• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC.

Vì M là trung điểm của AB nên $MA=MB=\frac{1}{2}AB$;

      N là trung điểm của CD nên $PC=PD=\frac{1}{2}CD$

Do đó MA = MB = PC = PD.

Tương tự ta cũng có QA = QD = NB = NC.

• Xét ΔAMQ và ΔBMN có:

$\widehat{MAQ}=\widehat{MBN}=90°$ (do ABCD là hình chữ nhật);

MA = MB (chứng minh trên);

QA = NB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBMN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MQ = MN (hai cạnh tương ứng)      (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

+) ΔBMN = ΔCPN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MN = PN (hai cạnh tương ứng)      (2)

+) ΔCPN = ΔDPQ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra PN = PQ (hai cạnh tương ứng)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = PN = PQ = MQ.

• Tứ giác MNPQ có MN = PN = PQ = MQ nên là hình thoi.

b) Xét tứ giác AMCN có AM = CN (giả thiết) và AM // CN (do AB // CD)

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Do AMCN là hình bình hành nên hai đường chéo AC, MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD.

Do đó ba điểm B, I, D thẳng hàng.

a) • Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra $OD=\frac{1}{2}BD$.

Do BCMD là hình bình hành nên BD = CM.

Do đó $OD=\frac{1}{2}CM$.

• Ta có: CM // BD (do BCMD là hình bình hành)

              AC ⊥ BD (chứng minh trên)

Do đó CM ⊥ AC hay $\widehat{MCA}=90°$

Vây tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Vì ABCD là hình thoi nên AD // BC

Vì BCMD là hình bình hành nên DM // BC

Do đó qua điểm D có hai đường thẳng AD và DM cùng song song với đường thẳng BC nên AD trùng với DM (Tiên đề Euclid)

Hay ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Vì M là trung điểm của BC nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC$;

     N là trung điểm của CD nên $NC=ND=\frac{1}{2}CD$.

Do đó MB = MC = NC = ND.

Xét ΔABM và ΔBCN có:

$\widehat{ABM}=\widehat{BCN}=90°$ (do ABCD là hình vuông);

AB = CD (chứng minh trên);

MB = NC (chứng minh trên)

b) Vì ΔABM = ΔBCN (câu a) nên $\widehat{BAM}=\widehat{CBN}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$.