Giải SGK Toán 12 KNTT Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm Geogebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang có đáp án
4 câu hỏi
Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:
a) ∫x2−2x+2x+1dx
Khởi động phần mềm Geogebra, chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán nguyên hàm và tích phân.
a) Để tính ∫x2−2x+2x+1dx, ta dùng lệnh IntegralSymbolic(x2−2x+2x+1), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:
Vậy x2−2x+2x+1 = 5ln|x + 1| + 12x2 – 3x + C.
Sử dụng phần mềm Geogebra, tính:
b) ∫0π2excos2xdx.
b) Để tính gần đúng tích phân ∫0π2excos2xdx, ta dùng lệnh Nintegral(excos2x, 0, π2), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới như hình sau:
Vậy ∫0π2excos2xdx ≈ – 1,16.
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng ∫12exx dx với độ chính xác 0,01.
1. Ta có: fx=exx;
f'x=exx'=ex⋅x−exx2=1x−1x2 ex;
f''x=1x−1x2 ex'=1x−2x2+2x3ex
f'''x=1x−2x2+2x3ex'=1x−3x2+6x3−6x4ex
f'''(x) = 0 thì x ≈ 1,596.
Ta có f''(1) = e; f''(1,596) ≈ 0,333 ∙ e1,569; f''(2) = e24.
Do đó, M=maxx∈1;2f''x=e.
2. Ta cần tìm n sao cho:2−13⋅e12n2<0,01⇔e12n2<0,01⇔n>25e3.
Do đó, ta chọn n = 5.
3. Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang, ta có: ∫12exxdx≈2−12⋅5e11+2⋅e1,21,2+2⋅e1,41,4+2⋅e1,61,6+2⋅e1,81,8+e22 ≈ 3,065.
Một thân cây dài 4,8 m được cắt thành các khúc gỗ dài 60 cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích S của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây x (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.
x (cm) | 0 | 60 | 120 | 180 | 240 | 300 | 360 | 420 | 480 |
S (cm2) | 240 | 248 | 256 | 260 | 264 | 272 | 298 | 316 | 320 |
Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.
Hướng dẫn.
Thể tích cần tính là V=∫0480Sxdx, trong đó S(x) là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.
Thể tích gần đúng của thân cây đã cho là V=∫0480Sxdx.
Ta chia đoạn [0; 480] thành n = 8 đoạn con có độ dài bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài là 60. Các đoạn đó là: [0; 60], [60; 120], [120; 180], [180; 240], [240; 300], [300; 360], [360; 420], [420; 480].
Áp dụng công thức hình thang, ta có:
V=∫0480Sxdx≈480−02⋅8(240 + 2 ∙ 248 + 2 ∙ 256 + 2 ∙ 260 + 2 ∙ 264 + 2 ∙ 272 + 2 ∙ 298
+ 2 ∙ 316 + 320] = 131 640 (cm3) = 0,13164 (m3).