẩn v nhận được là 8v – v2 = 15.

Từ u + v = 8 suy ra v = 8 – u thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn u là:

u(8 – u) = 15 hay 8u – u2 = 15.

Vậy phương trình ẩn u nhận được là 8u – u2 = 15.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 15x + 44 = 0.

Ta có: Δ = (−15)2 – 4 . 1 . 44 = 49 > 0.

Do đó

Vậy hai số cần tìm là 11 và 4.

Để tồn tại hai số a và b phải thỏa mãn S2 − 4P ≥ 0.

Ta có 72 – 4 . 13 = −3 < 0.

Suy ra không tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13.

Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x1 + x2 = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m2 hay x1 . x2 = 884.

Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 60x + 884 = 0.

Ta có .

Do đó (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

Ta có Δ = (−9)2 – 4 . 3 . 5 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Ta có Δ = (−20)2 – 4 . 25 . 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Ta có  nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Phương trình 24x2 – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là

Phương trình 2,5x2 + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là

Phương trình có .

Vậy phương trình có hai nghiệm là

Phương trình có .

Vậy phương trình có hai nghiệm là

Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 suy ra 292 – 4 . 154 = 225 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 29x + 154 = 0.

Ta có 

Suy ra

Vậy hai số cần tìm là 22 và 7.

Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 suy ra (–6)2 – 4 . (–135) = 576 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 + 6x –135 = 0.

Ta có 

Suy ra

Vậy hai số cần tìm là 9 và –15 .

Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 mà 52 – 4 . 24 = –71 < 0.

Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Phương trình x2 – 19x – 5 = 0 có ∆ = (–19)2 – 4 . 1 . (–5) = 381 > 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Ta có

= 192 – 2 . (–5) = 371.

Vậy

Phương trình x2 – 19x – 5 = 0 có ∆ = (–19)2 – 4 . 1 . (–5) = 381 > 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có:

Ta có

Vậy

Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 116).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là  (m) hay x1 + x2 = 58.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 805 m2 hay x1 . x2 = 805.

Khi đó, x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 58x + 805 = 0

Ta có 

Suy ra  (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m và chiều rộng là 23 m.